線段長度“參數化”，方程函數助求值——2015年江蘇連云港卷把關題的思路突破與解后反思

☉江蘇省蘇州市陽山實驗初級中學校 仲進東

線段長度“參數化”，方程函數助求值
——2015年江蘇連云港卷把關題的思路突破與解后反思

☉江蘇省蘇州市陽山實驗初級中學校 仲進東

近年來，一類以“函數圖像+幾何性質”為載體的中考壓軸題較為流行，這類問題常常與動點問題、存在性問題、最值問題綜合在一起，讓不少學生感覺到困難，也成為中考二輪復習的重點.下面選取一道2015年中考題，幫助大家突破思路，并一起反思這類問題的解題關鍵：線段長度“參數化”，方程函數助求值.

一、考題及思路突破

（2）在x軸上是否存在點C，使得△ABC是直角三角形？若存在，求出點C的坐標；如不存在，請說明理由.

（3）過線段AB上一點P，作PM//x軸，交拋物線于點M，點M在第一象限，點N（0，1），當點M的橫坐標為何值時，MN+3MP的長度最大？最大值是多少？

思路突破：（1）比較基礎，只要找出兩個點的坐標就能確定直線解析式，而題目已給定點（0，4）；另外嘗試利用拋物線的解析式確定A點坐標為（-2，1），就能利用待定系數法明確直線解析式了.

（2）這里看似是一道以拋物線為載體的存在性問題，本質上與拋物線無關，因為A、B點都已被確定，本質上就是已知兩個定點，在x軸上尋找一點，使這三個點圍成直角三角形.這類問題分三種情況討論：分別以A、B、C為直角頂點討論，用一個參數式子分別表示AB、AC、BC，再結合勾股定理得出方程求解.

（3）又是一個動點P，要注意點P在“線段AB”上，即點P的橫坐標是有取值范圍的！待求的“MN+3MP”也很難找到轉化成某一條直線的模式或解題經驗，那就設法用一個參數分別表示這兩條線段的長，然后再轉化為一個函數表達式，分析最值.3a+9取到最大值為18.所以當點M的橫坐標為6時，MN+3PM的長度最大值是18.

二、解后反思

以下主要針對第（2）、（3）問展開反思，我們嘗試擺脫上面主要是基于“數”的角度解題的思維風格，意圖從“形”的角度更直觀地思考問題的結構.

可見，如果對拋物線的焦點、準線知識有所了解，對于數學“念頭”或直覺的獲得，那一切都只不過是邏輯的必然，情況就像小學的某些奧數應用題用中學的方程來處理一樣，知識對解題有指導作用.解題需要居高臨下，因為初中數學和高中數學在本質上是相通的，有些初中數學中的所謂難題，需要我們用“高觀點”來進行把握.

三、命題導向與教學之思

1.羅增儒．數學解題學引論［M］．西安：陜西師范大學出版社，2008.

2.賀信淳．從多角度審視一道中考試題說開去——談對初中數學教育現狀之惑［J］．數學通報，2013（12）.

3.鄔吉利．一類“偽坐標系”考題的評析與商榷［J］．中學數學（下），2014（8）．

4.邢成云．中考命題需要謹慎，一石三鳥當思量［J］．中學數學（下），2015（3）．H