常見解題數學思想策略在初中數學解題中的應用探析

崔益鳳

教是為了不教.數學解題思想策略是教師落實“教是為了不教”要求的重要內容之一.新課改強調，學習主體要領悟并運用解決問題方法策略進行高效、深入的運用和實踐.筆者對當前初中數學階段解題思想策略進行了梳理匯總，發現經常運用的數學解題思想策略為數形結合、分類討論、轉化、函數、方程等.下面主要論述常見解題數學思想策略在初中數學解題中的應用.

一、數形結合解題思想策略在問題教學中的運用

數學問題案例通過精確性的數學語言進行展示，借助形象性的圖形符號進行補充.數形結合解題思想就是運用數學學科所具有的精確性和直觀性等特點，通過以數補形，以形補數，實現問題案例的有效解答.

問題1：如圖所示，四邊形ABCD是梯形，其中AD∥BC，已知AD、BC的長度分別為a、b（a

點評：上述問題解答過程中，僅通過對問題條件內容的分析，解決問題較困難，需要借助于所提供的平面圖形符號，通過數形結合的解題思想策略，找尋問題解答的切入點.通過分析，可以發現，要求出相關數據，需要進行圖形構建，延長BA、CD相交于點O，利用三角形相似及列方程的形式，從而求出所需要求的數值.

問題2：如圖所示，在△ABC中，∠BCA=90°，EF⊥AB于點F，CD⊥AB于點D，∠BEF=∠CDG，BF=DG，如果BC=12，AD=5，求CE的長度.

分析：如果知道BE的長度，問題解答就可以變得輕松簡單，通過對問題條件及圖形符號的分析可以發現，要求BE的長度，通過條件可以知道，應該借助于直角三角形的全等的判定定理，得到Rt△BEF≌Rt△DAG，這可以求得AD=BE=5，從而求出CE的長度.

評注：解答求證此類圖形符號類的問題案例時，應在充分掌握問題條件內容基礎上，根據所提供的圖形符號，進行認真觀察分析，找尋問題條件揭示的條件及隱含的等量關系進行解答.

二、分類討論解題思想策略在問題教學中的運用

分類討論解題思想策略，對學習對象思維嚴密性、縝密性特性培養具有促進和提升作用.學習對象在問題解答過程中，對出現多個結果時，應根據問題要求分別甄別和判斷，選定最精當、最適宜的條件內容.

問題3：有一個半徑為r的圓上有點A，B，C等三個點，已知直線AD⊥直線BC，垂足為點D，直線BE⊥直線AC，垂足為點E，同時直線AD與直線BE解析：通過問題條件內容的分析，在作出如圖1，2圖形基礎上，觀察發現，發現∠ABC處在圓中的位置各不相同，有兩種不同情況.要求∠ABC所對的弧長時，就需要根據不同情況進行分類討論.根據同角的余角相等求出∠H=∠C，再根據兩角對應相等，兩三角形相似求出△ACD和△BHD的2倍求出∠ABC所對的弧長所對的圓心角，然后利用弧長公式列式計算即可得解.

圖1 圖2

評注：本題考查了弧長的計算，圓周角定理，相似三角形的判定與性質，特殊角的三角函數值，求解時需要根據∠ABC的不同情況進行討論，解答中判斷出相似三角形是解題的關鍵.

三、轉化解題思想策略在問題教學中的運用

在初中數學問題教學活動中，轉化解題思想策略運用相對較廣泛，其運用的前提，就是要準找知識點之間的深刻聯系，通過某一“載體”或條件，進行有效轉換，使問題由復雜變為簡單，由繁瑣變為簡易，實現問題有效解答.

問題4：如圖所示，小明要從A地到B地游玩，需要經過公路的C地，已知圖中AC的長度為10千米，∠CAB=25°，∠CBA=37°，現在由于道路改造原因，準備在A點和B點之間之間修一條筆直的公路.（1）試求出改直的公路AB的長度；（2）那么小明走經過改直后的公路比原來的路線縮短了多少千米？（sin25°≈0.42，cos25°≈0.91，sin37°≈0.60，tan37°≈0.75）

分析：將現實問題轉化為數學問題，是數學問題案例解答中經常使用的一種方法.通過問題條件可以知道，要求改直的公路AB的長度，需要進行構造法，作CH⊥AB于H.此時在Rt△ACH中，結合三角函數內容，求得CH，AH，在Rt△BCH中，求得BH，再根據AB=AH+BH，即可求解；第二小題要求出縮短的距離，可以根據Rt△BCH三角函數求得BC的長度，再根據AC+BC﹣AB列式計算，從而求得少走的距離.

點評：此題考查了解直角三角形的應用，主要是三角函數的基本概念及運算，關鍵把實際問題轉化為數學問題加以計算.

四、方程解題思想策略在問題教學中的運用

方程解題思想策略，就是針對數學問題案例，特別是當出現問題案例中出現已知量與未知量之間具有錯綜復雜的關系前提下，借助于列方程或方程組的方式，構建有關的方程，通過運用解方程的形式解答問題.

分析：上述問題案例解題時需要運用二次函數圖像上點的坐標特征、待定系數法求二次函數解析式等知識內容，解題時可以根據點C的位置分情況確定出對稱軸解析式，然后設出拋物線解析式，構建方程組，再將點A、B的坐標代入求解即可.

點評：本題考查了二次函數圖像上點的坐標特征，待定系數法求二次函數解析式，難點在于分情況確定出對稱軸解析式并討論求解.

需要注意的是，在實際運用過程中，經常會出現幾個解題思想策略同時運用的情況，學生要根據問題條件及解題要求進行有效運用，深入實踐.