幾何畫板在平面解析幾何教學中的應用研究

【摘 要】借助平面解析幾何教學中的一系列案例，討論幾何畫板在促進學生數學概念的形成、數學定理的發現與驗證、數學問題解決過程中的應用。

【關鍵詞】幾何畫板 ?平面解析幾何 ?數學概念 ?數學定理 ?問題解決 ?應用

【中圖分類號】 G ?【文獻標識碼】 A

【文章編號】0450-9889（2014）12C-0156-06

幾何畫板是一個易學易用的數學軟件，為教師和學生提供了一個探索幾何圖形內在關系的教學平臺。它以點、線、圓為基本元素，通過對這些基本元素的變換、度量、計算和跟蹤生成軌跡等方式，能構造出較為復雜的數學圖形和動畫效果，能根據普通方程、參數方程和極坐標方程準確地畫出其對應的圖形。幾何畫板較之其他數學軟件最大的優勢在于幾何圖形的動態化、“形”與“數”的同步化和操作的簡單直觀化。

筆者在平面解析幾何課程教學過程中，結合幾何畫板的優勢和五年制高職生的認知特點，有針對性地設計了大量的教學案例，并借助這些教學案例所創設的問題情境展開教學活動，充分調動了學生在操作中觀察、在探索中思考、在合作中交流，不僅點燃了學生的學習熱情，而且克服了傳統教學中的不足，有效地促進了學習活動的開展。本文擬借助這些案例討論幾何畫板在平面解析幾何教學中數學概念的形成、數學定理的發現與驗證、數學問題解決過程中的應用。

一、幾何畫板在揭示數學概念本質特征和形成過程中的應用

數學概念是對客觀世界中的數量關系和空間形式的直接抽象，或是在已有數學理論上的邏輯建構，教師在進行概念教學時，應選擇適當的素材，分析概念的特性，設計恰當的問題情境，使學生在經歷概念發生、發展的過程中，認識理解數學概念。對于某些具有過程性特征的數學概念，如拋物線、離心率等概念，傳統教學手段不易為學生提供過程性的認識材料與背景，不能很好地揭示這一類數學概念的本質特征，學生在不理解的前提下，大多對概念的認識停留在事物的表面，不能深刻理解概念的本質。幾何畫板可以為過程性概念提供形象、生動、直觀的過程背景，有效地促進學生對數學概念的本質特征的發現與理解。

案例1：拋物線概念的理解。

用沒有伸縮性的繩索可以畫出橢圓和雙曲線，但卻難以用傳統教具流暢地畫出拋物線的運動軌跡。通常情況下，教師用語言直接給出拋物線的定義，拋物線上的點所滿足的條件完全由教師告知，學生難以信服與理解。而借助幾何畫板的動畫技術，則可以流暢地表現拋物線軌跡的形成過程，有助于學生發現運動軌跡的本質特征，從而理解概念。如圖1所示，點M作為動圓的圓心，在運動過程，動圓始終保持過定點F并和定直線l相切，學生通過觀察動點M的運動過程和形成的運動軌跡，不僅能抽象概括出拋物線的本質屬性，還能給拋物線下定義。

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圖1 拋物線軌跡的形成過程

案例2：“橢圓離心率”概念的認識。

如圖2所示，學生學習“橢圓離心率”時，借助幾何畫板中的度量、計算與跟綜軌跡工具，能直觀、動態地呈現焦距與長軸比值保持不變，橢圓由大不斷變小，但扁平程度不變的過程，得到“離心率相同的橢圓相似或重合”的結論。如圖3所示，保持橢圓長軸不變，讓兩個焦點距橢圓中心的距離越來越近，離心率越小，橢圓越接近圓，反之橢圓越扁平。通過幾何畫板的動態演示，既能直觀地幫助學生認識橢圓離心率的幾何意義，又能在此基礎上幫助學生建立橢圓和圓之間的關系，實踐證明有了上述的感性認識之后，學生不僅能夠接受教材中關于離心率定義的規定，而且對其本質也有了深刻的認識，有效地提升了學生對橢圓離心率的認知水平。

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圖2 離心率不變、橢圓的大小改變時的對比圖

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圖3 保持橢圓長軸不變、焦距變小時的前后對比圖

二、幾何畫板在揭示數學定理、性質、公式發現過程中的應用

數學理論不會憑空產生，一般都會有一個實際需要或具體的問題背景，數學家們通常要經過具體的操作、演算，通過觀察、分析，從中發現數學規律，形成猜想，然后從理論上給出嚴格的證明。平面解析幾何中所涉及的數學理論，是許多數學家經過長期研究積累而形成的邏輯嚴密、抽象完整的理論體系，在傳統教學中，學生學習這些抽象的數學理論時，往往會被忽略理論產生的背景和探索的過程。現代心理學、教育學成果揭示：學生在學習數學時，會以濃縮的形態再現人類數學發現的歷程，傳統教學中，由于受條件、技術、時間等諸多因素的限制，問題發現的過程均被削弱了，注重的是數學理論成果的快速學習，數學的系統性、抽象性和理論證明的邏輯性、嚴謹性成了課堂的主旋律，這也是學生覺得數學難學的最為主要的原因之一。幾何畫板可以為學生提供可進行觀察、分析、思考的問題背景，讓學生在豐富的感性材料中經歷探索、發現數學規律過程，獲得數學猜想的喜悅體驗。

（一）用幾何畫板揭示數學定理的發現過程

案例3：發現兩條直線互相垂直的充要條件。

“兩直線垂直的充要條件”這一數學定理的教學，通常是教師出示定理內容，然后進行推理證明，學生對定理的內容及證明在理解與認同上總有一些困難。如圖4所示，用幾何畫板能迅速作出兩條互相垂直的直線，直接測算出這兩條直線的斜率，用計算工具，求出兩者之積，保持這兩條直線的垂直關系不變，用鼠標任意改變這兩條直線的方向，屏幕上即時呈現出兩直線的斜率隨兩直線的方向的改變而改變，觀察兩直線的斜率，可以發現兩直線的斜率互為負倒數關系，兩直線的斜率的乘積始終為-1。學生通過觀察分析，能猜想出兩條直線垂直的必要條件。

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圖4 兩條直線垂直時斜率之間的關系

反過來，如圖5所示，用幾何畫板先任意作出一條直線，然后再作出另一條與它斜率為負倒數的直線，任意改變第一條直線的方向，測算出，兩直線的夾角始終為90度。學生可以猜想出兩條直線垂直的充分條件。學生獲取“兩直線垂直的充要條件”，不再是教師直截了當地給出，而是通過操作、觀察、分析猜想得來的。學生學習定理證明時，就會興趣盎然，信心百倍。實踐證明有了上述的觀察猜想之后，學生不僅能夠接受教材中關于兩直線垂直的充要條件，而且能夠通過自己的努力證明定理。

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圖5 兩直線斜率互為負倒數、兩條直線垂直

（二）用幾何畫板揭示數學性質的發現過程

案例4：揭示拋物線開口大小的性質。

目前的數學教材往往在問題討論之初，就直接給出相關數學性質內容，導致學生對數學性質的感性認識的缺乏，使得學生在數學性質的接受或認同上產生困難。借助幾何畫板所創設的提供的感性材料和問題情境，在一定程度上可以消除這方面的影響。幾何畫板能通過拖動某一對象（如點、線）觀察整個圖形的變化來研究圖形的性質。如圖6所示，用鼠標沿著x軸的正方向拖動焦點F，使焦點到準線的距離p值逐漸增大，這時拋物線的開口大小也隨之逐漸變大，反之，拋物線的開口變小。學生通過觀察拋物線開口大小與p值大小關系的動態演示過程，不僅能自己猜想出拋物線開口大小的性質，而且加深了方程與圖形對應關系的認識，同時也激發了學生進一步從理論上證明這一數學性質的興趣。

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圖6 改變P值，開口大小改變

（三）用幾何畫板揭示數學公式的發現過程

案例5：發現數軸上有向線段的數量公式。

用幾何畫板在作出數軸上的有向線段AB（如圖7a），測算出有向線段AB的端點A、B兩點的坐標值（XB，XA），并用鼠標沿坐標軸拖動點A或點B，引導學生觀察，可以猜想出數軸上有向線段的數量與終點坐標、起點坐標的關系式。如圖7b所示，計算XB、XA、XB-XA 三者的值，改變A、B兩點在x軸的任意位置，可以進一步驗證猜想。幾何畫板中的度量“橫坐標”工具既能直觀地幫助學生發現數軸上有向線段的數量與端點坐標的關系，又能在此基礎上幫助學生驗證當A、B兩點處于各種位置時公式的正確性，能有效地提升學生對有數軸上有向線段數量公式的認知水平。

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圖7 數軸上有向線段的數量與端點坐標的關系

（四）用幾何畫板揭示數學概念之間的聯系

某些數學概念或對象之間既存在著聯系，也存在著差異，借助幾何畫板的動態功能，能夠很好地揭示數學概念之間所存在的聯系與差異，并可以流暢地呈現由此及彼的運動變化過程，這無疑能夠幫助學生深刻地認識概念的內涵與外延，概念間的聯系與區別，進而發展學生的理解能力和認知水平。

案例6：用幾何畫板揭示橢圓、雙曲線、拋物線三者之間的區別與聯系。

傳統教學中，學生難以理解橢圓、雙曲線的第二定義，傳統教具不能根據橢圓的第二定義直觀的演示出軌跡圖形，這也是學生心里不能完全接受和理解第二定義的原因。借助幾何畫板的動態演示功能不僅能夠直觀演示出離心率不同的橢圓軌跡圖形，還可以通過改變離心率的大小，動態直觀地呈現出由橢圓到拋物線、雙曲線的變化過程，動態直觀地揭示了橢圓、雙曲線、拋物線三者之間的區別與聯系。如圖8所示，用幾何畫板的“追蹤”和“軌跡”工具，能實現到定點與定直線的比為常數（可通過拖動點改變常數值）的點的軌跡的動態演示，動點M在運動時，保持到定點F的距離MF和定直線的距離MA的比值是常數0.59292時，動點M的軌跡是橢圓。如圖9所示，用鼠標沿線段OS 拖動點T，可以任意改變比值e的大小。當e=1時，動點M的軌跡也隨之而變為拋物線，當e>1時，動點M的軌跡也隨之而變為雙曲線，這樣離心率的大小與橢圓、雙曲線、拋物線之間的辯證關系清楚地呈現出來了，既降低了學生認知與理解上的難度，又讓學生對離心率的定義和圓錐曲線的特點有了本質的認識，還能為后續學習圓錐曲線的極坐標方程服務，價值巨大。

圖8 比值小于1時動點M的軌跡

大于1時，動點M的軌跡

圖9 比值e不小于1時動點M的軌跡

（五）用幾何畫板直觀、形象地揭示相關定理間的聯系

數學中的某些重要定理及其相關知識，不僅需要讓學生認識、理解定理的條件和結論部分，掌握定理的推理證明方法，知道定理的由來，而且還需要讓學生把握這個定理與其相關定理或知識間的內在聯系，從而幫助學生系統地認知數學，培養學生的數學發現能力和數學思維能力。借助幾何畫板其動態演示功能，可以把相關定理等知識的演變過程直觀、形象地揭示出來，從而幫助學生深刻地認識相關定理之間的聯系。

案例7：揭示兩直線三種位置關系充要條件定理之間的區別與聯系。

幾何畫板能測算出直解坐標系中直線的點斜式方程，通過拖動或旋轉某一直線，可以探究觀察兩條直線的位置與兩直線的斜率與截距之間的關系。如圖10所示，直線l1可以做上下平移運動，運動過程中與直線AB平行或重合，通過引導學生觀察兩直線方程的斜率和在Y軸上的截距，學生能發現兩條直線平行或重合的必要條件。讓直線l2繞C點旋轉，學生可得出兩直線相交的必要條件，通過以上的兩個動態演示，學生發現了兩直線平行、重合、相交必要條件及之間的聯系，這樣進行教學不僅有益于學生發現定理內容與定理之間的聯系，而且還能培養學生系統地把握和認識數學知識的能力。endprint

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圖10 兩直線的三種位置關系與對應直線方程的顯示

三、幾何畫板在問題解決過程中的應用

數學發展史表明，某類數學問題的解決會產生與之相關的數學理論或數學方法，譬如，微分學及求導等一系列數學理論和數學方法的產生，就是源于求運動物體的即時速度這類問題的解決，解析幾何中所涉及的大部分數學理論或數學方法，都是前人在求解相應的數學問題時所得到的，盡管學生目前所遇到的數學問題不是那么深奧復雜，但對于學生來說，卻是難于求解的數學問題，其中的一些問題借助幾何畫板不僅能幫助學生更加深刻地認識問題本身，而且還能幫助學生在解答的過程中尋找問題求解的一般方法，從而降低解決問題的難度，提高問題解決能力。

（一）借助幾何畫板快速呈現平面上點的運動軌跡

探求點的軌跡是平面解析幾何研究的重要問題之一，一直以來都是學生難以理解和掌握的內容，傳統教學中，學生只能手工畫出動點軌跡的草圖或在頭腦中簡單地想象，軌跡的精準性、完備性往往難以把握，手工畫圖常使學生、教師在解題思考時，考慮得不夠完整全面，遺漏了動點的特殊位置以及動點運動的多種情形，從而造成軌跡的遺漏和不完整。借助幾何畫板，可以直觀、動態地描繪出運動軌跡的形成過程，幫助學生認識軌跡的本質特征，有助于學生從中獲得解決問題方法。

案例8：求分別位于兩定圓上兩動點連線段中點的集合。

如圖11a所示，點A和點B分別是兩個相離的定圓上的動點，點C為線段AB的中點，當點A和點B同時在兩個圓上任意運動時，求點C的集合。如果知道了動點的運動軌跡，就有助于問題求解，借助幾何畫板的可以迅速畫出動點C的軌跡圖形，如圖11b所示，原來是一個圓環（限于篇幅這里不展開求解過程）。在此基礎之上可以繼續探索：如果兩圓相交、相切、內含時，點C的軌跡如何呢，通過拖動的方式，點C的軌跡圖形能準確快速地呈現出來。求軌跡方程是解析幾何教學過程中的重難點之一，學生往往不知道運動軌跡是什么圖形，從而會影響問題的解答，然而借助幾何畫板不僅能夠直觀、形象地幫助學生“繪出”相應的滿足條件的所有點的集合，而且在此基礎上還能進一步分析、尋找問題求解的方法，達到全面地、本質地認識數學問題的目的。

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圖11 點C的軌跡是一個圓環

（二）借助幾何畫板快速呈現直線的運動軌跡

幾何畫板的繪圖功能和動態移動功能，不僅能對點進行“追蹤”顯示“軌跡”，而且也能對直線或其他圖形對象進行“追蹤”并顯示“軌跡”。能夠直觀、動態地呈現運動對象的軌跡圖形，從而幫助學生“找到”相應的問題求解集合，在此基礎上，啟發學生思維，為學生提供問題求解的線索和一般方法。

案例9：求滿足條件的折痕所在直線集合。

一張紙上畫有半徑為r的圓C，在圓C外有一定點T，且OT=b，折疊紙片，使點T剛好與圓周上某一點T′重合，這樣不斷進行折紙，每一種折法，都有一條直線折痕。當點T′取遍圓周上所有點時，求所有折痕所在直線的集合。按求軌跡方程的一般方法求直線集合中的點的橫縱坐標x，y之間的關系式是極為困難的。如圖12所示，借助幾何畫板的“軌跡”工具，能迅速得到所求點的集合的圖形是“雙曲及其外部”。進一點探討：如果點T在圓C內時，折線的集合又是怎樣的圖形呢？通過拖動改變點T的位置和圓的大小，能很快能地得到所求點的集合的圖形是“橢圓及其外部”，如圖13所示。限于篇幅，這里略去問題的最終求解表達式求及解過程的相關敘述。借助幾何畫板能有效突破問題求解過程中的“畫出軌跡圖形”這個難點，顯然這是傳統教學手段無法達到的。把幾何畫板和問題解決有機地結合起來，可以開辟問題求解的新平臺，對這個平臺的使用能極大地促進學生的問題解決能力的提高，促進學生思維品質的提升，這無疑是對解析幾何教學的促進。

圖12 T點在圓外折痕集合

圖13 T點在圓內折痕集合

綜上所述，用幾何畫板輔助平面解析幾何教學是傳統教學手段的有力補充，借助其所創設的問題情境開展數學教學能夠極大地促進學習活動的有效開展，但使用時要根據教學的實際需要恰當地選擇，科學地設計，要以激發學生思考、提升學生的思維品質、提高教學效果為目的，不能為了用幾何畫板而生硬地使用，這樣會適得其反。

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【作者簡介】莫 平（1965- ? ），女，武漢人，柳州城市職業學院副教授，碩士，研究方向：高職數學教育、高職計算機教育。

（責編 王 一）endprint