從舊題看新題

☉廣東省深圳市南頭中學方亞斌

從舊題看新題

☉廣東省深圳市南頭中學方亞斌

高考試題，是高考命題組成員集體智慧的結晶·一些經典的數學高考題因魅力無窮而備受歷年各地高考題命題者的青睞，他們以這些熠熠生輝的高考題為原型，經過加工改造，演繹拓展，移植深化，又衍生出背景深刻，內涵豐富，風格獨特的新高考題，這些淵源深刻的命題同時載入數學高考題史冊，將高考題庫點綴得璀璨無比·研究這些有著千絲萬縷的關系的高考題的發展和變化軌跡，對我們以后的高考命題和備考具有雙重意義·筆者跟蹤了近30年的高考數學試題，通過探“源”覓“流”，從老題的角度品味新題，現將自己的一些理解與感悟綜述如下·

一、同題借用

不知是偶然的巧合，還是命題者有意借用，相隔較長的年份，偶爾也會出現完全一樣的高考題·

例1（2004年安徽春季卷第3題）已知F1、F2為橢圓焦點，M為橢圓上一點，MF1垂直于x軸，∠F1MF2=60°，則橢圓的離心率為（）·

改變一下四個選項的位置，可編擬：

此外，2013年遼寧卷理第22題是借用1978年全國卷第3題，2013年遼寧卷理第18題第一問是借用1986年全國卷第3題·

二、模仿改造

將試題中的數量關系或結構形式進行一些簡單的模仿與改造生成新題·

1·改變數量

例2（1990年全國卷理（文）第25（26）題）設橢圓的中心是坐標原點，長軸在x軸上，離心橢圓的方程，并求橢圓上到點P的距離等這個橢圓上的點的最遠距離

且橢圓C上的點到Q（0，2）的距離的最大值為3，求橢圓C的方程·

2·遷移結論

將某些高考題中具有不變性（定線、定長、定點、定值）的結論遷移到另外的情境中產生新題·

例3（2010年全國I卷理第21題）已知拋物線C：y2= 4x的焦點為F，過點K（-1，0）的直線l與C相交于A、B兩點，點A關于x軸的對稱點為D，證明：點F在直線BD上·

本題的一般情形是：已知拋物線y2=2px（p＞0）的焦點為F，過定點K（m，0）（m＜0）的直線l與C相交于A、B兩點，點A關于x軸的對稱點為D，則直線BD過定點（-m，0）［1］·

將此結論遷移到另外的背景中，可編擬：

（2013年陜西卷理第20題）已知動圓過定點A（4，0），且在y軸上截得的弦MN的長為8·

（Ⅰ）求動圓圓心的軌跡C的方程；

（Ⅱ）已知點B（-1，0），設不垂直于x軸的直線l與軌跡C交于不同的兩點P、Q，若x軸是∠PBQ的角平分線，證明直線l過定點·

說明：由本題（Ⅰ）得所求拋物線的方程為y2=8x，若坐標·

將本題中的“離心率”、“點的坐標”和“最遠距離”這三個量分別稍作改變，可以編擬：

（2012年廣東卷理第20題（1））在平面直角坐標系連接BQ，則BQ與拋物線y2=8x必有第二個交點（否則，若只有一個交點，則BP、BQ都是拋物線的切線，P、Q就關于x軸對稱，PQ垂直于x軸，與題設矛盾），不妨設此交點為R，因為x軸是∠PBQ的角平分線，拋物線也是關于x軸對稱的，所以點R、P關于x軸對稱，這與例題中的“點A關于x軸的對稱點為D”含義完全相同·

3·轉換結構

例4（2009年上海卷理第12題）已知函數f（x）= sinx+tanx·項數為27的等差數列｛an｝滿且公差d≠0·若f（a1）+f（a2）+…+f（a27）=0，則當k= _________時，（fak）=0·

本題將等差數列鑲嵌在函數之中，富有新意·我們可以證明：若函數（fx）是定義在D（0∈D）上且單調的奇函數，等差數列｛an｝滿足an∈D，且（fa1）+（fa2）+…+（fa2k+1）=0，那么ak+1=

據此，構造R上單調的奇函數g（x）=x3+x和等差數列｛bn｝，且令g（b1）+g（b2）+…+g（b7）=0（1）·

由此可得b4=0·如作替換g（x）=（fx+3）-2，an=bn+3，則f（x）=（x-3）3+x-1，（1）式變為（fa1）+（fa2）+…+（fa7）=14，由b4=0可得a4=3，進一步求得a1+a2+…+a7=7a4=21，可編擬：

題1：（2012年四川卷文第12題）設函數（fx）=（x-3）3+ x-1，｛an｝是公差不為0的等差數列，（fa1）+f（a2）+…+（fa7）=14，則a1+a2+···+a7=（）·

A.0B.7C.14D.21

題2：（2012年四川卷理第12題）設函數f（x）=2xcosx，｛an｝是公差為的等差數列，（fa1）+（fa2）+…+（fa5）= 5π，則［（fa3）］2-a1a5=（）·

4·仿造圖形

例5（1999年全國卷理第10題）如圖1，在多面體ABCDEF中，已知面ABCD是邊長為3的正方形，EF//AB，，EF與面ABCD的距離為2，則該多面體的體積為（）·

圖1

圖2

模仿本題的“楔形”特征，保留問題情境，可編擬：

（2005年全國Ⅰ卷理第5題）如圖2，在多面體ABCDEF中，已知四邊形ABCD是邊長為1的正方形，且△ADE、△BCF均為正三角形，EF//AB，EF=2，則該多面體的體積為（）·

三、特例再生

將一般問題特殊化，再生題·

例6（2004年北京卷理第17題（2））如圖3，過拋物線y2=2px（p＞0）上一定點P（x0，y0）（y0＞0），作兩條直線分別交拋物線于A（x1，y1）、B（x2，y2）兩點·當PA與PB的斜率存在且傾斜角互補時，求的值，并證明直線AB的斜率是非零常數·

圖4

圖3

本題中，當PA與PB的斜率存在且傾斜角互補時，用“點差法”可以得到y1+y2=-2y0，進一步求

（2005年江西卷文第21題（1））如圖4，M是拋物線y2= x上的一點，動弦ME、MF分別交x軸于A、B兩點，且|MA|= |MB|·若M為定點，證明：直線EF的斜率為定值·

四、逆向轉換

將命題中的已知事項和結論中的事項作相等個數的變換，得到新命題·

將“由焦點弦所在直線的斜率求曲線的離心率”改為“由曲線的離心率求焦點弦所在直線的斜率”，可編擬：

題2：（2009年全國Ⅱ卷理（文）第9（11）題）已知直線y=k（x+2）（k＞0）與拋物線C：y2=8x相交于A、B兩點，F為C的焦點，若|FA|=2|FB|，則k=（）·

五、類比移植

通過對原題表面內容、內在關系結構及解題思想方法進行聯想比較、類比遷移，得出具有新質的試題·

1·條件類比

根據兩類對象之間在某些方面的相似或相同，推出其他方面的相似或相同·如解析幾何中，命題者經常通過置換圓錐曲線的類型，把圓、橢圓、雙曲線、拋物線互相交換，編擬新題·

例8（1993年全國卷理第18題）已知異面直線a、b所成的角為50°，過空間一定點P作與直線a、b所成的角都是30°的直線有且只有（）·

A.1條B.2條C.3條D.4條

將直線與平面進行類比，可編擬：

題1：（2004年湖北卷理第11題）已知平面α與β所成的二面角為80°，P為α、β外一定點，過點P的一條直線與α、β所成的角都是30°，則這樣的直線有且僅有（）·

A.1條B.2條C.3條D.4條

題2：（2009年重慶卷理第9題）已知二面角α-l-β的大小為50°，P為空間中任意一點，則過點P且與平面α和平面β所成的角都是25°的直線的條數為（）·

A.2B.3C.4D.5

2·方法類推

通過類比解題方法產生新的問題·

（2003年上海春季卷第12題）設

六、拓展演繹

通過由此及彼，由表及里，觀察、比較與分析，產生認知遷移·

1·拓展背景

從不同角度拓展問題背景，導出有價值的新的結論·

例10（1992年全國卷文第24題）求sin220°+cos280°+

本題的結構與余弦定理類似，我們可以尋求其幾何意義·一般地，我們有：將正弦定理：a=2RsinA、b=2RsinB、c=2RsinC代入余弦定理a2+b2-2ab·cosC=c2，化簡得sin2A+ sin2B-2sinAsinB·cosC=sin2C①·

①式中角A、B、C為三角形的三內角，只要滿足0＜A、B、C＜π，且A+B+C=π即可·

以①為結論，可以編擬許多問題·如令A=20°，B= 40°，C=120°，即得：

題1：（1995年全國卷理第22題）求sin220°+cos250°+ sin20°cos50°的值·

在①中令C=60°，可以得到sin2A+sin2B-sinAsinB=

因C=60°，則A+B=120°，即α+90°+β=120°，則α+β= 30°·

在②中，對α、β賦值，如13°+17°=15°+15°=18°+12°=-18°+48°=-25°+55°=30°，可編擬：

題2：（2012年普福建卷理（文）第20（17）題）某同學在一次研究性學習中發現，以下五個式子的值都等于同一個常數·

（1）sin213°+cos217°-sin13°cos17°；

（2）sin215°+cos215°-sin15°cos15°；

（3）sin218°+cos212°-sin18°cos12°；

（4）sin2（-18°）+cos248°-sin（-18°）cos48°；

（5）sin2（-25°）+cos255°-sin（-25°）cos55°·

（Ⅰ）試從上述五個式子中選擇一個，求出這個常數；

（Ⅱ）根據（Ⅰ）的計算結果，將該同學的發現推廣為三角恒等式，并證明你的結論·

2·演繹結論

從命題條件出發，通過演繹推理，產生新結論·

例11（2004年全國Ⅲ卷第22題（1））已知函數f（x）= ln（1+x）-x，求函數f（x）的最大值·

本題中，f（x）=ln（1+x）-x的最大值為0，即ln（1+x）≤x對x＞-1恒成立，如做替換x→x+1，則有lnx≤x-1對x＞0恒成立，據此，可編擬：

題1：（2011年湖北卷理（文）第20（21）題（Ⅰ））已知函數f（x）=lnx-x+1，x∈（0，+∞），求函數f（x）的最大值·

另一方面，ln（1+x）≤x（x＞-1）等價于：

ex≥1+x（x＞-1）（1）·

當x＞-1時，由（1）式知ex≥1+x＞0，從

題2：（2010全國大綱Ⅱ卷理第22題（Ⅰ））設函數f（x）=1-e-x，證明：當x＞-1時，f（x）≥x

另外，（1）式可加強為ex≥1+x（x∈R），從而ex-x≥1，

據此，可編擬：

題3：（2007年遼寧卷第22題）已知函數f（x）=e2x-

以不等式ln（1+x）≤x（x＞-1）為源頭，還可以衍生出一大批高考題，限于篇幅，在此不再展開，讀者可以參見文3·

3·推廣命題

通過由特殊到一般、由具體到抽象的邏輯推理，概括歸納出新問題·

例12（2009年遼寧卷理第6題）設等比數列｛an｝的

從一般性考慮，可編擬：

（2010年安徽卷理第10題）設｛an｝是任意等比數列，它的前n項和、前2n項和與前3n項和分別為X、Y、Z，則下列等式中恒成立的是（）·

A·X+Z=2YB.Y（Y-X）=Z（Z-X）

C.Y2=XZD·Y（Y-X）=X（Z-X）

七、組合演變

根據所考查知識和方法的需要，將一些較為簡單又具有內在聯系的命題進行有機的結合，通過相互滲透，重新組合，編擬新題·

例13（1）（2011年陜西卷理第17題（Ⅰ））如圖5，設P是圓x2+y2=25上的動點，點D是P在x軸上的投影，M為PD在圓上運動時，求點M的軌跡C的方程·

（2）（2011年江蘇卷第18題（Ⅲ））如圖6，在平面直角坐標系xOy中，M、N分別是頂點，過坐標原點的直線交橢圓于P、A兩點，其中P在第一象限，過P作x軸的垂線，垂足為C，連接AC，并延長交橢圓于點B，設直線PA的斜率為k·對任意k＞0，求證：PA⊥PB·

圖5

圖6

本例（1）的實質背景從映射（變換）的角度看，就是在映射f：（x，y）→（x，my）（m＞0且m≠1）下，知原像（x2+y2=下，圓可以拉伸或壓縮為橢圓，圓與橢圓可以互變共生）·

本例（2）的結論中蘊含了橢圓的一個重要性質：

將上述兩題重新組合，并把（1）中的“過P作x軸的垂線”改為“過P作y軸的垂線”，可導出新題：

（2012年湖北卷理第21題）設A是單位圓x2+y2=1上的任意一點，l是過點A與x軸垂直的直線，D是直線l與x軸的交點，點M在直線l上，且滿足|DM|=m|DA|（m＞0，且m≠1）·當點A在圓上運動時，記點M的軌跡為曲線C·

（Ⅰ）求曲線C的方程，判斷曲線C為何種圓錐曲線，并求其焦點坐標·

（Ⅱ）過原點且斜率為k的直線交曲線C于P、Q兩點，其中P在第一象限，它在y軸上的射影為點N，直線QN交曲線C于另一點H·是否存在m，使得對任意的k＞0，都有PQ⊥PH？若存在，求m的值；若不存在，請說明理由·

由此可見，往屆高考數學試題是一座值得深入挖掘的數學金礦，其中蘊含的極具教育價值的數學問題，是多年來人類智慧的結晶，成為以后高考命題選材的源泉，這些具有指導性和權威性的高考題，是值得我們數學教育工作者深入研究的·

1·胡成躲，姜官揚·對一道高考試題的拓展性探究［J］·上海中學數學，2011（1-2）·

2·朱賢良·莫讓浮云遮望眼，除盡繁華識真顏——對一類高考試題本質的追溯［J］·中學數學教學參考（上），2013（6）·

3·方亞斌·ex的冪級數展開式演繹高考題［J］·數學通訊，2012（2）·

4·劉友明·淺談一類高考解析幾何試題的命題途徑［J］·中學數學教學，2013（2）·

5·方亞斌·怎樣用課本例題和習題編擬初中競賽題［J］·數學教學，1991（4）·A