課堂導引動態函數問題求解思路的尋找

☉江蘇省如皋市第二中學 韓勇華

課堂導引動態函數問題求解思路的尋找

☉江蘇省如皋市第二中學 韓勇華

課堂是學生接受知識的主要來源，傳統的課堂教學模式以教師講解為主導，學生處于被動接受狀態，而部分教師在講解解題思路時，大多數都以告知的形式講授，這樣造成的結果是：學生只知其然，不知所以然，在遇到類似問題時仍感無從下手.而新課程要求課堂教學應以啟發為主，教師在課堂上起引導作用，引導學生自主生成解題思路，進而內化為解題能力.本文以幾例動態函數問題為例，展示思維的啟發、引導過程.

一、尋找定值

問題1已知函數f（x）在定義域（0，+∞）上是單調函數，若對任意x∈（0，+∞），都有則）的值是（）.

A.5B.6C.7D.8

師：請同學們仔細觀察已知條件與所求結論來尋找解題思路.

師：但函數解析式不確定，即本題屬于動態函數問題，如何處理？

生眾：動中尋定！

師：定在哪里？

生2：函數f（x）為單調函數，x與y的對應關系是一一對應，而，所以為定值，可設（fx）-，即（fa）=2，（fx），所以（fa），解得a= 1，所以，故選B.

師：問題能否順利求解，取決于對條件的利用是否準確，單調性是函數主要性質之一，利用單調性根據已知條件尋找到定值的存在是問題求解的關鍵.

練習：已知函數f（x）=x2+ax+b（a∈R，b∈R）的值域為［0，+∞），若關于x的不等式f（x）

答案：9.

二、尋找定性

問題2函數y=f（x）的定義域為（0，+∞），且對于定義域內任意的x，y都有f（x·y）=f（x）+f（y），且f（2）=1，則

的值為（）.

師：本題屬于抽象函數問題，所謂抽象函數是指并沒有確定的解析式，如何去尋找確定的信息.

生3：可從所給的函數性質關系式f（x·y）=f（x）+f（y）入手.

師：哪位同學繼續？

師：這種解題思路，在數學中稱為分析法，即從所求的結論入手，逆向尋找結論成立條件，思路環環相扣……

生5：（舉手示意）針對客觀題的特點，由所給的函數性質關系式f（x·y）=f（x）+f（y），可聯想我們所熟悉的特殊函數來解題，如對數函數y=logax（a>0，且a≠1）具有性質logaxy=logax+logay，由條件f（2）=1，可知底數為a=2，進而將問題簡潔求解.

師：小題小做，一般問題特殊化是處理客觀題的有效策略.借此我們來思考一下，還有哪些常見的函數性質關系式，可以聯想特殊的函數來處理？

生6：正比例函數型f（x）=kx，滿足f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）；

指數函數型f（x）=ax，滿足f（x1+x2）=f（x1）·f（x2），f（x1-

對數函數型f（x）=logax，滿足f（x1·x2）=f（x1）+f（x2），

冪函數型（fx）=xn，滿足（fx1·x2）=（fx1）·（fx2）

三、尋找定形

問題3已知a>0，二次函數f（x）=2ax2+2x-3-a.如果函數f（x）在區間（-1，1）內有零點，則a的取值范圍為____________.

師：二次函數在某區間內的零點問題的常規處理思路是什么？

生7：如果二次項系數含參數，應對參數是否為0進行分類討論.再利用根的判別式對零點的個數進行討論，而本題二次項系數大于零，判別式Δ=b2-4ac=4+8（3+ a）大于零，函數f（x）有兩個零點，故只需討論f（x）在區間（-1，1）內有幾個零點問題即可：

（1）有一個零點在區間（-1，1）內時，則有f（-1）f（1）<0.

師：同學們還有沒有要補充的？

生8：還應包含有一個零點恰好為-1或1的情況，即：

師：作為一道客觀題，這樣的解答略顯煩瑣，但卻是處理此類問題的通法，請同學們再思考一下，看是否有其他簡潔的解答？

生9：函數解析式雖然不確定，但我們可以將其中確定的信息挖掘出來：因為a>0，所以對稱軸<0，且函數圖像在y軸上的截距-（3+a）<0，所以函數f（x）的大致圖像可確定（圖略）.若函數f（x）在區間（-1，1）內有零點，則有f（-1）>0或f（1）>0，解得a>1.

師：非常好！從命題的角度來看，一個題目不可能把所有的分類點都涵蓋在內，審題時應注意隱含的、確定的信息的挖掘，從而避免不必要的討論.下面的問題請大家課下處理.

練習：關于x的方程ax2+2x-1≥0至少有一個正根，求實數a的取值范圍.

四、尋找定點

問題4已知a為常數，函數f（x）＝x（lnx-ax）有兩個極值點x1，x2（x1＜x2），則a的取值范圍是_________.

師：涉及極值問題，我們常規的處理思路是什么？

生10：借助導數.函數有兩個極值點，即其導函數有兩個零點，對函數求導得f′（x）=lnx-ax+1-ax=lnx+1-2ax，令f′（x）=0，即lnx+1-2ax=0有兩個解，整理得lnx=2ax-1，即將問題轉化為函數y=lnx與y=2ax-1的圖像有兩個交點問題.

師：零點問題轉化為交點問題處理，是解此類問題的常用途徑，但y=2ax-1的解析式不確定，如何求交點？

生11：函數y=2ax-1的解析式雖然不確定，但有確定的信息可尋，即y=2ax-1過定點（0，-1），故只要判斷直線y=2ax-1與曲線y=lnx相切時的臨界狀態的a的值即可，進而將問題轉化為“曲線過某點的切線問題”.

設切點坐標為（x0，lnx0），則切線斜率因為直線過點（0，-1）、（x0，lnx0），故由兩點坐標求得斜率，所以，解得x=1，即k=1，所以當0<02a<1，即時，直線y=2ax-1與曲線y=lnx有兩個交點，此時函數f（x）＝x（lnx-ax）有兩個極值點，故a的取值范圍是

師：數學解題的過程其實就是轉化的過程，即將陌生的問題轉化為熟悉的問題、復雜的問題轉化為簡單的問題求解，本解法將問題進行兩次轉化，化為我們熟悉的“曲線過某點的切線問題”，使問題順利得解.

綜上，在課堂解題教學中，教師要注重從解題思路的尋找上多下功夫，使學生清楚為什么這么做，這種思路是如何找到的，即弄清楚解法的根源所在，在處理相關問題時便可得心應手，進而提高學生分析問題、解決問題的能力.F