高層建筑斜交網格筒結構側向位移角研究

史慶軒，任 浩，戎 翀，桑 丹

（西安建筑科技大學土木工程學院，陜西 西安 710055）

斜交網格筒結構體系是一種新型的結構體系，具有抗側剛度大的優點[1-3]，目前該類型結構體系已在國內外有多例成功實踐[4-5]．在我國斜交網格筒結構多處在抗震設防烈度較低的區域．作為一種新型結構體系，與常規的結構體系相比，外筒結構形式、傳力路徑、受力機理等存在較大差異[6]．該結構體系的工程經驗超前于理論研究．掌握該結構的基本力學性能是將其應用于設防烈度較高區域的前提．

目前該新型結構體系既沒有經受過大震檢驗，也沒有豐富的工程經驗，國內外對其力學性能的研究較少[7]，斜交網格筒結構在多遇地震作用下的彈性位移角限值也沒有明確的規定．建立斜交網格筒結構變形轉角的計算方法，探討斜交網格筒結構的彈性位移角限值，分析斜交網格筒結構在側向荷載作用下子模塊的變形轉角和角部斜柱軸向應變之間的關系，對確保該結構體系的抗震設防，以及進行合理抗震設計具有重要意義．

本文推導了斜交網格筒結構子模塊的側向剛度的簡化計算式．通過子模塊的剪切剛度和彎曲剛度的簡化計算式得出了結構子模塊的剪切轉角和彎曲轉角的計算式．通過結構角部斜柱的軸向應變與子模塊變形轉角之間的關系，建立了子模塊變形轉角的計算方法，并通過SAP2000軟件進行了驗證．提出根據斜交網格筒結構各子模塊的變形轉角，來控制結構在彈性階段時的側向剛度及變形能力．建議根據結構具體的幾何參數，不同斜柱角度的結構應采取不同的彈性位移角限值．

1 側向剛度的簡化計算

1.1 子模塊剪切剛度的簡化計算式

高層斜交網格筒結構子模塊的腹板由n(n為主環梁跨數)個交叉斜柱單元組成，交叉單元如圖1所示，在剪力作用下，腹板平面每個交叉單元沿水平方向上的頂點位移是相同的．所以，首先推導出一個交叉單元的抗剪剛度，然后乘以主環梁跨數n即為子模塊腹板的抗剪剛度．

圖1 交叉斜柱單元變形簡圖Fig.1 Cross diagonal column element deformation diagram

子模塊所受的剪力和斜柱軸力之間的關系為

式中：V是子模塊承受的剪力；FN是腹板斜柱的軸力；n是主環梁跨數；θ是斜柱和水平方向的夾角．

腹板斜柱軸力和斜柱應變之間的關系為

式中：As是斜柱的橫截面積；σ是腹板斜柱的應力；εv是腹板斜柱的應變；E是斜柱材料的彈性模量．

在剪力作用下，子模塊的剪切變形和腹板斜柱應變之間的關系如下式所示：

式中：△v是剪力作用下子模塊的剪切變形；h為子模塊的高度．

由式(1)～(3)可得子模塊的剪力和剪切轉角之間的關系式為

由式(4)可得子模塊剪切剛度的計算式為

1.2 子模塊彎曲剛度的簡化計算式

子模塊在彎矩M的作用下，主環梁上相交于同一節點的兩根斜柱產生的軸向變形相等．離中軸線(在M作用下高度不發生變化的豎軸)越遠，斜柱產生的軸向變形越大，且相交節點位于中軸線上的兩根斜柱不產生軸向變形．本文以主環梁跨數n=6的斜交網格筒結構模型為例，推導子模塊彎曲轉角的簡化計算式．子模塊在彎矩M作用下腹板的變形圖如圖2所示.

假設在彎矩M作用下，子模塊的端部產生的豎向位移為△M，腹板從邊柱向中軸，主環梁上相交于同一節點的各斜柱產生的軸向變形依次為(上角標表示的是節點的編號，從兩邊向中間依次為1，2，3如圖2所示)，則腹板的邊柱產生的軸向變形為在彎矩M的作用下節點2產生的豎向位移為相交于節點2的兩根斜柱的軸向變形為，節點3的豎向位移為13△M，相交于節點3的兩根斜柱的軸向變形為

圖2 在彎矩M下子模塊腹板的變形圖Fig.2 The deformation diagram of sub modules under bending

子模塊在彎矩M作用下，斜柱軸力和斜柱應變之間的關系為

式中：As是斜柱的橫截面積；iσ是斜柱應力；iε是彎矩M作用下斜柱的應變；E是斜柱材料的彈性模量．

在彎矩M作用下，斜柱的軸向變形和斜柱應變之間的關系如下式所示：

其中L為斜柱的長度.

由式(6)和(7)可得子模塊在彎矩M作用下，斜柱的軸力和軸向變形之間的關系式：

子模塊承受的彎矩M和斜柱軸力的關系式為

式中：F0表示翼緣斜柱的軸力F0=AsE△Msinθ/L；F1，F2，F3分別表示腹板相交于節點1，2，3的斜柱軸力，△Msinθ?/?3L．

彎曲轉角Mφ和子模塊的端部產生的豎向位移△M之間的關系為

由式(9)和(10)可得子模塊承受的彎矩M和彎曲轉角之間的關系式為

由式(11)可得子模塊的彎曲剛度的計算式為

由式(5)和(12)可以得出剪切剛度和彎曲剛度隨斜柱角度的變化情況如圖3所示，從圖3中可以得出，剪切剛度和彎曲剛度均隨著斜柱角度的增大而減小，剪切剛度受斜柱角度的影響更加明顯．結構的側向剛度由剪切剛度和彎曲剛度組成，由此可以推斷出斜交網格筒結構的側向剛度隨著斜柱角度的增大而減小．

圖3 剪切剛度和彎曲剛度隨斜柱角度的變化Fig.3 Shear stiffness and bending stiffness variation with the angle of the inclined column

2 變形轉角的計算

2.1 計算方法

斜交網格筒結構在側向荷載作用下子模塊的變形轉角由剪切轉角和彎曲轉角組成．由上節可知，斜交網格筒子模塊上承受的剪力和彎矩對子模塊的剪切轉角和彎曲轉角的大小有影響，而結構的側向荷載的分布形式決定了結構子模塊上所承受的剪力和彎矩的大小．所以，斜交網格筒結構的側向荷載的分布形式，對子模塊的剪切轉角和彎曲轉角的大小有明顯的影響．對于高層建筑結構而言，一般有三種典型的側向荷載分布形式，其中包括頂點集中荷載、側向均布荷載和側向倒三角形分布荷載．斜交網格筒結構在三種不同的側向荷載作用下，將結構承受的側向荷載簡化為結構子模塊上的彎矩M和剪力V，利用上節推導出來的公式便可得出剪切轉角和彎曲轉角的大小以及它們之間的比例關系．

2.2 計算模型

參考國內外已有的工程實例，建立不同斜柱角度的斜交網格筒結構模型．所有的模型層高均為4 m，共32層，結構平面尺寸為36 m×36 m；各模型主環梁跨數均為6跨．斜柱和斜柱以及斜柱和環梁均采用剛性連接．各模型立面如圖4所示．斜交網格筒結構的斜柱均采用圓鋼管，并且以子模塊為單位調整截面尺寸，材料均采用Q345．環梁均采用工字型鋼400 mm×300 mm×10 mm×16 mm．在用鋼量相等的原則下建立不同斜柱角度的斜交網格筒結構模型各模型均滿足強度和穩定性要求．

圖4 不同斜柱角度的斜交網格筒模型立面Fig.4 The elevation chart of diagrid tube

2.3 剪切轉角的計算

由式(4)可得剪切轉角的計算式為

斜交網格筒結構在三種不同的側向荷載作用下，將結構承受的側向荷載簡化為結構底部子模塊上的剪力V．將不同斜柱角度的斜交網格筒結構模型的幾何參數以及底部子模塊斜柱截面的參數代入式(13)中，得出斜交網格筒結構在三種不同的側向荷載作用下的剪切轉角隨著斜柱角度的變化情況如圖5所示．從圖5中可以得出，在相同的側向荷載作用下，隨著斜柱角度的增大，剪切轉角逐漸增大，其中頂點集中荷載作用下剪切轉角增加的最快，側向均布荷載作用下剪切轉角增加的最慢．

圖5 剪切轉角隨著斜柱角度的變化Fig.5 The change of shear angle with the angle of inclined column

2.4 彎曲轉角的計算

由式(11)、(12)可得彎曲轉角的計算式為

斜交網格筒結構在三種不同的側向荷載作用下，將結構承受的側向荷載簡化為結構底部子模塊上的彎矩M．將不同斜柱角度的斜交網格筒結構模型的幾何參數以及底部子模塊斜柱截面的參數代入式(14)中，得出斜交網格筒結構在三種不同的側向荷載作用下的彎曲轉角隨著斜柱角度的變化情況如圖6所示．

圖6 彎曲轉角隨著斜柱角度的變化Fig.6 The change of bending angle with the angle of inclined column

從圖6中可以得出，在相同的側向荷載作用下，隨著斜柱角度的增大，彎曲轉角逐漸增大，其中頂點集中荷載作用下彎曲轉角增加的最快，側向均布荷載作用下彎曲轉角增加的最慢．

2.5 剪切轉角和彎曲轉角之間的比值

由式(13)、(14)得剪切轉角和彎曲轉角比值的計算式為

式中：n為主環梁跨數，d為主環梁跨長．

斜交網格筒結構在三種不同的側向荷載作用下，將結構承受的側向荷載簡化為結構底部子模塊上的彎矩M和剪力V．將不同斜柱角度的斜交網格筒結構模型的幾何參數代入式(15)中，得出斜交網格筒結構在三種不同的側向荷載作用下的剪切轉角與彎曲轉角的比值隨著斜柱角度的變化情況如圖7所示．

圖7 剪切轉角/彎曲轉角隨斜柱角度的變化Fig.7 The change of ratio of shear angle and bending angle with the angle of inclined column

從圖7中可以得出，在相同的側向荷載作用下，隨著斜柱角度的增大，剪切轉角與彎曲轉角的比值逐漸增大．斜柱角度相同時，側向均布荷載作用下剪切轉角和彎曲轉角的比值最大，頂點集中荷載作用下剪切轉角和彎曲轉角的比值最小．

2.6 變形轉角的計算

斜交網格筒結構具有強大的抗側剛度，斜柱作為其主要的抗側力構件，在側向荷載作用下主要表現為軸向的拉壓屈服機制．已有研究表明，在側向荷載作用下斜交網格筒結構的塑性鉸首先出現在結構腹板角部的斜柱上[8]．本節基于結構腹板角部斜柱的軸向變形與子模塊變形轉角之間的關系來建立斜交網格筒結構子模塊變形轉角的計算式．其中變形轉角由剪切轉角和彎曲轉角組成；斜柱的軸向變形分別是由子模塊的剪切變形、彎曲變形和結構在豎向荷載作用下的變形引起的．

子模塊變形轉角與腹板角部斜柱的軸向應變之間的關系式為

式中：斜交網格筒子模塊剪切轉角和子模塊角部斜柱軸向應變之間的關系為φv=εv/cosθsinθ；彎曲轉角和子模塊角部斜柱軸向應變之間的關系為φM=εM/2sinθcosθ； △D=FDh/8nASEsin3θ 為子模塊在豎向荷載作用下的豎向位移，可根據結構上相應的豎向荷載和子模塊的豎向剛度計算得出；ε為斜交網筒結構在側向和豎向荷載作用下子模塊角部斜柱產生的應變，設斜柱進入塑性狀態時的應變為εa，可根據斜柱材料的屬性和截面的參數得出．

由式(15)?(16)可得變形轉角的計算式為

在側向倒三角形荷載作用下，子模塊角部斜柱達到不同的軸向應變時，子模塊的變形轉角如圖8所示(其他荷載分布情況與之相同，故省略)．

圖8 側向倒三角形荷載下各模型變形轉角隨角部斜柱應變的變化Fig.8 The harmful angle of each model under the lateral inverted triangle load

從圖8可以得出，在相同的斜柱應變下，變形轉角隨著斜柱角度的增大而增大．結構在側向荷載作用下子模塊的變形轉角受斜柱角度變化的影響比較明顯．當ε=0.3εa時，子模塊能夠保持在彈性階段并且具有良好的側向剛度及變形能力．同理可得其他子模塊的變形轉角．

3 側移角限值的討論

結構的層間位移角是衡量結構的剛度和變形能力的重要指標[9]．我國規范對斜交網格筒結構的層間位移角限值沒有明確規定。本節提出通過斜交網格筒結構各子模塊的變形轉角，來控制結構在彈性階段時的側向剛度及變形能力．基于斜交網格筒結構子模塊腹板角部斜柱的軸向應變，得出結構在不同的側向荷載作用下子模塊的變形轉角，通過斜交網格筒結構各子模塊的變形轉角，來控制結構在彈性階段時的側向剛度及變形能力。

由圖8可得，不同斜柱角度的斜交網格筒結構在側向荷載作用下，子模塊角部的斜柱產生相同的軸向應變時，變形轉角隨著斜柱角度的增大而增大，斜柱角度對變形轉角的影響比較明顯．對不同斜柱角度的斜交網格筒結構子模塊給出一個相同的彈性位移角限值顯然是不合理的．本文建議根據結構具體的幾何參數，不同斜柱角度的結構子模塊應采取不同的彈性位移角限值．

以模型二(75.96°)為例，當底部子模塊角部斜柱的應變ε=0.3εa時，由式(17)可得出變形轉角分別為φ=1/1136(倒三角形荷載)、φ=1/1214(側向均布荷載)、φ=1/1220(頂點集中荷載)，在三種不同的側向分布荷載作用下變形轉角均不超過1/1100．所以，可以通過限制該子模塊的變形轉角小于1/1100，來控制其在彈性階段時的側向剛度及變形能力．同理可得該結構其他子模塊的變形轉角限值．取所有子模塊變形轉角限值中的最小值，來控制斜交網格筒結構在彈性階段時的側向剛度及變形能力．

4 有限元驗證

以模型二為例，采用SAP2000結構分析軟件對其分別在頂點集中荷載、側向倒三角形荷載、側向均布荷載作用下進行靜力彈性分析．當結構底部子模塊腹板角部斜柱的軸向應變ε=0.3εa時，斜交網格筒結構在三種不同側向荷載作用下的層間位移角分布如圖9所示．

從圖9可以得出，結構底部子模塊最大層間位移角分別為1/1100(倒三角形荷載)、1/1161(側向均荷載)、1/1185(頂點集中荷載)，與通過式(17)得到的變形轉角φ=1/1136(倒三角形荷載)、φ=1/1214 (側向均布荷載)、φ=1/1220 (頂點集中荷載)比較吻合，結構底部子模塊的層間位移角均小于1/1100，從而驗證了本文基于斜交網格筒結構子模塊腹板角部斜柱的軸向應變，得出結構在不同的側向荷載作用下子模塊的變形轉角的計算方法是比較合理的．隨著樓層高度的增大，由于無害層間位移角的積累，所以結構的中上部的層間位移角逐漸增大甚至超出了1/1100．

圖9 斜交網格筒結構的層間位移角Fig.9 Inter story drift angle of the diagrid tube structure

5 結論

(1) 斜交網格筒結構子模塊的剪切剛度和彎曲剛度均隨著斜柱角度的增大而減小，剪切剛度受斜柱角度的影響更加明顯．斜交網格筒結構的側向剛度隨著斜柱角度的增大而減小．

(2) 推導了斜交網格筒子模塊的剪切轉角和彎曲轉角的計算式以及剪切轉角和彎曲轉角之間的比例關系，并得出在相同的側向荷載作用下，隨著斜柱角度的增大，剪切轉角和彎曲轉角逐漸增大，剪切轉角與彎曲轉角的比值逐漸增大．

(3) 提出了通過斜交網格筒結構各子模塊的變形轉角，來控制結構在彈性階段時的側向剛度及變形能力．通過子模塊角部斜柱的軸向應變與子模塊變形轉角之間的關系，建立了子模塊變形轉角的計算式．得出在相同的斜柱應變下，變形轉角隨著斜柱角度的增大而增大．結構在側向荷載作用下子模塊的變形轉角受斜柱角度變化的影響比較明顯，建議根據結構具體的幾何參數，不同斜柱角度的結構應采取不同的彈性位移角限值．

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