例談研究高考試題的若干切入點

☉武漢市黃陂區(qū)第一中學(xué)盤龍校區(qū)李紅春

例談研究高考試題的若干切入點

☉武漢市黃陂區(qū)第一中學(xué)盤龍校區(qū)李紅春

高考是我國現(xiàn)行的一種最為重要的選拔性考試，其重要性是不言而喻，高考試題設(shè)計新穎，構(gòu)思巧妙，集中體現(xiàn)了命題專家的智慧，是我們學(xué)習(xí)的典范，研究高考試題，探求命題者的立意、試題的解法、試題的背景、結(jié)論的拓展、試題的導(dǎo)向、試題的評價等對提升高三復(fù)習(xí)備考的針對性有著重要的意義·本文通過對2014年高考廣東卷理科第20題的研究，談?wù)勓芯扛呖荚囶}的若干切入點·

（1）求橢圓C的標準方程；

（2）若動點P（x0、y0）為橢圓外一點，且點P到橢圓C的兩條切線相互垂直，求點P的軌跡方程·

一、研究試題的考查目標

研究試題的考查目的就是研究試題的立意，高考試題通常在知識的交匯處命題，以基礎(chǔ)知識、基本技能、和基本數(shù)學(xué)思想方法為載體，著力考查學(xué)生的能力·本題以橢圓為載體進行構(gòu)思，將直線與橢圓的位置關(guān)系、直線與直線的位置關(guān)系等條件有機地呈現(xiàn)給學(xué)生，要求動點的軌跡問題，旨在考查學(xué)生對“數(shù)形結(jié)合、分類討論、轉(zhuǎn)化與化歸”等思想的運用，以及觀察、分析、類比、推理運算等能力·

二、研究試題解法的關(guān)鍵節(jié)點

掌握數(shù)學(xué)就意味著解題，一道試題難，并不是每一步都難，一種解法妙，往往有其意料之外的東西，一道難題總有些步驟是解題的關(guān)鍵節(jié)點，作為教師就要認真分析其中的奧秘，知其然還要知其所以然，教師只有深刻領(lǐng)悟課堂教學(xué)中才能提綱挈領(lǐng)，有的放矢·

（2）設(shè)兩切線為l1，l2·

①當l1⊥x軸或l1∥x軸時，對應(yīng)l2∥x軸或軸l2⊥x軸，可知P（±3，±2）·x2+18（y0-kx0）kx+9（y0-kx0）2-36=0·

若直線與橢圓相切，則Δ=0，即9（y0-kx0）2k2-（9k2+4）·

②當直線l1與l2的斜率均存在且都不為零時，設(shè)過點

因直線l1，l2均與橢圓相切，故其斜率k1，k2恰是方程點P的軌跡方程為x2+y2=13（x≠±3），且P（±3，±2）滿足上式·

綜上知：點P的軌跡方程為x2+y2=13·

以上解答過程中，兩直線的斜率k1，k2我們稱之為等價元素，由于地位完全相同，它們所滿足的等量關(guān)系也是相同的，由兩個結(jié)構(gòu)相同的等量關(guān)系抽象出一個方程，而k1、k2就是方程的解，體現(xiàn)了解析幾何中設(shè)而不求的思想·這種依據(jù)“等價元素與方程思想”的解題策略是以上解法的最大亮點和關(guān)鍵節(jié)點，在后繼的教學(xué)中教師就應(yīng)該把這種解題思想滲透到日常的解題教學(xué)中·

三、研究試題的命制背景

作為數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)與研究，如果僅僅停留在把題目答案找出來，其實遠遠不夠，為解題而解題，學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力和認知很難得到有效提高，在數(shù)學(xué)解題過程中我們要學(xué)會透過現(xiàn)象，看清命題的本源·本題中點P的軌跡就是初等數(shù)學(xué)里著名的蒙日圓，在橢圓中，任意兩條互相垂直的切線的交點都在同一個圓上，它的圓心是橢圓中心，半徑等于長短軸平方和的算數(shù)平方根，這個圓叫蒙日圓·關(guān)于蒙日圓，有如下優(yōu)美性質(zhì)：

證明：設(shè)點P（x0，y0），過點P的直線方程為y-y0=k（xx0），代入橢圓方程得（a2k2+b2）x2+2ka（2y0-kx0）·x+a（2y0-kx0）2-a2b2=0·若直線與橢圓相切，則Δ=［2ka（2y0-kx0）］2-4（a2k2+b2）［a（2y0-kx0）2-a2b2］=0，即（a2-k2+2x0y0k+b2-= 0，若兩條直線m、n的斜率均存在且都不為零，不妨設(shè)它們分別為k1、k2，如圖1，因兩條直線均與橢圓相切，故其斜率k1、k2恰是軸，可知P（±a，±b）也滿足方程，故P點的軌跡為圓x2+y2= a2+b2·

從初等數(shù)學(xué)研究的成果中選取的素材，以此為基礎(chǔ)將其變抽象為具體，通過搭橋與構(gòu)題，加工與調(diào)整形成的試題，這是常見的一種命題途徑·在教學(xué)過程中，通過挖掘試題命制過程中依據(jù)的性質(zhì)背景，有助于透過現(xiàn)象看清本質(zhì)，縮短思維流程，從而達到舉一反三，跳出題海，進行有效教學(xué)的目的·

圖1

四、研究相關(guān)試題的聯(lián)系

任何數(shù)學(xué)問題的出現(xiàn)都有一定的情境，數(shù)學(xué)問題不會無端地“迸發(fā)”出來，往屆高考和調(diào)考試題一直是新高考試題的重要來源，命題專家一直重視傳承和相互借鑒，作為教師要努力從歷年高考題的整體研究中找到共性，從近幾年高考題中找到高考的變化趨勢，從對同類試題的研究中找到變化，不斷提升復(fù)習(xí)效率·

（1）求橢圓C的方程和其“準圓”方程·

（2）點P是橢圓C的“準圓”上的一個動點，過動點P作直線l1、l2，使得l1、l2與橢圓C都只有一個交點，且l1、l2分別交其“準圓”于點M、N，求證：為|MN|定值·

例3（2012年高考湖南卷）在直角坐標系xOy中，曲線C1上的點均在圓C2：（x-5）2+y2=9外，且對C1上任意一點M，M到直線x=-2的距離等于該點與圓C2上點的距離的最小值·

（1）求曲線C1的方程；

（2）設(shè)P（x0，y0）（y0≠3）為圓C2外一點，過點P作圓C2的兩條切線，分別與曲線C1相交于點A，B和C，D·證明：當點P在直線x=-4上運動時，四點A、B、C、D的縱坐標之積為定值·

例2和例1都以蒙日圓為背景，例3和例1解決問題的核心方法一樣，都是用“等價元素與方程思想”解題·

五、研究試題的結(jié)論拓展

將試題進行拓展研究，是實施研究性學(xué)習(xí)的一個重要舉措，研究性學(xué)習(xí)的目的在于“改變學(xué)生以單純地接受教師傳授知識為主的學(xué)習(xí)方式，為學(xué)生構(gòu)建開放的學(xué)習(xí)環(huán)境，提供多渠道獲取知識并將學(xué)到的知識加以綜合應(yīng)用于實踐的機會，培養(yǎng)創(chuàng)新精神和實踐能力”，將試題進行拓展，常見的方式有：橫向類比、逆向思考、特殊到一般的抽象、一般到特殊的發(fā)現(xiàn)等·將本題進行拓展我們可以得到如下一些結(jié)論：

六、研究試題的價值導(dǎo)向

高考試題是復(fù)習(xí)備考的風(fēng)向標，它的指揮棒功能毋容置疑，從某種意義上來說，高考試題的導(dǎo)向功能勝過其編制的精巧和深奧·本題緊扣《考試說明》，密切結(jié)合教材，沿襲了“在豐富背景下立意，在貼近教材中設(shè)計”的命題風(fēng)格，不隨意拔高考點，不刻意追求別致，緊貼課本·課改的不斷推進對高考命題也提出了更高的要求，要求試題在創(chuàng)新的同時更能全面考查學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，本題作為圓錐曲線試題，在繼承傳統(tǒng)圓錐曲線問題解決方法的同時要求考生善于觀察、類比，能借助“等價元素與方程”的思想輔助解題，這樣的方法不落俗套，這就要求一線教師要擺脫死教書的習(xí)慣，少做點機械的訓(xùn)練，多做點深入的研究，積極倡導(dǎo)自主、合作、探究的新型學(xué)習(xí)方式，在課堂教學(xué)中注重知識的發(fā)生過程，善于捕捉探究資源，激發(fā)學(xué)生的思維熱情，引導(dǎo)學(xué)生探究知識，不斷提升學(xué)生的探究能力，這既是高考試題的檢測方向，更是教學(xué)中要重點解決的問題·

七、研究考后試題的社會評價

一道好的試題必須考慮到“難度、信度、效度、區(qū)分度”四個方面，命題也是一項充滿遺憾的藝術(shù)，考試結(jié)果和社會評價在一定程度上左右著后繼者在命題中的一些做法，是堅持還是放棄，是批判還是繼承，作為教師關(guān)注輿情十分重要·

最后，筆者要強調(diào)的是：研究高考試題是教師的一項基本功，從某種程度上說，選好“研究內(nèi)容”比“選擇研究方法”更重要，因為內(nèi)容確立的是目標，決定了我們研究的“方向”，而研究方法確定的是解決問題的“方式”，“方式服從于方向”，建議老師們今后多選擇一些“立意鮮明、解法多樣、背景深刻、推廣自然、評價良好”的試題作為研究對象·

1·趙思林·研究高考試題的幾種視角［J］·中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（上），2009（4）·

2·李紅春·從一道試題的求解管窺研究性學(xué)習(xí)的幾個視角［J］·教學(xué)月刊（中學(xué)版），2014（11）·

2·李紅春·一道高考題的背景及拓展［J］·高中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2014（12）·F