數(shù)學(xué)解題教學(xué)設(shè)計(jì)的新視角*
——基于思路表達(dá)的邏輯捷徑到思路探究的心理生成研究

☉淮北師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 張昆

數(shù)學(xué)解題教學(xué)設(shè)計(jì)的新視角*
——基于思路表達(dá)的邏輯捷徑到思路探究的心理生成研究

☉淮北師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 張昆

一個(gè)好的數(shù)學(xué)教師在課堂上所傳授的教學(xué)內(nèi)容，不能只滿足于告訴學(xué)生一些教師自己知道的數(shù)學(xué)知識（特別是它的邏輯過程），而應(yīng)該努力向?qū)W生展示一些教師自己知道得還不徹底的東西（在思考過程中，從問題的信息出發(fā)，萌發(fā)了一些比較模糊的數(shù)學(xué)觀念與思想，但是還沒有得到確定的結(jié)果），甚至就某一問題向?qū)W生如實(shí)地說明連教師自己到目前還不知道的事情，或者他感覺到但是還沒有明確認(rèn)識清楚的東西.這樣才能更有利于從思想上、心理上打動(dòng)學(xué)生，給學(xué)生以置身于現(xiàn)場的感覺，使之易于領(lǐng)悟，幫助學(xué)生不僅得到作為結(jié)果的知識，而且體悟產(chǎn)生形成某種知識結(jié)果的過程.

在聽高三數(shù)學(xué)教師解題教學(xué)課時(shí)，我們發(fā)現(xiàn)了這樣一種具有共性的現(xiàn)象：在講解解題思路時(shí)，許多教師喜歡運(yùn)用“容易得到”或“不難得到”或“同學(xué)們自己可以計(jì)算出（探究出）某種結(jié)論”等用語，有時(shí)候也直接將解決問題的思路提供給學(xué)生而不帶領(lǐng)學(xué)生探求獲得這一結(jié)論來源的過程.如此，學(xué)生得到的只是某種問題解決的邏輯通路，致使關(guān)于某個(gè)問題的解決過程沒有從學(xué)生的心理出發(fā)展開思維，這將損傷數(shù)學(xué)解題教學(xué)的教育價(jià)值.

數(shù)學(xué)解題教學(xué)的真正價(jià)值在于將教師已經(jīng)掌握的數(shù)學(xué)問題的邏輯通路轉(zhuǎn)化為學(xué)生從心理上發(fā)生，只有關(guān)注學(xué)生發(fā)生數(shù)學(xué)知識的心理過程，并仔細(xì)斟酌做好相應(yīng)得體的數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)，教師才能有意識地將自己經(jīng)過深思熟慮獲得問題解決的有效方法，通過創(chuàng)造性地發(fā)揮，變成促使學(xué)生學(xué)習(xí)形成數(shù)學(xué)解題創(chuàng)造性的手段.否則，通過教師的教學(xué)，學(xué)生解決問題的能力得不到相應(yīng)的提高，他們只有通過記憶已經(jīng)解決了的數(shù)學(xué)問題的解決思路（其實(shí)形成了某種類型）的方式來應(yīng)對新情境中的問題，而這種記憶的方式肯定是效果不好的.我們看一個(gè)高三數(shù)學(xué)解題的真實(shí)課堂教學(xué)中發(fā)生的例子.

（Ⅱ）若x0滿足f（f（x0））=x0，但f（x0）≠x0，則稱x0為函數(shù)f（x）的二階周期點(diǎn).如果函數(shù)f（x）有兩個(gè)二階周期點(diǎn)x1、x2，試確定a的取值范圍.

（Ⅲ）對于（Ⅱ）中的x1、x2和a，設(shè)x3為函數(shù)f（f（x））的最大值點(diǎn)，A（x1，f（f（x1）））、B（x2，f（f（x2）））、C（x3，0）.記△ABC的面積為S（a），討論S（a）的單調(diào)性.

對于問題（Ⅱ），授課教師的教學(xué)過程如下所示.

解：針對參數(shù)a進(jìn)行討論.

注：這位教師在提供如此思路后指出，解決了（ⅰ）后，可以省略（ⅱ）的計(jì)算，因?yàn)樵谶@種情況下，函數(shù)f（x）不可能具有兩個(gè)二階周期點(diǎn).

這種教學(xué)過程帶給學(xué)生和聽課的筆者兩點(diǎn)疑問：其一，為什么在討論參數(shù)a時(shí)采用了取作為分段標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行討論？其二，當(dāng)時(shí)，又為什么對x分成了如此的四段進(jìn)行討論？在整個(gè)的教學(xué)過程中，教師對這兩點(diǎn)都沒有作出必要的說明，使聽課的學(xué)生與筆者感覺一頭霧水.這其實(shí)只是教師將自己的研究成果的一種“邏輯捷徑”奉獻(xiàn)給了學(xué)生，而不是在教師的引導(dǎo)下，通過學(xué)生自己的思考得到的邏輯過程，所以如此進(jìn)行解題教學(xué)是沒有多少價(jià)值的，因?yàn)椴荒馨l(fā)展學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題思路的能力，學(xué)生只能通過記憶這種具體的討論問題的方法來面對新情境，從而對學(xué)生解決將要面臨的新情境時(shí)出現(xiàn)的新問題幫助甚小，即學(xué)生只能記住問題的邏輯過程，而對發(fā)展思維能力卻幫助甚微.

修改后的教學(xué)設(shè)計(jì)：由問題中給定的函數(shù)二階周期點(diǎn)的定義，我們必須要驗(yàn)證f（f（x））=x與f（x）≠x，于是需要得到函數(shù)f（f（x））的解析式，因此，就要首先決定盡可能地化簡函數(shù)解析式學(xué)生的想法當(dāng)然是去掉其中的絕對值符號.思路可以由此展開.

由①知假設(shè)f（f（x））=4a2x=x，由于，于是只有x= 0，即f（f（0））=0，但是f（0）=0，故由函數(shù)f（x）的二階周期點(diǎn)的定義，知x=0不是函數(shù)f（x）的二階周期點(diǎn).

由②知假設(shè)f（f（x））=2a-4a2x=x，解得.由于符合函數(shù)f（x）的二階周期點(diǎn)的定義，它是函數(shù)f（x）的二階周期點(diǎn).

由③知假設(shè)f（f（x））=2a（1-2a）+4a2x=x，解得但是不符合函數(shù)f（x）的二階周期點(diǎn)的定義，它不是函數(shù)f（x）的二階周期點(diǎn).

由④知假設(shè)f（f（x））=4a2（1-x）=x，解得.由于的條件，且符合函數(shù)f（x）的二階周期點(diǎn)的定義，它是函數(shù)f（x）的二階周期點(diǎn).

由⑤知假設(shè)f（f（x））=4a2x=x，又可以分兩種情況討論：當(dāng)時(shí)，f（f（x））=4a2x=x，但是f（x）=x，則中的所有點(diǎn)都不是函數(shù)f（x）的二階周期點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，f（f（x））=4a2x=x的解為x=0，但是f（0）=0，則x=0不是函數(shù)f（x）的二階周期點(diǎn).

由⑥知假設(shè)f（f（x））=4a2（1-x）=x，解得.由于矛盾，故不是函數(shù)f（x）的二階周期點(diǎn).

筆者關(guān)于問題（Ⅱ）修改后的解答過程講到此，有人舉手提問（注：這里的“有人問”與下文的“有人又問”，都是筆者在做講座時(shí)與聽講的高三數(shù)學(xué)老師之間交流的真實(shí)提問與回答的實(shí)錄.）：這不就是將a在其取值的范圍內(nèi)以為標(biāo)準(zhǔn)分成了兩個(gè)部分嗎？如此解答這一問題不是要節(jié)省許多計(jì)算嗎？我們承認(rèn)這種理解是非常有見地的.然而，我們認(rèn)為問題是：不經(jīng)過（ⅰ）、（ⅱ）、（ⅲ）、（ⅳ）的這些探究活動(dòng)，我們怎么會(huì)知道a的取值的分段標(biāo)準(zhǔn)就是呢？這位教師關(guān)于這一點(diǎn)在教學(xué)時(shí)沒有說清楚，致使在學(xué)生的眼光中，認(rèn)為教師具有先天的慧眼，在解題的探究之前，就有能洞穿問題實(shí)質(zhì)的本領(lǐng)，邏輯環(huán)節(jié)上的任何溝坎都很容易跨過去，實(shí)際上，教師也是常人，只是他在講課時(shí)將那種艱難的探究過程用嚴(yán)絲合縫、環(huán)環(huán)緊扣的邏輯捷徑隱藏了起來.這樣的解題教學(xué)給學(xué)生帶來了很大的負(fù)面影響，他們由此出發(fā)，很可能認(rèn)為數(shù)學(xué)是先天預(yù)成的，不是經(jīng)由意識機(jī)能探究得到的，而是通過對他人的精心思考的結(jié)論記憶而得到的.

事實(shí)上，數(shù)學(xué)解題教學(xué)設(shè)計(jì)的成功與否，很大程度上取決于教師向?qū)W生展示自己解題時(shí)的那種深陷重圍的痛楚，舉步維艱的處境，欲行又止的難局的探究過程.這些對學(xué)生的潛移默化的影響遠(yuǎn)遠(yuǎn)地大于教師經(jīng)由很長時(shí)間琢磨題目所得到的邏輯形式的捷徑，通過這種捷徑，使解題時(shí)的生動(dòng)的探究過程中的數(shù)學(xué)觀念的生成與再生，數(shù)學(xué)方法從暗昧到明確的構(gòu)造，洞穿問題結(jié)構(gòu)時(shí)的靈機(jī)一動(dòng)的直覺的來源等，都隱而不顯了.如此教學(xué)設(shè)計(jì)給學(xué)生的感覺正如波利亞所批評指出的“從帽子里變出了兔子”，學(xué)生便認(rèn)為教師的這種“變戲法”他們是學(xué)不會(huì)的，這對學(xué)生的打擊是無以復(fù)加的.由于這種教學(xué)方式的長期熏陶，學(xué)生對于數(shù)學(xué)解題的興趣將會(huì)喪失殆盡，他們極有可能放棄數(shù)學(xué)的思考與學(xué)習(xí).

當(dāng)我們鼓勵(lì)學(xué)生完成了本例中修改后的解題教學(xué)的探究活動(dòng)過程后，可以針對這種解答的心理過程，引導(dǎo)學(xué)生扼要地表達(dá)、形成邏輯過程——就是這位教師原始教學(xué)設(shè)計(jì)的過程——事實(shí)上是對經(jīng)由心理復(fù)雜的、系統(tǒng)的活動(dòng)過程所得到的結(jié)果的一種極其簡潔的邏輯表達(dá).邏輯過程就是將心理發(fā)現(xiàn)時(shí)的種種迂回曲折的過程擱置一邊，它褪盡鉛華，洗去塵滓，純而又純，簡練到一塵不染.

這位教師在課堂上所呈現(xiàn)的解答過程就是這種一塵不染的邏輯過程的捷徑，但如此只講問題思路的邏輯過程，就會(huì)極大地?fù)p傷數(shù)學(xué)解題教學(xué)的育人價(jià)值.數(shù)學(xué)解題教學(xué)設(shè)計(jì)更要關(guān)注學(xué)生產(chǎn)生這種邏輯過程的心理活動(dòng)過程，而心理過程要求學(xué)生生成問題解答的思路的活動(dòng)過程自然流暢，平淡無奇，水到渠成，以至無斧鑿痕跡.作為數(shù)學(xué)解題的教學(xué)過程，心理過程與邏輯過程，這兩者的合理整合是教學(xué)設(shè)計(jì)的理想狀態(tài)，但是作為教學(xué)活動(dòng)，我們必須依據(jù)邏輯線索，偏向于心理過程.

有人又問：如此教學(xué)課堂時(shí)間的利用率極低，高三復(fù)習(xí)解題教學(xué)的時(shí)間是格外寶貴的.我們認(rèn)為，關(guān)于數(shù)學(xué)解題課堂教學(xué)效率問題，不應(yīng)該是教師在一節(jié)課上所講授的題量與時(shí)間之比，而是教師在課堂上所要傳授的知識，及這些知識可能促進(jìn)學(xué)生生成的數(shù)學(xué)觀念，萌發(fā)數(shù)學(xué)思想，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)方法，通過教師的教學(xué)能夠達(dá)到何種程度，因?yàn)檫@些才能提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力，使其產(chǎn)生深度數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)，由此可以加大學(xué)生駕馭新情境下數(shù)學(xué)問題的可能性的程度.這就是我們通常所說的：授人以魚，不如授人以漁.當(dāng)學(xué)生形成了思想，生成了觀念，構(gòu)造了方法時(shí)，就可以自己解決新的問題，知識的增多與技能的提高已經(jīng)不是多大問題了.

長期的數(shù)學(xué)教學(xué)經(jīng)驗(yàn)使我們意識到：雖然“教什么”與“怎樣教”更直接通向教學(xué)效率，但對于形成數(shù)學(xué)解題的心路歷程而言，高效率往往會(huì)流失解題教學(xué)價(jià)值的許多意蘊(yùn)，解題的邏輯環(huán)節(jié)的出現(xiàn)不是客觀的物品，不能直接從教師（或者教科書）那里傳遞給知識的學(xué)習(xí)者，它更好的類比好像是牛的腸道對食物的消化吸收過程.首先，有一個(gè)反芻的環(huán)節(jié)，然后，食物必須經(jīng)由很長的彎彎曲曲的腸道，才能一點(diǎn)一滴地對其中內(nèi)含的營養(yǎng)要素進(jìn)行分類吸收，而將有害的因素排出，吸收了的便成為牛的身體的一部分，為其所用.數(shù)學(xué)觀念的生成與再生也是一樣，必須對作用于意識機(jī)能的外在信息的點(diǎn)滴體會(huì)，集思廣益，才能萌生相應(yīng)的數(shù)學(xué)觀念，組成主體認(rèn)知結(jié)構(gòu)的動(dòng)力系統(tǒng)的一個(gè)部分，這應(yīng)該是一種需要時(shí)間進(jìn)行體悟的過程，這一過程是不能采用解題的數(shù)量與時(shí)間的比率來闡明數(shù)學(xué)問題解決的教學(xué)效率的.

當(dāng)然，教師在教學(xué)過程中，他的處理是靈活生動(dòng)而非僵化死板的.例如，對于本例中的修改后的設(shè)計(jì)，也未必需要如此事無巨細(xì)地寫出整個(gè)過程，我們清楚地表達(dá)了的環(huán)節(jié)1中（ⅰ）的探究活動(dòng)的成果，其他可以對學(xué)生提供問題的答案，探究與計(jì)算過程讓學(xué)生自己去在課下完成，有了（ⅰ）的示范，其他三者學(xué)生也是可以自覺地得到結(jié)果的，不需要教師在寶貴的課堂教學(xué)的時(shí)間中，將探究問題思路的全息性思維活動(dòng)過程如此事無巨細(xì)地展示在課堂教學(xué)中.這樣做的目的主要是體現(xiàn)出我們分類標(biāo)準(zhǔn)的由來是經(jīng)由對（ⅰ）的探索過程得到的，使解決問題思路的生成出自于學(xué)生心理的思考，而不是教師的“奉獻(xiàn)”，如此可以啟發(fā)學(xué)生生成探究問題發(fā)現(xiàn)思路的深度經(jīng)驗(yàn).

對于問題（Ⅲ）（這里只是簡略解答的過程），由問題（Ⅱ）的解答所得到的結(jié)論，知而x3為函數(shù)f（f（x））的最大值點(diǎn)，知，因此解答此題需分兩種情形討論.

對于問題（Ⅱ），我們不厭其煩地寫完這道題目的解題發(fā)現(xiàn)過程之后，形成筆者的觀點(diǎn)——數(shù)學(xué)解題教學(xué)設(shè)計(jì)應(yīng)力求將解題思路邏輯過程的發(fā)生轉(zhuǎn)化為引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)解題思路的心理活動(dòng)過程，在這一過程中，也只有在這一過程中，才能促使學(xué)生生成與再生數(shù)學(xué)觀念，萌發(fā)數(shù)學(xué)解題思想，構(gòu)建數(shù)學(xué)解題方法，形成深度數(shù)學(xué)解題經(jīng)驗(yàn).筆者再次閱讀張奠宙、宋乃慶先生的《數(shù)學(xué)教育概論》，嚴(yán)士鍵在給該書所做的“序三”中轉(zhuǎn)述華羅庚先生對讀數(shù)學(xué)書的看法，對我們的解題教學(xué)具有很好的指導(dǎo)作用，我們實(shí)錄其一段文字：華先生提倡，在讀數(shù)學(xué)書時(shí)先要把書中的那些“顯然”“可以證明”“經(jīng)過計(jì)算可以得到”等略掉之處都補(bǔ)出來，將書中的細(xì)節(jié)都弄懂.這是將書讀“厚”.然后是在讀完一章或一本書后，應(yīng)該總結(jié)反思.弄清這本書的問題是怎樣提出的；已經(jīng)解決到什么程度；在解決問題的過程中，提出了哪些概念與方法，這樣也就將書讀“薄”了.他還指出，每讀一本新書，其中對自己是全新的內(nèi)容通常并不多，關(guān)鍵是要把那些新內(nèi)容“加”到自己所有的知識中去，形成自己的體系.

解題時(shí)數(shù)學(xué)解題思路的心理發(fā)現(xiàn)過程就是將邏輯過程中的每一個(gè)環(huán)節(jié)及環(huán)節(jié)與環(huán)節(jié)之間的轉(zhuǎn)、承、啟、合的中介都通過思考將其構(gòu)造出來，這就類似于華先生的將書讀“厚”，學(xué)生從其思考所得到的一系列材料中形成關(guān)于某些要素的固定的看法，這就生成了數(shù)學(xué)觀念，而數(shù)學(xué)方法又是在這些數(shù)學(xué)觀念指導(dǎo)下進(jìn)一步的反復(fù)運(yùn)用中產(chǎn)生的，如此便形成了學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題的深度經(jīng)驗(yàn).在教師的帶領(lǐng)下，指導(dǎo)學(xué)生通過反思的途徑，對經(jīng)由心理活動(dòng)加“厚”的材料舍棄多余、精簡環(huán)節(jié)，找到筆直的捷徑，整理好這些就形成了解答問題的邏輯過程，這就形成了解題表達(dá)的“薄”的過程.

1.李晶，李德安.基于學(xué)生的視角談解題教學(xué)的有效性——以2012年、2013年云南省一模數(shù)學(xué)第21題為例說明［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（上），2013（6）.

2.張昆.滲透數(shù)學(xué)觀念的教學(xué)設(shè)計(jì)方法研究——以一元一次方程教學(xué)為例［D］.重慶：西南大學(xué)，2011.

3.張奠宙，宋乃慶.數(shù)學(xué)教育概論［M］.北京：高等教育出版社（第二版），2009.A

*本文為2013年12月26日在安徽省宿州市高三數(shù)學(xué)教學(xué)復(fù)習(xí)研討會(huì)上的報(bào)告，這里作了少許刪減.本文系淮北師范大學(xué)校級質(zhì)量工程課題“提高師范生數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)水平研究”（jy13228）階段性研究成果.