有關“定點”問題的探究

☉內蒙古赤峰市赤峰二中孫廣仁

有關“定點”問題的探究

☉內蒙古赤峰市赤峰二中孫廣仁

有關“定點”問題在近幾年的高考試題中頻繁出現·本文將結合例題圍繞有關“定點”問題展開，以饗讀者·

一、探究直線過“定點”問題

例1（2009年高考江蘇第18題）在平面直角坐標系xOy中，已知圓C1：（x+3）2+（y-1）2=4和圓C2：（x-4）2+（y-5）2= 4·

（1）若直線l過點A（4，0），且被圓C1截得的弦長為，求直線l的方程；

（2）設P為平面上的點，滿足：存在過點P的無窮多對互相垂直的直線l1和l2，它們分別與圓C1和圓C2相交，且直線l1被圓C1截得的弦長與直線l2被圓C2截得的弦長相等，試求所有滿足條件的點P的坐標·

解：（1）略·

（2）設點P的坐標為（m，n），直線l1、l2的方程分別為：

因為直線l1被圓C1截得的弦長與直線l2被圓C2截得的弦長相等，兩圓半徑相等，由垂徑定理，得圓心C1到直線l1的距離與圓心C2到直線l2的距離相等·

化簡得：（2-m-n）k=m-n-3或（m-n+8）k=m+n-5·

點評：本題實際上是探究兩條直線過同一“定點”問題，由于“過點P有無窮多對互相垂直的直線l1和l2”，注意到直線l1和l2的斜率是變化的，為此我們可以選擇l1的斜率k為變量·因為兩圓的半徑相等，由垂徑定理得到圓心C1到直線l1的距離與圓心C2到直線l2的距離相等，從而得到關于k的方程（2-m-n）k=m-n-3或（m-n+8）k=m+n-5有無窮多解，亦即與k無關·

變式：（2010年高考江蘇第18題）在平面直角坐標系xOy中，如圖，已知點為A、B，右焦點為F，設過點T（t，m）的直線TA、TB與橢圓分別交于點M（x1，y1）、N（x2，y2），其中m＞0，y1＞0，y2＜0·

（1）設動點P滿足|PF|2-|PB|2=4，求點P的軌跡；（2）設x=2，x=，求點T的坐標；12

（3）設t=9，求證：直線MN必過x軸上的一定點（其坐標與m無關）·

點評：考生普遍反映第三問計算量大·因為涉及的動點T（9，m）的縱坐標m的不確定性，所以要求的定點肯定與m的值無關·不妨先研究特殊情況，當直線MN與x軸垂直時，過x軸上的定點D（1，0），然后研究一般情況下直線MN過點D（1，0），這里又有兩條途徑：一是求出直線MN的方程，令y=0，解得x=1；二是運用kDM=kND證明M、N、D三點共線·

二、探究圓過“定點”問題

例2在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線y2=2px上橫坐標為4的點到該拋物線的焦點的距離為5·

（1）求拋物線的標準方程；

（2）設點C是拋物線上的動點，若以C為圓心的圓在y軸上截得的弦長為4，求證：圓C過定點·

變式：已知圓O：x2+y2=1，直線l1過點A（3，0），且與圓O相切·

（1）求直線l1的方程·

（2）設圓O與x軸相交于P、Q兩點，M是圓O上異于P、Q的任意一點，過點A且與x軸垂直的直線為l2，直線PM交直線l2于點P′，直線QM交直線l2于點Q′·求證：以P′Q′為直徑的圓C總經過定點，并求出定點的坐標·

點評：因為M是圓O上異于P、Q的動點，所以直線PM的斜率是變化的·故本題處理的方法有兩種：一是設動點M（x0，y0），由圓C的方程與x0、y0無關，確定定點；二是設直線PM的斜率k，由圓C的方程與k無關，令y=0，求出定點·

三、探究平面內存在定點問題

例3已知⊙O：x2+y2=1和點M（4，2）·

（1）過點M向⊙O引切線l，求直線l的方程·

（2）求以點M為圓心，且被直線y=2x-1截得的弦長為4的⊙M的方程·

（3）設P為（2）中⊙M上任一點，過點P向⊙O引切線，切點為Q·試探究：平面內是否存在一定點R，使得|PQ| |PR|為定值？若存在，請舉出一例，并指出相應的定值；若不存在，請說明理由·

所以⊙M的方程為（x-4）2+（y-2）2=9·

（3）假設存在這樣的點R（a，b），點P的坐標為（x，y），相應的定值為λ·

（1）求圓C的方程·

（2）若直線FG與直線l交于點T，且G為線段FT的中點，求直線FG被圓C所截得的弦長·

點評：對于第三問，設P（s，t），G（x0，y0），和點G在圓C上，得兩個關于x0、y0的方程，聯立可得一個關于x0、y0的方程，比較系數，得到點P的坐標為（4，0）·

總之，處理有關“定點”問題，要注意動與靜的轉化，確定好誰為變量，加深對概念本質的理解，培養思維的深刻性·同時也要對動與靜的關系仔細觀察，便于尋求規律，培養思維的靈活性與廣闊性·A