對分數(shù)再認識的若干思考

王曉紅

一、教學(xué)片段呈現(xiàn)

1.課件出示一塊蛋糕，準備分給四個小朋友。

師：怎樣分才比較公平？

生：要平均分成4份。

師：其中的1份可以用什么數(shù)來表示呢？

生：四分之一（異口同聲）。

師：四分之一是什么數(shù)？你是怎么想到四分之一的？

生：以前學(xué)過了，把一個物體平均分成若干份，其中的一份可以用幾分之一來表示。

師：好的，這是以前學(xué)過的知識，今天在這樣的基礎(chǔ)上，我們繼續(xù)學(xué)習(xí)分數(shù)的知識。

2.出示3塊比薩餅，仍然準備分給這四個小朋友。

師：能平均分給這四個同學(xué)嗎？

生一時語塞，似有困難，出現(xiàn)短暫思考時間。

師：看來同學(xué)們需要商量一下，請大家先在小組里交流，然后全班匯報。

學(xué)生匯報時，大體出現(xiàn)了兩類聲音：

聲音1：每位學(xué)生分得四分之三塊比薩。

聲音2：每位學(xué)生應(yīng)分得這些比薩的四分之一。

師：到底是四分之一，還是四分之三呢？

學(xué)生開始在課堂上大聲地爭辯起來。

師：誰來說說自己的想法。

生1：我們是這樣想的：把這些比薩平均分給學(xué)生不好分，所以我們先拿出一塊平均分成四份，每一份就是四分之一，總共有3塊比薩，所以共有3個四分之一，就是四分之三塊了。

生2：我們是把這3塊比薩疊在一起的，看做一個整體，然后就像分蛋糕一樣，切兩刀，平均分成4份，每人拿一份，所以每人應(yīng)分得這些比薩的四分之一。

生1：你講得不對，疊在一塊后總共有3塊比薩，分出的應(yīng)該是四分之三塊比薩。

教師對上述情況早已做了預(yù)設(shè)及準備，學(xué)生講解的同時課件演示出這兩種平均分的方法。

師：好的，其實，這兩個同學(xué)講得都對，每人分得的比薩既可以用四分之三塊表示，又可以用這些比薩的四分之一表示，換句話說，這些比薩的四分之一就是四分之三塊。

講臺下一陣騷動，學(xué)生議論紛紛，對于老師的“總結(jié)陳詞”不理解，也不贊同。

二、診斷分析

以上片段是某位教師在執(zhí)教本節(jié)課的實錄，不難從中看出，學(xué)生對于“每人分得的比薩既可以用四分之三塊來表示，也可以用這些比薩的四分之一來表示”不理解。其實，很多老師在教學(xué)本課時，也會有這樣的感受，怎樣讓學(xué)生感受到“把由若干個物體組成的一個整體平均分成幾份，可以用幾分之一或幾分之幾這樣的分數(shù)表示這個整體里的一份或幾份”？

為什么會出現(xiàn)這種情況呢？“分數(shù)”在五年級教科書中是這樣定義的：“把單位1平均分成若干份，表示這樣的一份或幾份的數(shù)，叫做分數(shù)?！痹谶@樣的定義中，我們不難發(fā)現(xiàn)“單位1”是一個很抽象的，難以理解的概念，它可以是“一個物體”，也可以是“一個計量單位”，還可以是“許多物體組成的一個整體”，很多情況下的“單位1”是看不見、摸不著的，但客觀存在的。三年級上冊教學(xué)時“將一個物體平均分成若干份”，學(xué)生理解起來比較容易。因為將“一個物體”看成“單位1”時很直觀，實實在在，清清楚楚。正是因為“單位1”被通俗易懂地理解成1個物體，所以“平均分的對象”學(xué)生很明白，就是“那一個物體”，“平均分的結(jié)果”學(xué)生也很清楚，就是“那一個物體的”幾分之一。三年級下冊再學(xué)習(xí)《認識分數(shù)》時，教學(xué)中將“3塊比薩”平均分給4個小朋友，出現(xiàn)兩種聲音，其實是源于對“單位1”的兩種不同理解：第一種想法認為“每人分得的比薩是四分之三塊”，是將一塊比薩看做“單位1”（仍然停留在三上認知水平上，將1個物體看做“單位1”），將其平均分成4份后，每一份是這塊比薩的四分之一，也就是四分之一塊，之后進行疊加得出四分之三塊；而第二種想法認為“每人分得這些比薩的四分之一”是將3塊比薩看做“單位1”的，平均分成4份，每一份當然是這些比薩的四分之一了。數(shù)學(xué)老師細想這兩種想法都有道理。但如果站在學(xué)生思考的角度來想，要解決“每人分得多少比薩？”的問題，可能第一種想法更符合孩子的認知。因為學(xué)生已有三年級上冊認識分數(shù)的基礎(chǔ)，其思考的想法會受已有知識經(jīng)驗的影響，自然會出現(xiàn)“每人分到四分之三塊比薩”的想法。相比之下，第二種想法“將3塊比薩看成一個整體，將這個整體平均分成4份，每一份可以表示為這些比薩的四分之一”反而是比較難理解的，只有少數(shù)優(yōu)生和教師才能接受。教師簡單的一句“這兩個同學(xué)講得都對，每人分得的比薩既可以用四分之三塊來表示，又可以用這些比薩的四分之一來表示”能使學(xué)生心悅誠服嗎？筆者認為要想解決好這個認識問題，有必要幫助學(xué)生對“單位1”（即“一個整體”）的概念進行科學(xué)合理的建構(gòu)。

三、教學(xué)思考

要想讓學(xué)生對于“單位1”的概念有深刻理解，要注重以下幾個關(guān)系的處理。

1.處理好部分與整體之間的關(guān)系，讓學(xué)生認識分數(shù)總離不開單位“1”。

“分數(shù)”是用來表示“部分”與“整體”之間的一種關(guān)系?！罢w”往往被稱之為“單位1”，相對應(yīng)的那“部分”就是表示為“單位1”的幾分之一或幾分之幾，它們是緊密聯(lián)系、不可分割的。在理解分數(shù)時，若離開了“單位1”這個整體概念，那么這種數(shù)學(xué)表達將變得毫無意義。所以，三年級上冊教學(xué)時，我們不僅要讓學(xué)生知曉將一塊蛋糕平均分成兩份，每一份是“二分之一塊蛋糕”，還要重點強調(diào)是“這塊蛋糕的二分之一”，前者可能更多地講清了蛋糕的多少（即具體量），而后者才是“二分之一”這個分數(shù)的本質(zhì)含義（即部分與整體之間關(guān)系的一種數(shù)學(xué)表達）。本教學(xué)片段中也是這樣，首先要讓學(xué)生充分感知到這些比薩是如何平均分的；平均分后的“部分”與“整體”間的關(guān)系可以怎么表達，其次要清楚為什么可以說“每人分得這些比薩的四分之一”，最后弄清“這些比薩的四分之一”到底是“多少塊比薩”？

2.處理好分數(shù)與平均分之間的關(guān)系，讓學(xué)生理解分數(shù)產(chǎn)生的前因后果。

將一個物體或一個整體“平均分”成若干份，其中的一份或幾份可以用“分數(shù)”來表示。反過來想，如果“單位1”沒有“平均分”，那么其中的某一部分就不能用“分數(shù)”表示[1]。從這個意義上來講，“分數(shù)”應(yīng)該是“平均分”的結(jié)果，“平均分”則是產(chǎn)生“分數(shù)”的必經(jīng)過程。在“分數(shù)”產(chǎn)生的過程中，與“單位1”本身含有物體的個數(shù)是沒有關(guān)系的，而是與平均分的“總份數(shù)”有關(guān)，與“想表示的份數(shù)”有關(guān)。在課例中正是因為“這個整體”（即這些比薩）中的3塊（即物體的個數(shù)）干擾了學(xué)生的思維，學(xué)生注意力牢牢集中在物體個數(shù)上，沒有想到“已將3塊比薩看做一個整體”了，使得直觀的實物與抽象的表達間產(chǎn)生糾葛，影響到學(xué)生對于“分數(shù)”本質(zhì)的再理解與再認識。

3.處理好實踐操作與抽象概括的關(guān)系，讓學(xué)生活動探究中自主建構(gòu)分數(shù)意義的實質(zhì)。

從一個物體的幾分之一到一個整體的幾分之一，是認識分數(shù)的一次發(fā)展，也是學(xué)生思維由直觀到抽象的一次重要過渡。為什么多數(shù)學(xué)生頭腦中沒有“一個整體”及“一個整體的幾分之一”的概念？筆者認為主要是學(xué)生缺乏自主的實踐操作活動，缺乏對分數(shù)意義建構(gòu)過程，導(dǎo)致對“一個整體”、“平均分”、“幾份”、“一份”等若干抽象概念沒有充分理解到位。

在教學(xué)中，為了使學(xué)生對分數(shù)的初步認識不斷深化，可以嘗試對問題情境的呈現(xiàn)方式做改變：創(chuàng)設(shè)孫悟空大鬧蟠桃大會的故事情境，在離開天庭的時候，孫大圣給花果山的小猴子們帶回若干個口袋，告知學(xué)生每個口袋里面分別裝有吃的、玩的等。現(xiàn)在想將每個口袋中的東西（不打開口袋）平均分給4只小猴，該怎么分才公平呢？在師生交流對話的過程中引導(dǎo)學(xué)生充分理解“平均分”“四份”、“每一份”等概念，最終達成共識：每一份都是這個口袋的四分之一，再組織各小組進行實踐操作活動。由于課前發(fā)給每個4人小組的“口袋”內(nèi)容是不一樣的（主要類型有：①1個桃畫片、②4個桃畫片、③8個桃畫片、④12個正方形畫片、⑤32個小三角形圖、⑥64個小圓片圖……），所以每個4人小組，平均分得到的“每一份”也是各不相同的：到1個桃，到2個桃，發(fā)展到3個正方形畫片，8個小三角形圖，16個小圓片圖……都是“一個口袋的四分之一”，為什么“每一份”各不相同呢？從而引起學(xué)生對“單位1”的關(guān)注與理解。學(xué)生的思維逐漸從具體發(fā)展到抽象，對分數(shù)的認識和理解得到了升華，不僅鞏固了如何將整體“平均分”，還在比較中揭示了分數(shù)的內(nèi)涵，完成了對分數(shù)意義的建構(gòu)：只要把一個整體平均分成幾份，其中的一份就能用幾分之一來表示，而每一份具體是什么，可能會由于“單位1”的不同而不同。