線性代數課堂教學的幾點體會

房劍平

摘 要： 作者結合線性代數的一些具體的課堂教學實例，從課前備課、課堂教學及課后作業批閱三個方面就如何增強線性代數教學效果，激發學生學習數學的興趣談談體會。

關鍵詞： 線性代數課堂教學 教學方法 教學體會

線性代數是數學的一個重要分支，其計算技巧與數學理論對自然學科和數學學科本身的發展起著重要作用，它不僅是一門非常好的數學課程，而且是一門非常好的工具學科，在很多領域都有廣泛的用途。同微積分一樣，它是高等數學中兩大入門課程之一，是大學理工科和部分文科專業主要的基礎課程。它的理論和方法無論是對學生知識結構的完善還是對學生綜合素質的提高，以及創新能力的培養都有著十分重要的作用。線性代數的教學效果直接影響學生在實踐中應用數學的能力。筆者結合自己十幾年來的教學實踐，從課前備課、課堂教學及課后作業批閱三個方面就如何增強線性代數教學效果談談體會。

一、認真準備，精心備課

上課前充分備課是上好課的前提，要提高課堂教學質量和效率，首先要抓好備課這一環節。大量的教學實踐表明，教師在備課上所花的工夫直接影響授課質量。就同一任課教師來說，進行觀摩教學時教學效果一般都比平時好，原因并非觀摩教學時教學能力高，而在于教師備課比平時充分得多，進行了認真的籌劃和精心的設計。針對線性代數課程學時少、概念多、抽象度高、思維方式獨特的特點，教師要在教學過程中既保證數學原理的傳授，又使學生及時掌握主要的解題方法，就必須認真地籌劃和精心地設計每一節課的每一個知識點。

要備好課，首先要熟悉教材的整體構架。具體地指，這冊教材是怎么樣編寫的，它是以怎么樣的脈絡為主線的，主要內容有哪些，分為幾大版塊，每個版塊由哪些具體的內容構成。只有對教材框架熟悉，我們才可以創造性地加工教材，對教材科學地重組、合并、添加及刪除，讓教材符合學生的實際，符合學生的口味。這就是說，我們要“用教材教”，而不是“教教材”。例如大多數線性代數教材講行列式的時候，開始都是以2階與3階行列式引入一般行列式的定義的，如文獻[1]和[2]。如果嚴格按照課本章節，那么2階節行列式還容易讓學生記住，但是3階行列式對于大多數學生來說，不但有的6項不容易記住，而且常會為這些項的正負號糾結。如果熟悉了教材的整體框架，知道這不過是為了引入行列式一般概念而設的章節，就完全可以跳過這部分內容，直接從逆序數引入行列式的一般定義，然后再用一般定義看2階與3階行列式，這樣容易讓學生接受。

要備好線性代數課程，還要事先對所教的學生情況有所了解。現行的線性代數教材大多是老版本，但是中學教材施行的是新課程標準，這就造成大學教材與中學教材脫節的情況，即使是最近出版的線性代數教材也有這種情況。如在線性代數教材中講到全排列與逆序數的時候，都是默認學生學過簡單的排列組合知識的。但是，實際上這部分知識點有些中學是不作要求的。老師在處理與這部分內容相關的知識時，要清楚班級到底有多少人知道這一知識點，根據具體情況適當增加一些排列組合的知識，這樣更有助于學生理解所教內容。

最后，每次備課都要針對此節課知識點精心設計一些課后習題留給學生完成。著名數學家華羅庚曾說：“學數學不做題，如入寶山而空手歸。”足見解題對深刻理解數學知識和方法的重要性。線性代數課程的特點是學時少、概念多、抽象度高，課后如果不盡心設計一些習題，則學生很難真正掌握所學知識點。如在線性空間這一章節中，不少學生對線性空間的概念感到很迷茫，難以想象，但是課本[1]上用定義驗證線性空間的題目只有針對2階矩陣的驗證是否為線性空間的三個小題。如果只用書本上的作為習題，一是驗證類型太單一，二是量比較少，因而在這一知識點上，我會增加一些課本之外的用定義驗證線性空間的習題。實踐證明，通過適量做題，學生對線性空間的概念認識有所提高。

二、充滿激情，組織教學

為了更好地組織課堂教學，首先我們必須盡力地營造和諧活躍的課堂氛圍。要營造活躍的課堂氛圍，教師一定要用自己的話（要講出自己的理解）講授課程，不照本宣科，語言不僅要生動、形象，還要幽默。學生只有在寬松、和諧、自由的環境中學習，才能思路開闊，思維敏捷，才會主動參與到教學過程中。好課堂是充滿真情與激情的課堂，一堂缺乏激情的課是無法引起學生共鳴的課。這里所說的激情，就是老師課堂上內容表達清晰、用語抑揚頓挫、全身心投入講課、滿腔執情地與學生互動。師生的良性互動不但會提高學生的學習積極性，而且會提高課堂教學效率。例如講消元法解線性方程組時，對于3元或4元線性方程組，因為學生在中學就有接觸，所以我讓不同的學生講這些內容，并先讓學生自己點評總結。學生面對學生，可以無拘無束地發表自己的見解，同學之間的討論、爭辯、交流大大調動了學生學習的積極性。在學生討論交流后，我最后給出用矩陣初等變換的方法進行消元的教學內容。這樣的學習方式，不僅能活躍課堂氣氛，而且能激發學生的創新意識。

其次，要更好地進行課堂教學，還要理解學生，與學生做朋友。理解學生就是要知道隨著高校的擴招，一些高等院校在努力探索自己的生存與發展的同時，接收了一些低分數考生。這些低分入學的同學的基礎比較差，以至于我們經常會遇到這樣的情況——一個簡單的定義或者結論，有部分同學無論如何解釋都不懂。在這種情況下，教師首先要有耐心，理解他們為什么才會這樣。有了這樣的理解為基礎，學生才有可能將你當做真正的朋友。心理學研究表明，學習興趣是學習積極性中最現實、最活躍的成分。而學生對某學科有興趣在一定程度上取決于對任課老師喜歡的程度。所以，當學生將你作為他的朋友時，他在一定程度上就會喜歡你所教的這門課程，在學習中就會充分發揮自己的主體作用。

再次，適當應用多媒體進行課堂教學。對于多媒體在教學中的使用，我覺得目前不少高校出臺的各種政策與采取的措施有些激進，在教學質量學生與專家的測評表中、各種級別的講課比賽中，把是否運用多媒體作為衡量教學水平的指標之一，在客觀上產生一種過高定位多媒體作用的傾向。實際上，傳統的板書模式有著多媒體不可替代的功效，學生可以從板書過程中解讀出教師對所寫內容的理解思路，進而促進對這部分內容的學習。在教學過程中大量使用多媒體，追求講授速度，而不給學生充分思考的時間，這樣不利于培養學生的創新思維，不利于培養學生的數學能力；況且在有限的教學時間內，學生接受知識的容量也是有限的。擴招后，數學課一般是大課，然而我們的多媒體教室只有不到兩平方米的黑板，教師板書受到限制；即使教室有黑板，多媒體屏幕又一般設置在教室正前方，屏幕一拉下來，黑板便占去了一大半，留下的可用版面很小。這種多媒體教室實際上充當了強迫教師完全使用多媒體進行教學的角色，它使得數學教學效果大打折扣。因此，在線性代數教學過程中，只有對一些內容簡單的章節，例如線性空間的定義，我才會將基本定義、定理的內容打上屏幕，證明及解釋過程則板書；而那些學生不容易掌握的較難的章節，則使用多媒體教學。

最后，為了更好地達到預期的教學效果，每次課堂教學快結束時，我都會預留5到8分鐘，對本次課堂教學內容進行總結。實時小結，有助于學生掌握課堂教學內容。如講完正定二次型這一小節內容時，可以預留點時間，引導學生寫出正定二次型（或正定矩陣）的所有等價命題，并用框圖給出，這樣學生可以更清楚各個命題之間的聯系，從而加深對正定二次型的理解。

三、用心批閱，及時反饋

課堂教學結束，線性代數課程教學并沒有就此結束。教師還得用心完成預留作業的批閱，并及時反饋作業情況給學生才算完成一次完整的教學過程。作業的批閱如同課堂教學一樣是學校教學工作中的一個重要環節，有著無法替代的特殊作用。它不但可以及時檢驗學生學習的情況，讓我了解他們存在的不足和需要重視、改進的地方，為如何組織下一課的教學提供有力的依據，還可以因材施教，為每一個學生的教育、培養提供參考意見。通過作業，我及時發現在剛結束的課堂教學中存在的問題并想辦法解決問題。如果錯的是少數同學，我就會在學生出錯的地方寫出正確的解答過程。如果大部分人都犯類似錯誤，我就會在下次課堂教學時進行集體訂正。例如在求解齊次線性方程組的時候，我通過作業發現不少學生在求基礎解系的時候不知到怎樣尋求，于是我就在下次課上把如何求解基礎解系重新講解一遍。

同樣，通過認真批閱作業，能夠幫助學生正視自己，提高學習效率。作業是學生在學完每一節課后檢驗自己學習情況的一種有效手段和方法，是學生自己的學習成果。學生可以從自己的作業成功中獲取自信心，進而激發對線性代數學習的興趣。

通過作業的用心批閱，能夠拉近師生距離，建立良好的師生關系。教師認真批閱學生作業的這種敬業精神會在一定程度上感染學生。我在批改作業時做到一視同仁認真對待，無論是對成績較好的學生還是成績不理想的學生交上來的作業都一絲不茍、認真批閱。

總之，批改作業是每個教師都必須重視并認真對待的重要工作環節，它為提高教學質量、建立良好的師生關系提供了有利條件，在教學教學作中有特殊作用。教師一定要本著為學生服務、為教育事業服務的精神，兢兢業業，認真批閱學生的作業，耐心教育引導他們在完成作業的過程中樹立良好的學習態度和習慣，為努力學習科學文化知識打下堅實的基礎。

參考文獻：

[1]同濟大學數學系.工科數學：線性代數[M].北京：高等教育出版社，2007.

[2]上海市教育委員會組.工程數學與教學軟件：線性代數[M].北京：科學出版社，2005.

[3]成琨，任永泰.提高線性代數課堂教學有效性方法的探討[J].大學教育，5：83-84，2013.

[4]馮進.線性代數理論的形成與發展[J].數學傳播，34（1）：81-88，1999.