有價值數學問題及設計的思考*

☉湖北省武漢市華中師范大學數學與統計學學院葉珂胡典順

有價值數學問題及設計的思考*

☉湖北省武漢市華中師范大學數學與統計學學院葉珂胡典順

問題是數學的心臟，是科學探索的出發點和動力，也是改變傳統學習方式實施有效數學教學的重要載體·問題對于教學具有核心價值：既可以用于案例分析、解題分析，還可以用于能力生成訓練、思維訓練·［1］事實上，數學教學不可能完全從概念到概念、從公式到公式、從定理到定理，概念、公式、定理都需要借助“問題”這個載體·［2］遺憾的是，今天的數學教學中存在大量短程的即只是對某一孤立法則進行練習的問題，這類問題的過量不僅浪費了教學時間，消耗了師生精力，教學效果不明顯，甚至會產生負面影響·究其原因是不少數學教師對問題設計的意義認識不到位，實施上也缺乏理論指導和經驗積累·促進學生的數學理解，啟發學生的數學思維，改進學生的數學學習，所有這一切都離不開精心設計的數學素材·［3］數學教師的基本功之一就是編制能引發學生深入理解、把握數學知識本質的問題，只有好的或有價值的問題才能幫助學生形成、鞏固和拓展合理的知識結構·波利亞指出：“如果一個教師給他的學生以適合他們認知水平的問題去引起他們的好奇心，并用一些吸引人的問題來幫助他們解題，他就會引起學生對獨立思考的興趣并給他們一些方法·”數學教師面臨的一個重要挑戰是如何認識和設計“有價值的數學問題”·學生將受益于這些精心設計的問題任務，在解決問題的過程中訓練思維，進一步形成發現問題的意識，提升分析、解決問題的能力·

一、有價值的數學問題的內涵

數學問題是指“以數學為內容，或者雖不以數學為內容，但必須運用數學概念、理論或方法才能解決的問題”·［4］有價值的數學問題要求學生去做數學，它沒有確定的解題思路，而且經常有多種可能的正確答案·為了完成這種任務，學生不能只簡單地記住事實或進行算法的演算；相反，他們必須用獲得的知識來確定解題方法，并對每一個解題步驟進行證明·［3］

“有價值的數學問題”在數學教學中大有裨益·一個有價值的數學問題能夠加大教學支持力度，在完整的學科框架內明晰內容的相互聯系，在知識和技能學習中融入數學思想方法，給問題應用給予生動的背景材料，鼓勵學生大膽、合理地猜想并對猜想進行檢驗·顯然，設計一系列涉及重要數學知識的問題，讓學生發揮自主性和能動性“做數學”，親歷數學知識的形成過程，在體驗驚訝和沖突中調動思維運作，發展多種能力，不斷提高數學素質·數學教師應當避開那些無效的數學問題而利用有價值的數學問題·什么是有價值的數學問題？我們認為，有價值的數學問題是在學生認知水平和已有經驗的基礎上，能吸引學生主動參與一系列實踐操作和思維活動，在尋找適當解決方法的過程中認知結構不斷完善，數學能力不斷發展的有趣的數學問題·也就是說，一個有價值的數學問題應該能夠：

（1）包含有意義的數學；

（2）讓學生對這個問題感興趣；

（3）促進學生思考；

（4）培養學生的數學理解能力和提高數學技能；

（5）促使學生自己聯系并形成一個連貫的數學知識框架；

（6）給學生提供了應用和延伸拓展數學知識的機會；

（7）支持學生使用多重策略；

（8）在學生與問題的互動過程中揭示學生對數學的理解程度；

（9）促進數學交流·［3］

二、有價值的數學問題的設計

新一輪數學課程改革促使反映數學教師教學設計理念和能力的問題教學成為焦點，并越來越顯著地影響著改革的進展和成效·從數學教學出發，將問題設計與教育價值聯系起來考慮，真正指導和促進改革的開展，就要提倡教師研制開發出更多有價值的數學問題·

1·從分析教學資料和最近發展區出發，加強問題連結教材與學情

任何教學中使用的問題都應服從于、服務于一定的教學目標，這也是問題的根本價值導向所在·在明確目標的基礎上首先要進行任務分析和起點定位·課程標準為教師進行問題設計提供了努力方向，使問題設計有的放矢·教材是教學過程中用來協助師生雙方，以達到教學目標的主要信息材料·教師在分析課程標準對具體教學內容目標領域要達到的水平的基礎上吃透教材，領會編者意圖，而又不囿于教材地進行二次開發、利用·進行數學問題設計不僅要遵循數學自身的特點，更應考慮學生的認知發展水平、學習規律和個體差異·希爾伯特在1900年巴黎國際數學家代表會上發表的《數學問題》的講演中提到，一個數學問題應該是困難的，但卻不應是完全不可解決而致使我們白費力氣·這一論述對我們今天的數學教學仍有一定的指導意義·若問題起點過高，學生無法在原認知結構中找到知識固著點，操作、探究難以落實；反之，起點過低則不能給學生思維提供充分的鍛煉，只是單純的重復練習·在設計數學問題時，教師通過調查了解，結合經驗，界定出學生的最近發展區·定位起點應實事求是，切忌揠苗助長，力圖照顧到大多數學生的基礎·通過問題設置障礙，引發認知沖突，但它的解決又不會超過學生最近發展區的界限，是學生“踮起腳”或“跳一跳”就能摘到果實的高度·

2·從滲透思想方法和學科結構出發，優化思維模式與認知結構

數學問題作為促進學生理性思維發展的重要載體，開發智能，暴露不足，使學生的認知結構在同化與順應中達到新的平衡，思維模式不斷完善·波利亞曾說：“完善的思想方法猶如北極星，許多人通過它而找到正確的道路·”數學思想方法僅靠一道題、一朝一夕，不能習得，要在處理數學問題的長期積累中揭示、概括、形成·布魯納認為，結構化的知識既有助于記憶，也有助于運用·數學問題設計應植根于具體內容，利用好知識的“生長點”，滲透數學思想方法，突出學科邏輯結構，從不同角度理清內容的縱向、橫向聯系，把單一的知識點放置于條理化的網絡中，從整體到局部抓住數學學科內容間的本質聯系和整體結構·以問促思，引導學生感受數學的抽象、嚴謹，認識到對于某些數學知識可以從多角度加以分析、多層次進行理解，認知結構經過變動、重組完成自我建構·我們不提倡設計大量的單純記憶、模仿性問題，要設計能引起學生深度思維參與，認知結構發生量變甚至質變的理解性問題·不僅停留在問是什么？還要多問為什么？怎么得出來的？如果變一變怎么辦？不僅要會解一道題，還要學會一種方法、一種思想·學會的不是一個孤立的知識，而是和已知、未知存在清晰聯系，位于學科系統中具體位置的知識·

3·從聯系生活情境和實際應用出發，感悟數學的魅力與價值

問題的一個基本要素就是解它的愿望、干勁和決心·［4］實踐證明，那些足夠吸引學生興趣和求知的數學問題能使學生消除恐懼、畏縮心理，積極參與到問題中·當學生處在與自身過去熟悉的、未來有機會遇到的相同或相似的現實情境中學習時，知識和技能更易被回憶和保存·數學問題的設計，注意把握學生心態，激發學生的參與興趣和學習動機，符合學生“期待”與“滿足”的心理變化，引起情感共鳴·需要注意，問題情境素材過度或牽強附會將導致學生注意力分散，被無關因素吸引或干擾，承受多余的認知負荷·數學教師選擇課堂教學中用到的問題情境時要考慮學生的年齡、興趣、社會地理條件等，考慮學科交叉點，可以適當引入社會熱點，把具體情境數學化，數學知識生活化，拉近學生與問題的距離，激起學生強烈的求知欲·創建情境時要盡量開闊思路，尋找一些備選的貼近學生真實生活的問題情境，再從中選出與任務分析最匹配的一個，設置適度的挑戰來調動學生的熱情，使其積極參與到問題情境中所隱含知識的挖掘和思考中，為進一步引申、推廣、應用、創新做準備·也可適時結合相關數學史背景，如數學在自然社會中的應用、歷史進程與思辨、數學家的事跡與貢獻，在感受數學家的求知精神、欣賞數學的魅力與認識數學是人類文化的重要組成部分中逐步形成正確的數學觀·

4·從設置變式和題組出發，促進知識靈活遷移

題海戰術教學之所以低效，最根本的是學生照搬套路就能夠解決，也就很難提高他們的數學能力·而若將相互關聯的概念、公式、命題、形成系統，明確其邏輯關系，學生獲得知識時就會相互帶動，在后續的遷移中也變得容易·有價值的數學問題不能太特殊，要靈活多樣，有一定的啟發性，學生依靠努力能得出多種解法或結果·同時，問題不一定在找到答案時就結束，所得到的答案可能暗示著對原問題的條件作出某些變化，由此引出新問題和更一般的結論·利用變式來設計數學題組可直接呈現正反例、將原題的條件或結論進行減弱或加強、將原題中特殊條件推廣為更一般的情況·借助變式題組設置梯度，控制難度，有意識地引導學生從“變”的現象中發現“不變”的本質，從“不變”的本質中探究“變”的規律，達到聞一知十的效果·題組設計是在同一問題背景下編制問題串，融入多個知識點，能夠引起學生廣泛思考和深度認知參與的設計技巧·數學題組設計要站在整體的高度進行鋪墊與過渡，由淺入深，以一個核心問題緊扣和突出一個目標，攻破一個重難點，再設置另一題對前一題做對比或遞進，題題相連，題題深入，使學生的思維聚焦于一點而不斷發散，深刻理解問題的本質，進而實現對問題規律的掌握和知識技能的鞏固·

5·從展示知識形成過程出發，積累探究合作經驗

站在數學問題的分類來考慮，問題的層次性與系統性還表現在類型的均衡度和豐富度上·設計數學問題時不應只局限在某一種類型，應盡可能地在更多樣、更寬廣的問題類型區域進行擴展和創新，培養學生靈活解決各種數學問題的本領·新課程指出：“數學學習不僅要教給學生結果，也要給學生提供機會讓他們有充足的時間和空間經歷數學結果的形成過程，獲得基本的數學活動經驗·”為了使學生擺脫解決傳統數學問題時較低層次的思考，教師盡可能從展示知識形成過程出發，設計綜合實踐性問題，盡量讓學生獲得更多主動學習、自主探索、元認知監控和展示交流的機會來滿足學生多元能力發展和素質提升的需求·問題的呈現應側重于實現“雙向建構”，全面滲透數學活動經驗·學生是課堂的主人，教師不能越俎代庖，要讓每位學生自主參與，積極動腦、動手，不宜將問題的探究過程設計得過于詳盡，局限于細枝末節和明顯指給學生答案，使學生產生思維惰性，導致一些有操作價值的素材滑過·探究問題的設計不等同于科學實驗，考慮到學生獲取知識的漸進性及差異性，問題呈現應由淺入深，有坡度，體現探究的過程性，有效激發全體學生學習的熱情和積極性，使不同層次的學生都能夠體驗到學習的樂趣，在原基礎上獲得發展和進步·

三、結束語

有價值的數學問題代表了新課程理念對傳統數學教學價值取向的轉變，通過提供有價值的數學問題構建共同基礎，給數學教學注入了新的生機，凸顯了數學教學的文化育人功能·需要指出的是，本文所指的價值性也是相對的，是在新課程改革的背景下，對大量數學問題實踐的總結，應該而且必然因時因地有所變化·當然，任何有價值的數學問題的設計都不是一蹴而就的，要配合一定的實施方式進行實踐檢驗，需要設計者不斷進行反思、修正、總結和發展·此外，在設計單個數學問題時不能苛求面面俱到，要具體問題具體分析，避免陷入形式主義·只有數學教育者頭腦中保持對數學問題價值的判斷意識，不斷提高設計問題的質量，才能最大化促進高效的數學教學·

1·張曉英，張潤芝，楊開城·論教學設計理論發展的新領域——問題設計［J］·中國電化教育，2008（11）·

2·孫旭花，陳嘉豪，梁永賢，等·“一題多解”之再升華螺旋變式課程設計理論介紹［J］·數學教育學報，2008（6）·

3·胡典順，汪鈺雯，紀靜萍，等·作為教育任務的數學解題［J］·數學通訊，2013（11）·

4·戴再平·數學習題理論［M］·上海：上海教育出版社，1997.

5·中華人民共和國教育部制定·義務教育數學課程標準（2011年版）［M］·北京：北京師范大學出版社，2012·

中央高校基本科研業務費專項資金資助——數學問題提出與數學教育改革：跨國比較研究（CCNU13F021）；湖北省教學研究項目——數學師范生拔尖創新人才培養的理論與實踐（2013090）；華中師范大學研究生教學改革研究項目——免費師范生攻讀教育碩士培養模式的改革研究與實踐（2013JG18）；華中師范大學教師教育學院研究專項資助（2012JS07）；湖北省教育科學“十二五”規劃2013年度立項課題——數學問題提出與數學教育改革：跨國比較研究（2013B015）.