一道質檢題的命制過程、使用情況及教學反思

☉重慶育才中學 王歷權

☉重慶育才中學 黨忠良

☉重慶九龍坡區辰光學校 劉津

一道質檢題的命制過程、使用情況及教學反思

☉重慶育才中學 王歷權

☉重慶育才中學 黨忠良

☉重慶九龍坡區辰光學校 劉津

一、原創題目

如圖1，半徑均為1的光滑圓形軌道圓O1、圓O2外切于點M，點H是直線O1O2與圓O2的交點，在圓形軌道圓O1、圓O2上各有一個運動質點P、Q同時分別從點M、H開始逆時針繞軌道做勻速圓周運動，若點P、Q運動的角速度之比為2∶1，則的最大值為______.

解析：以O1為圓心，O1O2為x軸，建立平面直角坐標系.

因為點P、Q分別運動的角速度之比為2∶1，所以當P轉動角度為2θ時，點Q轉動的角度為θ，因此P（cos2θ， sin2θ）、Q（2+cosθ，sinθ）

二、命制過程

1.靈感來源

在一次學生作業中有下面一道題目，學生完成情況不理想，大部分學生要求評講，引起了筆者的注意，經查閱，該題目是2012年高考安徽理科的第8題.題目如下所示.

該問題以向量為背景，考查學生應用三角函數的定義、兩角和與差的三角函數知識解決問題的能力，題目起點低落腳高，立意新穎.

2.不斷改進

在隨后的月考命題中，需要一道考查有關三角、向量知識的題目，且要求有一定的難度，筆者受此題啟發，決定自創一道背景不同但考查知識與方法類似的題目檢驗學生學習上題的效果.

考慮到題目要考查學生建立直角坐標系用角度和點到原點的距離來表示點（向量）的坐標，因此選擇圓為問題的背景，于是得到題目1.

題目1：如圖2，在直角坐標系中，x軸上有一定點M（2，0），若動點P、Q在圓上運動且關于原點對稱，求的值.

分析：不妨設P（cosθ，sinθ），則Q（cos（π+θ），sin（π+θ）），即Q（-cosθ， -sinθ）.因此=（cosθ-2，sinθ）·（-cosθ-2，-sinθ）= 3.

雖然題目將想考查的知識與方法基本覆蓋，但是筆者覺得題目稍顯簡單，而且該題很容易用特殊值法得到答案，作為一道考題特別是填空題，不能很好地檢測學生的學習情況，于是決定對其修改.

題目1中，由于點M（2，0）為定點，雖說點P、Q均為動點，但它們關于原點對稱，本質上只有一個動點，因此筆者決定從增加動點個數入手對其改進，于是決定添加一個單位圓與圓O外切，得到題目2.

題目2：如圖3，單位圓O1、O2外切于點M，點H是直線O1O2與圓O2的交點，在圓O1、O2上各有一個動點P、Q同時分別從點M、H開始逆時針繞圓運動，若點P、Q分別運動的速率之比為2∶1，求的最大值.

分析：該問題中，點P、Q分別在不同圓上運動，以學生熟悉的情景考查了坐標形式求解等知識與方法.

以O1為圓心，O1O2為x軸，建立平面直角坐標系，因為點P、Q分別運動的速率之比為2∶1，所以當P轉動角度為2θ時，點Q轉動的角度為θ，因此P（cos2θ，sin2θ）、Q（2+ cosθ，sinθ），所以（cos2θ，sin2θ）·（2+cosθ，sinθ）= 2cos2θ+cos2θcosθ+sin2θsinθ=2cos2θ+（cos2θcosθ+sin2θsinθ） =2cos2θ+cosθ=4cos2θ+cosθ-2，所以的最大值為3.

題目改進至此，筆者的思路被打開了，但對題目仍不滿意，一方面是難度不符合要求，另一方面是感覺題目問題新穎度不夠.在思索如何改進的過程中，筆者注意到問題2中所給圖像跟火車曲柄極其相似，于是靈光一閃，為什么不計算動線段PQ的長度呢？經過嘗試，筆者發現完全可行，且計算量不是太大，但也有一定的障礙.于是得到題目3.

題目3：如圖3，單位圓O1、O2外切于點M，點H是直線O1O2與圓O2的交點，在圓O1、O2上各有一個動點P、Q同時分別從點M、H開始逆時針繞圓運動，若點P、Q分別運動的速率之比為2∶1，求|PQ|的最大值.

3.最終定稿

最后，筆者在如下方面做了微調.

首先，將兩個外切的圓描述為兩個光滑的圓形軌道，動點P、Q描述為運動質點，其運動方式描述為勻速圓周運動，目的是讓數學問題以物理情景呈現，充分體現數學在其他學科內的廣泛應用，為了更加跟物理知識銜接，在命制的過程中筆者還請教了物理教師以確保其準確規范.

其次，將“速率之比為2∶1”改為“角速度之比為2∶1”，這樣做的目的是想提示學生以角度為突破口，用角度表示動點的坐標.

最后，為了順帶考查相關向量知識，將“求|PQ|的最大值”改為“求|的最大值”，即最終定稿.本題所考查的知識點有三角函數的定義、向量的加減法運算、兩點間的距離公式、同角三角函數的基本關系、兩角差的余弦公式（逆用）、二倍角的余弦公式、換元法、二次函數在閉區間上的最值等，屬于綜合能力型問題.

三、使用情況

鑒于這道題目的綜合性和難度系數，筆者將這道題放在填空題第三題（其后面是三選二選考內容），作為填空題目中有一定區分度的壓軸題.

考后該題目受到了同教研組的老師們的高度評價，大家一致認為該題目綜合性強，能力要求高，考查了學生應用所學的數學知識解決問題的能力，體現了數學的本質，另外題目以新穎的背景，特別是以理科生熟悉的物理背景呈現出來，充分體現了數學在其他學科中的基礎地位.

學生完成的情況卻令人大跌眼鏡，筆者所在年級理科共1300余人，做對的卻不過區區85人（即難度系數不足0.1），經過追蹤統計調查，85位同學中，仍有21人在計算|PQ|的過程中沒能辨認出cos2θcosθ+sin2θsinθ的結構特征，而是將二倍角的正、余弦全部用公式展開，這無疑大大增加了計算量.其他未做出或做錯的學生中，出現結果為的約占37%，該答案是猜測得到的，認為當時，點Q正好運動到點H處，因此答案為，認為答案為4的約占22%，即∠MOP=π時，點Q位1于起始處，該答案純屬猜測，出現其他答案的占17%，未作答的約占18%.是什么原因導致這個看似不難的問題的正確率如此之低呢？全教研組的老師都陷入了沉思.

四、教學反思

首先，教師要不斷反省課堂，結合在評講2012年安徽高考題理科第8題時的教學回憶，筆者從章建躍教授的《中學課改的十個論題》一文中找到了答案.文中章教授指出“教完了”應以學生是否理解教學內容為標準，以學生是否達到課標規定的教學要求，特別是學生是否達到“數學雙基”的理解和熟練水平為標準，而不是教師在課堂上有沒有把內容講完.

教學中要注意及時反饋學情，講求針對性和實效性，沒有信息反饋就沒有控制，教學就是盲目的.學生學習的情況怎樣，這需要教師給予恰當地評價，以深化學生已有的學習動機，矯正學習中的偏差.教師要注意從教學中的細節窺探學生的學習情況，既要注意課堂上的及時反饋，也要注意及時對作業、測試、活動等情況給予反饋.使反饋與評價相結合，充分發揮信息反饋的診斷作用、導向作用和激勵作用，深化學生學習數學的動機.

其次，教師要不斷反思日常教學，深化教學科研，改進方法，增添措施，做到勤教之，博學之，深研之，努力做學者型、專家型的教師.教師應注重縱橫滲透，加強知識的綜合整合，在教學中體現“教師主導、學生主體、思維主線、能力主旨和發展主流”的“五主”意識.教師應在寫作狀態下成長，通過寫教學反思、原創題目等方式提升教師專業發展，促進有效教學.

最后，應努力體現數學的應用，加強數學與其他學科的交叉，促進發展學生應用數學的意識與能力.數學知識來源于生活又高于生活，教學中教師應努力體現數學在其他學科中的基礎地位，創設豐富的情景，努力讓數學生活化.

1.章建躍.中學課改的十個論題［J］.中學數學教學參考（上），2010（3）.

2.張昆，許曉天.基于能力立意的高考命題研究——數學高考復習教學設計的視角［J］.中學數學（上），2015（2）.

3.王歷權，黨忠良.對高三復習解題教學的幾點思考［J］.中學數學（上），2015（3）.A