基于動(dòng)態(tài)利率模型的利率衍生品定價(jià)分析

周闖洋

(浙江大學(xué) 經(jīng)濟(jì)學(xué)院，杭州 310027)

0 引言

利率衍生品是指價(jià)格依賴(lài)?yán)首儎?dòng)的金融產(chǎn)品，其價(jià)值主要依賴(lài)于利率變動(dòng)。關(guān)于利率衍生品定價(jià)的核心問(wèn)題在于如何計(jì)算利率的變動(dòng)，而隨機(jī)過(guò)程能夠?qū)⒗实膭?dòng)態(tài)估算過(guò)程轉(zhuǎn)變?yōu)楝F(xiàn)實(shí)，方便利率衍生品定價(jià)。利率衍生品是控制和管理利率風(fēng)險(xiǎn)的重要工具，有利于維護(hù)利率穩(wěn)定，加快了我國(guó)利率市場(chǎng)化進(jìn)程。因此，研究利率衍生品的定價(jià)具有一定的現(xiàn)實(shí)意義。

國(guó)內(nèi)一些學(xué)者現(xiàn)在采用動(dòng)態(tài)利率模型對(duì)利率衍生品進(jìn)行定價(jià)預(yù)測(cè)常用的就是BDT模型，雖然BDT模型在利率衍生品定價(jià)過(guò)程中反映了動(dòng)態(tài)性，但是該模型本身就對(duì)利率變動(dòng)做了假設(shè)，即受單一期限的短期利率影響，這就難免使利率波動(dòng)過(guò)程受到特征約束。基于此，筆者嘗試構(gòu)建新的動(dòng)態(tài)利率模型，對(duì)利率衍生品的定價(jià)進(jìn)行定量分析。本文主要在BDT模型的基礎(chǔ)上，采用Hull和White（1993）的Hull-White模型，引入一種依賴(lài)于時(shí)間變化的參數(shù)變量，對(duì)利率衍生品進(jìn)行定價(jià)分析。

1 動(dòng)態(tài)利率模型的設(shè)計(jì)

1.1 BDT模型

BDT模型的先前假設(shè)條件是短期利率的波動(dòng)情況隨著時(shí)間的變化而發(fā)生變化，反映利率變化趨勢(shì)的變量也受到當(dāng)前利率水平的影響。于是，BDT模型具有反映利率期限結(jié)構(gòu)瞬時(shí)波動(dòng)特征的優(yōu)勢(shì)，其模型的思想為：設(shè)一組到期期限不盡相同的零利息國(guó)債的初始期限結(jié)構(gòu)是給定的，即到期收益率和波動(dòng)率給定，根據(jù)這些數(shù)值來(lái)測(cè)算未來(lái)短期利率的變動(dòng)趨勢(shì)。BDT模型還具有下列假設(shè)：任意債券價(jià)格的變動(dòng)受單一期限的短期利率影響，且這個(gè)利率服從正態(tài)分布；任意債券的單期期望收益率相同；不存在交易費(fèi)用；每一期利率的上升轉(zhuǎn)移概率都是1/2。

根據(jù)上述假設(shè)，BDT模型表示如下：

其中，σ’表示后一期的短期利率r在瞬時(shí)的標(biāo)準(zhǔn)差；σ’/σ表示局部波動(dòng)率，即短期利率的波動(dòng)率隨著時(shí)間的變動(dòng)而發(fā)生變化；θ(t)表示由當(dāng)期的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率收益率決定的成分；dw則表示標(biāo)準(zhǔn)化后的正態(tài)隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)。

BDT模型一般具有二叉樹(shù)的結(jié)構(gòu)特征，具體如圖1所示。

圖1 BDT模型的二叉樹(shù)結(jié)構(gòu)

1.2 Hull-White模型

Hull和White于1993年提出了一種擴(kuò)展的短期利率結(jié)構(gòu)模型，通過(guò)引入一類(lèi)動(dòng)態(tài)性參數(shù)變量，使得模型對(duì)于利率波動(dòng)性能夠較好地反映出來(lái)。本文對(duì)該模型進(jìn)行適當(dāng)修正，主要思想是在短期利率模型的基礎(chǔ)上引入一種依賴(lài)于時(shí)間的參數(shù)變量，使得模型具備均值回復(fù)的特征。如此，Hull-White模型便能夠更好地對(duì)利率期限結(jié)構(gòu)進(jìn)行擬合。

Hull-White模型可表示如下：

其中，θ(t)表示均值的回復(fù)水平，由當(dāng)期的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率曲線所決定；α表示均值回復(fù)的速率大小，r(t)表示在t期的瞬時(shí)利率，dz表示標(biāo)準(zhǔn)化后的正態(tài)隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)，σ表示波動(dòng)率。根據(jù)式（2）可知，該模型的波動(dòng)結(jié)構(gòu)由均值的回復(fù)速率以及波動(dòng)率兩個(gè)變量決定，由此，利用該模型可以反映短期的利率波動(dòng)結(jié)構(gòu)特征。根據(jù)Hull和White的方法，可以得到債券價(jià)格的微分方程，從而得出期限為T(mén)的債券在t期的價(jià)格為：

2 利率衍生品定價(jià)的實(shí)證分析

2.1 中國(guó)銀行間市場(chǎng)和交易所市場(chǎng)國(guó)債定價(jià)的實(shí)證分析

首先，分別采用BDT模型和Hull-White模型對(duì)我國(guó)銀行間和交易所市場(chǎng)的國(guó)債進(jìn)行定價(jià)，然后通過(guò)對(duì)比定價(jià)結(jié)果，分析利率期限結(jié)構(gòu)的選擇情況。

（1）樣本數(shù)據(jù)選取

首先，對(duì)當(dāng)前的初始利率結(jié)構(gòu)進(jìn)行確定。考慮到當(dāng)前國(guó)內(nèi)債券市場(chǎng)的分離程度較高，銀行間市場(chǎng)即便在衍生品品種和規(guī)模方面都有優(yōu)勢(shì)，但柜臺(tái)交易方式受債券市場(chǎng)分離的約束，導(dǎo)致利率期限結(jié)構(gòu)的數(shù)據(jù)存在失真可能。所以，本文將分別對(duì)銀行間市場(chǎng)交易的國(guó)債和交易所市場(chǎng)交易的國(guó)債進(jìn)行定價(jià)，而且利率期限結(jié)構(gòu)的選擇方面，采用相應(yīng)債券分離出的利率期限結(jié)構(gòu)。

本文從銀行間市場(chǎng)和交易所市場(chǎng)2014年1月10日的債券中選擇交易次數(shù)和交易數(shù)量較占優(yōu)的10支債券作為目標(biāo)債券，其中銀行間與交易所市場(chǎng)各五支。根據(jù)BDT模型和Hull-White模型，對(duì)銀行間市場(chǎng)國(guó)債定價(jià)選用銀行間國(guó)債收益率曲線，對(duì)交易所市場(chǎng)國(guó)債定價(jià)選用交易所國(guó)債收益率曲線進(jìn)行分析，具體數(shù)據(jù)見(jiàn)表1。

表1 銀行間市場(chǎng)、交易所市場(chǎng)2014年1月10日定價(jià)目標(biāo)債券

（2）模型參數(shù)設(shè)定

利用BDT模型與Hull-White模型進(jìn)行參數(shù)設(shè)定，其中BDT模型需要確定與利率期限結(jié)構(gòu)相匹配的收益波動(dòng)率期限結(jié)構(gòu)，而Hull-White模型的參數(shù)估計(jì)需要確定瞬時(shí)利率均值α回復(fù)變量及波動(dòng)率σ。根據(jù)中國(guó)債券信息網(wǎng)及貨幣市場(chǎng)交易情況統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，7天回購(gòu)利率在成交量以及參與率等方面都有一定得比較優(yōu)勢(shì)，且保持一定的動(dòng)態(tài)特征。本文基于這一點(diǎn)，選擇2014年1月1日以前的322個(gè)交易日的7天回購(gòu)利率，同時(shí)排除未有交易的數(shù)據(jù)，最后得到298個(gè)數(shù)據(jù)。通過(guò)極大似然估計(jì)，得到BDT模型和Hull-White模型的參數(shù)設(shè)定結(jié)果如表2所示。

表2 BDT模型和Hull-White模型的參數(shù)設(shè)定結(jié)果

（3）利率三叉樹(shù)的構(gòu)造

在確定利率期限結(jié)構(gòu)及相關(guān)參數(shù)后，利用Hull-White模型來(lái)構(gòu)建利率三叉樹(shù)。假定利率三叉樹(shù)的時(shí)間間隔為Δt，利率間隔為Δr，節(jié)點(diǎn)(i,j)分別表示 t=iΔt和 r=r0+j Δr。一般情況下，當(dāng)滿(mǎn)足Δr=σ(3*Δt)1/2時(shí)，誤差達(dá)到最小。通過(guò)分析可知，利率三叉樹(shù)可能出現(xiàn)三種結(jié)構(gòu)，具體的利率三叉樹(shù)結(jié)構(gòu)及相應(yīng)的概率分布見(jiàn)圖2。由于利率大小存在邊界，不可能無(wú)限擴(kuò)大，因此這里根據(jù)模型參數(shù)，設(shè)定j的上邊界為0.168/(aΔt)。

圖2 Hull-White利率三叉樹(shù)結(jié)構(gòu)

（4）實(shí)證結(jié)果

根據(jù)以上數(shù)據(jù)及參數(shù)，分別采用BDT模型與Hull-White模型對(duì)銀行間市場(chǎng)、交易所市場(chǎng)的5種債券進(jìn)行定價(jià)估計(jì)，其中定價(jià)過(guò)程由Matlab 7.0編程計(jì)算，結(jié)果如表3所示。

表3 銀行間市場(chǎng)、交易所市場(chǎng)各5種債券的定價(jià)結(jié)果及相對(duì)誤差

由表3結(jié)果可知，對(duì)于每一種債券而言，無(wú)論是采用BDT模型還是Hull-White模型，其最終定價(jià)估計(jì)結(jié)果的相對(duì)誤差絕對(duì)值都低于2%。對(duì)比兩個(gè)債券市場(chǎng)的結(jié)果可知，無(wú)論是哪種模型，銀行間市場(chǎng)債券定價(jià)的相對(duì)誤差總體上高于交易所市場(chǎng)。與此同時(shí)，采用BDT模型和Hull-White模型都能良好地實(shí)現(xiàn)國(guó)債的定價(jià)估計(jì)。對(duì)比BDT模型和Hull-White模型的估計(jì)結(jié)果又可發(fā)現(xiàn)，在10種債券中，有8種債券采用Hull-White模型的相對(duì)誤差絕對(duì)值低于采用BDT模型的相應(yīng)誤差絕對(duì)值。由此筆者認(rèn)為，總體上采用Hull-White模型對(duì)我國(guó)國(guó)債進(jìn)行定價(jià)要優(yōu)于BDT模型。比較兩種模型的原理可以發(fā)現(xiàn)，Hull-White模型采用的是三叉樹(shù)方法構(gòu)建利率樹(shù)，因此對(duì)瞬時(shí)利率的估計(jì)更為精準(zhǔn)，而且Hull-White模型的均值回復(fù)速率僅取決于利率波動(dòng)率，因此理論上Hull-White模型對(duì)利率衍生品的定價(jià)結(jié)果更為精確。

2.2 可回售債券定價(jià)的實(shí)證分析

可回售債券與利率波動(dòng)具有密切關(guān)系，這種債券具有如下特征：當(dāng)利率上升時(shí)，其價(jià)格將降低；當(dāng)利率下降時(shí)，其價(jià)格將提高。近年來(lái)，國(guó)內(nèi)經(jīng)濟(jì)進(jìn)入“新常態(tài)”，經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)速度放緩，投資后勁呈現(xiàn)不足，央行多次采取降低利率的措施以刺激經(jīng)濟(jì)。在這種情況下，市場(chǎng)上降息預(yù)期較大，回售債券的行為可能不熱，由此可回售債券可能出現(xiàn)明顯跌價(jià)。因此，本文采用Hull-White模型，對(duì)國(guó)內(nèi)可回售債券進(jìn)行定價(jià)，觀察是否真的存在跌價(jià)現(xiàn)象。

仍采用三叉樹(shù)方法進(jìn)行估計(jì)。設(shè)PB為一般債券在某個(gè)樹(shù)節(jié)點(diǎn)的價(jià)值，PP為可回售債券的價(jià)格，r為當(dāng)期利率水平，C為在該節(jié)點(diǎn)處的選擇權(quán)價(jià)值，X為債券回售的執(zhí)行價(jià)。一般理性的可回售債券持有人將根據(jù)價(jià)值最大化原則進(jìn)行定價(jià)，每個(gè)節(jié)點(diǎn)處可回售債券的回售權(quán)價(jià)值計(jì)算如下：

本文選取了2010年以來(lái)國(guó)家開(kāi)發(fā)銀行發(fā)行的5只可回售金融債券，分別是2010年第二十五期金融債券、2010年第三十四期金融債券、2011年第八期金融債券、2011年第五十二期金融債券、2011年五十五期金融債券，分別采用Hull-White模型進(jìn)行定價(jià)估計(jì)。其中，模型參數(shù)的設(shè)定參照前面結(jié)果，5只可回售債券的定價(jià)估計(jì)結(jié)果如表5所示。

由表5可知，采用Hull-White模型進(jìn)行定價(jià)估計(jì)，得

表4 國(guó)家開(kāi)發(fā)銀行5只可回售金融債券債券的基本數(shù)據(jù)

表5 國(guó)家開(kāi)發(fā)銀行5只可回售金融債券債券的定價(jià)結(jié)果

到的5只可回售債券的估計(jì)價(jià)格都非常接近100，即與原債券的發(fā)行面額基本相同。一方面，該結(jié)果驗(yàn)證了采用Hull-White模型進(jìn)行定價(jià)估計(jì)的可靠性；另一方面也反映了近期國(guó)內(nèi)債券市場(chǎng)發(fā)行的可回售債券的價(jià)格在一定程度上是趨于合理的。

3 結(jié)論

本文采用BDT模型和Hull-White模型，選取國(guó)內(nèi)債券進(jìn)行定價(jià)實(shí)證分析，從而研究債券這一利率衍生品的定價(jià)問(wèn)題。由于BDT模型和Hull-White模型都是基于動(dòng)態(tài)利率所構(gòu)建的模型，因此都能體現(xiàn)利率的波動(dòng)特性。

首先，通過(guò)對(duì)我國(guó)銀行間市場(chǎng)和交易所市場(chǎng)的幾只債券進(jìn)行實(shí)證分析可知，銀行間市場(chǎng)債券定價(jià)的相對(duì)誤差波動(dòng)總體上高于交易所市場(chǎng)，這體現(xiàn)了交易所市場(chǎng)債券定價(jià)的平穩(wěn)性；同時(shí)，采用Hull-White模型對(duì)我國(guó)國(guó)債進(jìn)行定價(jià)要優(yōu)于BDT模型，這體現(xiàn)了Hull-White模型在債券定價(jià)方面的優(yōu)越性。

其次，再次采用Hull-White模型對(duì)可回售債券定價(jià)進(jìn)行實(shí)證，結(jié)果反映近期國(guó)內(nèi)債券市場(chǎng)發(fā)行的可回售債券的價(jià)格在一定程度上是趨于合理的。即便近年來(lái)我國(guó)進(jìn)入“新常態(tài)”，降息預(yù)期普遍存在，可回售債券跌價(jià)的可能性較大，但由于國(guó)內(nèi)債券市場(chǎng)并不發(fā)達(dá)，市場(chǎng)參與度不高，因此“新常態(tài)”下國(guó)內(nèi)可回售債券的跌價(jià)可能性仍然較小。

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