淺談數(shù)學教學中題根式教學法

☉江蘇省海安縣曲塘中學申月

淺談數(shù)學教學中題根式教學法

☉江蘇省海安縣曲塘中學申月

關于數(shù)學教學高效性和有效性的實施是一個永恒的討論主題，在傳統(tǒng)教學中的變式教學是發(fā)揮教學高效性的典型教學模式·在新課程實施過程中，變式教學顯得有些力不從心，究其原因主要是變式教學是一種以問題形態(tài)為主的題型變化教學，隨著新穎題型的不斷出現(xiàn)，變式教學對于題型的歸納就顯得越來越臃腫，教學效率相對較低，無法從本質上讓學生認識數(shù)學相關的核心知識·陜西師大羅增儒教授在談起新課程下的解題教學時，用“題根式教學”來描述當下的解題教學的高效：我認為變式教學稍顯過時，因為變式的數(shù)據庫顯得相當龐大，而有限的中學教學課時是難以實現(xiàn)的，既要適應新課程又要能取得應試解題的成績，以題根式教學為主流的新型教學方式漸漸開展起來，它的好處是以數(shù)學最本質最核心的知識去取得一系列問題的思維引導，其用處相對于傳統(tǒng)的變式教學而言來得更為廣泛些·

筆者認為上述話語中，羅教授將新課程課時稍顯緊張和如何繼續(xù)保持應試成績做出了一個比較適合當下的平衡點，而且用題根式教學替代變式教學，主要在教學中面向數(shù)學核心知識的教學，并且以尋找問題最本質反映的數(shù)學知識，即題根為首要解決方向，對知識進行合理的發(fā)散學習和整合學習，使其成為數(shù)學復習教學或解題教學的一種高效、有效方式·

一、題根式教學的設計

題根式教學是一種濃縮式的教學，它勢必要求教師在教學過程中以比較合理的設計和精心的準備，將所選問題以某種反饋機制進行展示，考慮到現(xiàn)行教輔資料往往達不到這種教學要求，因此需要教師對問題進行改編或原創(chuàng)，達到符合教學目的的要求·題根來源何處？筆者認為：題根就是來源于教材中的最基本的數(shù)學例題或數(shù)學公式、定理等·來看一個筆者自身編譯的案例·

案例1（蘇教版必修5第三章第二節(jié)習題）解關于x的不等式：2x2-3x-2＞0·

設計意圖：通過這個題根，來探究三個“二次”的關系·

思考一：改變二次項系數(shù)的符號·我們把二次項系數(shù)的符號變?yōu)樨撎枴?/p>

設計1：解關于x的不等式：-2x2-3x-2＞0·

設計意圖：在解這個不等式時，先把二次項系數(shù)轉化為正數(shù)，特別注意要改變不等式的方向，解出不等式的解集·

思考二：可以通過引入參數(shù)，變?yōu)楹瑓?shù)的二次不等式·

（2）當Δ=0，即a=±4時，若a=4，不等式的解集為｛x|x≠1｝，若a=-4，不等式的解集為｛x|x≠-1｝·

（3）當Δ＜0，即-4＜a＜4時，對應的二次函數(shù)圖像都在x軸上方，所有的x都成立，所以解集為R·

設計意圖：本題中一次項系數(shù)含參數(shù)，這時就要討論Δ·首先計算Δ=a2-16·通過對Δ的討論來解決問題·

第二種情況，當a=0時，不等式化簡為2x-2＞0，所以不等式的解集為｛x|x＞1｝·

設計意圖：這時二次項系數(shù)含參數(shù)·首先可以分解因式得到，（ax+2）（x-1）＞0·當二次項系數(shù)含參數(shù)時，要對參數(shù)進行分類討論·

總結：通過設計2和設計3，我們知道，解含參數(shù)的二次不等式的分類討論，分類的層次是分三層：

第一個層次是根據二次項系數(shù)的符號來分類，分a＞0，a=0，a＜0·

第二個層次是根據Δ來討論，分Δ＞0，Δ=0，Δ＜0·

第三個層次是根據根的大小來分類，分x1=x2，x1＞x2，x1＜x2·

思考三：逆向思維，給出不等式的解集，求參數(shù)的范圍·

設計4：已知不等式ax2-（a-2）x-2＞0的解集為

設計5：已知不等式ax2-（a-2）x-2＞0的解集為不等式2x2-（a+1）x-a＞0的解集·

通過設計4解出a=2代入不等式可以解出該不等式·

設計6：已知不等式ax2-ax-2＜0的解集為R，求a的取值范圍·

設計意圖：解決這個問題的時候需要注意，這個不等式的二次項系數(shù)含參數(shù)，我們要繼續(xù)對參數(shù)進行分類討論，當a=0時，-2＜0恒成立，這個一定不能忘·當a≠0，這個不等式就是二次不等式，這時對應的函數(shù)為二次函數(shù)，圖像都在x軸下方，需要a＜0，Δ＜0·以上我們通過這個二次不等式的題根入手，來解決三個“二次”之間的關系，通過這樣的題根教學設計對三個二次問題進行了高效的挖掘和提升，值得注意的是本案例中設計5、設計6都是為適應題根而進行的創(chuàng)編，從另一個方面也提高了教師自身專業(yè)化的編題能力，一舉兩得·

二、題根式教學的創(chuàng)編

題根式教學需要在教材原型中找到合適的典型問題，但是與典型問題相關的試題有時顯得相對匱乏，此時筆者認為需要在教師認知角度的精準前提下，對問題進行符合學情特點的創(chuàng)編，這種創(chuàng)編是既符合考情又符合學情，是有效和高效的·通過對近三年高考試題的統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)，二次函數(shù)內容主要考查二次函數(shù)與一元二次方程及一元二次不等式的綜合應用·重點考查數(shù)形結合、等價轉化及分類討論思想在解題中的應用·尤其是新課程改革后，函數(shù)中以二次函數(shù)的圖像為載體，利用數(shù)形結合的思想，解決二次函數(shù)的單調區(qū)間、二次函數(shù)在給定區(qū)間上的最值，以及與此有關的參數(shù)范圍的問題成為重點和熱點·學生對分類討論思想的掌握一直是比較薄弱的·通過對題根的講解和分析，使學生對二次函數(shù)在給定區(qū)間上的最值問題的解題思路、解題過程有所了解，并結合課堂練習加以鞏固，在課后能夠做一些更為深入的探究·

分析：引導學生發(fā)現(xiàn)解決此問題的關鍵是考慮定義域所在的區(qū)間與對稱軸的關系，結合函數(shù)圖像，就可以發(fā)現(xiàn)分（1）a＜b＜1；（2）a＜1＜b；（3）1＜a＜b三種情況討論·

對題根的歸納總結：解決此題的關鍵在于要注意二次函數(shù)的對稱軸所在的位置對函數(shù)最值的影響·解二次函數(shù)求最值問題，首先采用配方法，將二次函數(shù)化為y= a（x-m）2+n（a≠0）的形式，得頂點（m，n）或對稱軸方程x= m，分三個類型：①頂點固定，區(qū)間固定；②頂點含參數(shù)，區(qū)間固定；③頂點固定，區(qū)間變動·此例即為對稱軸固定，區(qū)間變動的一個典型例題·

設計說明：這兩題依然是對a，b分a＜b＜1、a＜1＜b、1＜a＜b三種情況討論·而且在創(chuàng)編1的解題過程中發(fā)現(xiàn)，這樣的a，b是不存在的·在創(chuàng)編2的解題過程中，當a=-2，b= 0時是符合條件的·

使得（fx）的定義域、值域分別是［a，b］和［ka，kb］（k＞0），求出k的范圍（·此題的解題過程比較復雜，留給學生作為課后探究）

三、關于題根式教學的一些思考

近幾年的數(shù)學高考，以能力立意命題，都強調寬角度、多視點地考查數(shù)學素質，考查數(shù)學思維能力的發(fā)展·如何引導學生在高三數(shù)學復習的過程中抓住根本，合理利用時間，提高學習效率，除了我們平時一直談論的不可忽視課本，不可忽視“雙基”，不可忽視數(shù)學思想方法的滲透總結，不可忽視《考試大綱》，不可忽視對學生養(yǎng)成規(guī)范、準確、快速的解題習慣等，更應充分利用習題這一載體，培養(yǎng)學生的思維能力進而提高他們分析、解決問題的能力·“題根式教學法”的探索正是為了適應這樣的教學發(fā)展需求應運而生的·然而“題根+生本”核心理念對教師和學生在教學觀念和數(shù)學素養(yǎng)上都提出了一個挑戰(zhàn)，如何讓教師放得下、讓學生放得開？

1·轉變觀念，提升素養(yǎng)

題根式教學法希望打造的是“先根后枝，以學定教，少教多試，師生互動”的課堂，讓學生從被動的聽眾變成課堂活動的主角，做到“題根分析學生清、題根生長學生明、樹狀網絡學生織、問題探討師生議”，那么教師首先要轉變觀念，走下神壇，傾聽學生，調整好角色，做好領路人，本課例1中，教師的設計使教師在與學生的交流互動中建立了信任，呈現(xiàn)了一個活潑的生本課堂·其次，在題根學案的教學設計上要明確：學案的作用是提綱挈領，指明教學線索，推進學生的思考，體現(xiàn)思維發(fā)展的過程性，這點，案例1“三個二次”做得很好，重梯度、重關聯(lián)、重過程，因此教學預期基本在課堂上都圓滿完成了·再次，教師更需提升自身的數(shù)學素養(yǎng)，積累教學智慧，善于捕捉不時出現(xiàn)的“陰錯陽差、節(jié)外生枝、靈光一閃”的“意外風景”·這些動態(tài)生成的資源雖不在我們預設的視線之內，卻是學生智慧的火花，是一筆寶貴的財富，需要我們用自己的一雙慧眼去給予更多關注，學生得到了更多的理解，才更愿意跟隨教師，更愿意親近數(shù)學·

2·一根多題，凸顯本質

一節(jié)課緊緊圍繞一個題根展開教學，圍繞一個題根引領思維，通過“提出簡單問題—提煉典型方法—解決一類問題”的一條主線使得教學過程自然流暢，思路分析深入淺出，而且教師引導學生認識方法內涵的時機把握得適時，有歸納的基礎，同時又有拓展的空間，激發(fā)學生探究的熱情，而提煉和濃縮方法的精髓又是對方法本質的有效詮釋，從自發(fā)運用到自覺理解·如果費老師再對此種方法取個名稱，筆者相信學生的印象會更加深刻，教學效果會更加明顯·本節(jié)課讓我們深深體會到數(shù)學變式教學的價值，它是培養(yǎng)學生良好的思維品質，是課堂教學高效、有效的典型方式·正如華羅庚教授的名言：“數(shù)學是一個原則，無數(shù)內容；一個方法，到處有用”，在教學階段，堅持引領學生有意識地去歸納方法，通過“刨根”，歸納出一類問題一種方法，一題多根，將問題鏈與思維鏈巧妙結合，逐步引導學生建構對方法的認識，對方法的體驗，循序漸進地理解方法的本質，從而實現(xiàn)量變到質變的升華，“魚漁”兼得！

1·楊玉東，范文貴·高中數(shù)學新課程理念與實施［M］·海口：海南出版社，2009·

2·柴賢亭·數(shù)學教學中的問題設計［J］·教學與管理，2013（10）·

3·黃文·淺談中學數(shù)學課堂教學的適度形式化［J］·中小學數(shù)學，2012（5）·F