滲透學法，讓學生的思維枝繁葉茂
——以“向量加法運算及其幾何意義”為例

☉浙江省寧波市鄞州高級中學 葉琪飛

滲透學法，讓學生的思維枝繁葉茂
——以“向量加法運算及其幾何意義”為例

☉浙江省寧波市鄞州高級中學 葉琪飛

中國教育科學研究院教育綜合改革實驗區“第三屆高質量課堂展示活動”于2015年1月5日～6日在重慶舉行.來自全國各綜合改革實驗區的領導專家和老師共450余人參加會議，這次“第三屆高質量課堂展示活動”為期兩天，全國八個教育綜合改革實驗區高中數學優秀教師展示了各區域的生態課堂、智慧課堂、文化課堂、卓越課堂、幸福課堂、品質課堂、生動課堂等各具特色的課堂模式，部分課堂為同課異構，充分體現了實驗區的成果和特色.由實驗區的8位高中數學教研員組成的評委團現場打分，筆者執教的“向量加法運算及其幾何意義”排名第一，獲得特等獎.現將其整理，與同行分享.

向量是近代數學中重要和基本的數學概念，它是“溝通代數、幾何、三角的一種工具”，其工具作用主要體現在向量的運算方面，向量的加法運算是向量運算的基礎.平面向量的加法運算是通過類比數的加法，以位移的合成、速度的合力等兩個物理模型為背景引入的.向量的加法不同于數的加法，運算中包含大小與方向兩個方面，向量加法的法則是通過畫圖得到的，從這個角度來看，研究向量加法是學生學習過程中的一種突破.是學習向量的減法、數乘及平面向量的坐標運算等內容的知識基礎，為進一步理解其他的數學運算（如函數、映射、變換、矩陣的運算等）創造了條件，向量的加法在這里起著承上啟下的作用.通過不斷與數進行類比，學習向量加法及其幾何性質，充分體現了類比思想在研究問題過程中的重要作用.

一、通過類比，確定任務

1.教學片斷呈現

“同學們，你們在十幾年的數學學習過程中，始終都跟兩類對象打交道：數與形.對數的學習，我們不妨一起來梳理一下，經歷以下內容：數的概念；數的運算；數的運算規律；數的運算應用舉例.模仿對數的學習，請設計對向量的學習清單.

2.評析與思考

荷蘭著名數學家弗賴登塔爾在《作為教育任務的數學》中說：“數學是充滿聯系的，不要教孤立的片段，應該教聯系的材料.”可將對平面向量的學習類比于數的學習，學生在十幾年對數的學習過程中，其流程極具程序化：概念—運算—運算律—應用舉例，將類比這一思維方式貫穿課堂始終，引領全局，一氣呵成，一個好的課堂結構應該是站在知識系統的高度引領學生的認知結構，將類比這種方法深入學生內心，進行現場組織，這樣能為學生的可持續發展提供源源不斷的源泉.

二、概念同化，重在遷移

1.教學片斷呈現

引入1：這次來重慶筆者有兩種計劃，從地圖上看：第一種計劃從寧波出發途徑北京到重慶，第二種計劃是直接從寧波到重慶（展示中國地圖）.這是物理背景中位移的合成，第一種計劃中兩次位移的結果與第二次一次位移的結果相同，物理中把后一次位移稱為前兩次位移的和，去掉物理背景，我們可以視其兩個向量的和.

引入2：到了重慶自己肯定要到朝天門碼頭看看，朝天門碼頭在長江與嘉陵江的交匯處，夜景非常漂亮，如果乘上一艘船觀賞兩岸的風景更是一大美事.數的加法啟發我們，從運算的角度看，船實際的行駛速度v可以認為是與船在靜水中的速度v1和水流的速度v2的和.

2.評析與思考

上公開課要接地氣，貼近學生實際，才能產生共鳴，學生對向量這個概念并不陌生，完全沒必要推倒重來，在物理學科中，位移的合成，速度、力的合成都是向量加法的物理模型，在矢量的合成中學生對三角形法則與平行四邊形法則了然于心，掌握得很熟練.那數學為什么還要學習向量呢？相比矢量，向量更具有一般性和普適性，向量的起點可以隨意，只要方向和長度確定，可以自由平行移動，數學中對兩向量加法把握住原有知識的生長點，老師要做的工作只需要喚醒.

三、植入探究，碰撞思維

1.教學片斷

呈現教師用兩個實物向量演示，反復強調“首尾連，共起點”.再擺弄兩個道具向量，如果兩個向量共線，和向量有沒有？共線時平行四邊形法則沒有了和向量.三角形法則還是有和向量，因此它的“口訣”可以借用到共線中探究，作同向共線和反向共線的和向量時要求每個向量的起點和終點標上大寫字母，便于說明和向量是在哪里.第一、二組作同向共線和向量，第三、四組作反向共線和向量，自己完成后把另外兩組的任務也完成好，教師巡視.

請兩位學生在實物投影儀上展示.教師小結，補充說明.強調借用三角形法則的“口訣”——首尾連，起點指向終點.小組討論內容大于形式，創造性地調動小組長和組員的學習積極性，教師提問，前后4人一組，分組交流，了解學生思考問題的進展過程，鼓勵學生在學習了兩種求和方法的認知基礎上，通過作圖展示突破思維的障礙，學習小組展示成果，學生在合作探究中得出結論：（a+b）+c=a+（b+c）.教師讓學生明確探究途徑是使用加法法則作圖研究，并且作圖需要設計，選擇理想的方法，清晰表述證明過程，學生通過合作交流、自主探究，通過畫圖動手驗證，完成對相關運算律的證明.

2.評析與思考

新課程改革倡導自主、探究、合作，要求改善學生的學習方式.本節課有對向量的運算法則、運算律的合作探究和分組討論，學生經歷知識的發現過程，感受解決問題的喜悅，教師在這個過程中作為參與者、引導者、合作者，充分體現了教師的主導作用和學生的主體作用.

四、數學建模，應用舉例

1.教學片斷呈現

在引入的時候，筆者向大家展示了朝天門碼頭下游的其中一艘船的速度合成，下面筆者加入了一些具體數據，看看大家學以致用的能力.

長江兩岸之間沒有大橋的地方，常常通過輪渡進行運輸.一艘船從長江南岸A點出發，以km/h的速度向垂直于對岸的方向行駛，同時江水的速度為向東2km/h.

（1）試用向量表示江水速度、船速及船的實際航行的速度；

（2）求船實際航行速度的大小與方向（.用與江水速度間的夾角表示）.

2.評析與思考

培養學生的數學建模能力，以及數學的應用意識.上課的引入情境不能上課伊始一用了之，然后束之高閣，在課中最好有個呼應作用，本課例中的應用切合引入問題背景，學生的數學學習過程是一個持續的“無疑—有疑—無疑”的動態循環和提高超越過程.要培養學生提出問題的能力，而應該多次使用.

五、概念延伸，文化引領

1.教學片斷呈現

這節課之后，你還想做些怎么樣的探究對所學內容進行小結，為實際應用打下基礎.通過開放型問題，拓展學生的視野，提高學生的探究意識.同學們，向量加法運算是向量運算中最基本的一種運算，向量和的求作方法同學們也必須掌握，而“和”是中國文化的特征向量，也是我們所追求的最高境界，我們現在在學海中遨游，要使我們自己的速度與風速、洋流的速度合起來的和速度達到最大，用今天學習的平行四邊形法則知道，只要方向盡可能一致時，實際的速度會更快些.最后祝愿大家在今后的學習中乘風破浪，利用一切有利因素，堅持不懈，到達理想的彼岸，謝謝大家！

2.評析與思考

數學課堂要體現數學的文化價值，做到數學知識與數學文化的巧妙融合，做到“潤物細無聲”，雖不能將課程三維目標承載在一堂課上，但如果每堂課不分重點課程目標，那課程目標又從何談起？從問題提出到問題解決都竭力把探究問題的主動權交給學生，讓學生操作實驗、直觀感知、自主探索、合作交流，使學生全面參與、全員參與、全程參與，真正確立其主體地位.而教師作為數學學習的組織者、引導者、合作者，要及時給予點撥和糾正.

注重學科間的貫通，推進扎實，創意新穎，充分調動了學生的思維積極性，并立足于小組合作及小組負責人檢視指導組員等方法，有效挖掘了學生的自主學習潛力，為高中數學的生動課堂教學做出了極具意義的探索.

1.石志群.“練習”不一定就是給“練”的［J］.中學數學月刊，2011（7）.

2.葉琪飛.淺論變式教學的有效性［J］.中學數學（上），2012（5）.

3.章建躍.中學數學課改的十個論題［J］.中學數學教學參考（上），2010（3）.

4.趙緒昌.淺談數學課堂教學中的等待［J］.中學數學（上），2011（6）.F