美國中小學數學課堂中交流形式的述評

田果萍，張 驍

（1.山西大同大學數學與計算機科學學院，山西 大同 037009；2.大同市第一中學,山西 大同 037004）

一、引言

自2000年啟動旨在測量15歲在校學生如何為未來生活做準備的國際學生評價項目（Program for International Students Assessment,簡稱 PISA）以來，數學素養無論是其內涵還是重要性均得到全世界的認可。數學素養是課堂教學的目標之一，探索培養數學素養基本手段或方法無疑成為全球關注的對象。2000年全美數學教師協會重新修訂“學校數學教育的原則與標準”（Principles and Standards for School Mathematics）時詳細給出了交流的標準：說、聽、讀、寫所理解的數學詞語、符號與概念，并在數學概念的文字、符號、圖像與數字等多種表征語言之間流暢地使用多種表達形式。[1]而學生每天都沉浸在一個日常普通語言的世界中，數學語言唯一的場所是數學課堂，只有在數學課堂中學生才有機會針對數學進行聽說讀寫，數學課堂是學生有機會進行數學交流的唯一地方，一旦學生不能將讀寫帶入自己的數學課堂中，那么學生發展數學語言的技能與有效交流的機會就受到了限制。于是，交流就成為美國培養學生數學素養的關鍵性方法或工具之一。[2]本文通過對一些值得借鑒的案例進行述評，以期對我國中小學數學的教與學有所啟示。

二、交流的形式及案例分析

為了使學生能流利地使用數學語言，作為交流的不同形式——說、聽、讀、寫在數學課堂教學中應該有規律地進行。

（一）形式之一、二——說數學與聽數學

數學交流最普遍的形式可能就是說與聽。在教室里學生應該經常參與數學的討論，包括師生之間、生生之間的討論。因為一些學生靠聽來的學習效率最高，那么對他們來說聽數學當然是很重要的。進一步講，學生大聲地與他人討論數學概念要比僅僅通過自己思考解決一個問題更能說明他們對數學概念的理解程度：這會使他們對數學概念的理解程度要更深刻一些。這一點數學教師有著深刻的體會，即給別人解釋數學概念的時候才意識到自己的數學學習得到了進一步的加固。同樣這點也明顯地體現在學生身上，當給別人解釋這個數學概念時，學生往往才相信自己對此真正理解了，也只有此刻，學生才意識到自己對這個數學概念的理解原來并不是自己當初所想的那么牢固。

由于教師與學生都在聽數學，那么，學生怎么聽與教師怎么聽同樣重要。雖然聽作為一種交流的模式最初好像顯得很單調，事實上“聽本身就是一種說的方式，是一種探查與檢驗對數學理解的途徑”[3]，學生必須既聽所講的數學文本，還要聽表達文本的語調以及上下文（背景與歷史等）。如1999年Chappell&Thompson曾組織針對中學生表達自己思維的一系列項目，其中在比較0.3與0.30兩個小數時，學生認為小數點后面的0不起作用，這可能是學生從教師的講解中聽到的，而沒有理解文本本身所講的，因此會向其他同伴傳達錯誤的理解。[4]事實上，文本涉及對0.30中0的重要位置的詳細描述，這種細微的區分是必要的，因為學生在交流數學思維時必須堅持一致的原則。學生運用小數點后面的0來證明0.3與0.30相等的這一事實值得教師們關注，當快速陳述規則而進行概括時，教師自己可能已經理解了聚焦于促進概念發展的這些說明，可是諸如此類的概括并沒有簡化數學，反而導致了學生死記硬背規則而不去思考概念的深層含義，這一點非常重要。

[案例1]壘積木

1.用5—10塊積木背對著你的同伴壘一個圖形。

2.你的同伴按照你對那個圖形的描述去壘一個相同的圖形。

3.你的同伴只能根據你的指令去壘而不能問問題，實在要問，只能讓你重復指令，就像按下錄音機的后退鍵那樣。當對方完成后，檢查一下兩個圖形是否一模一樣，并找出所有不一致的地方。反思你所說的指令與對方理解了的指令中，是哪些導致了對方所壘出的形狀與你的不一樣？如何能使這些指令表達得更加清楚？這樣做的依據是什么？并把誤解公開，或者僅僅設想而不表達出來。

4.交換角色，重復實踐。

實驗結果表明：當這種行為被重復一次后，就發現學生們有了很大的進步，因為從第一次的嘗試中他們已經學到了如何正確地進行數學描述，如何更好地仔細聆聽。

這種行為重在交流，至于缺不缺乏數學能力并不要緊，不會因為缺乏數學能力而導致這種行為失敗。如果小學生一入學就采用這種交流方式并使其逐漸成為課堂教學的一個重要組成部分，那么，學生始終能得到教師的期待，對培養學生的交流意識是有益的。這對我國小學數學“綜合與實踐”活動課程的設計有所啟發。它不僅適合一般數學的內容，而且即使對于僅供娛樂與消遣的非數學設計，參與者均需要與他人進行準確的交流。但隨著學生數學技能的增長，有必要改變這種行為方式的教學內容。任何包含多步驟的數學過程都可以作為變式訓練，如解方程、分數的加減運算、幾何推理等，教師只需要把解決問題的各個步驟分別寫在一張卡片上，為解決問題，要求學生必須合作起來把卡片按合適的順序排列。在這一過程中，他們受到了鼓勵去彼此交流，正確地說數學、仔細地傾聽同伴的數學表達、理解數學語言。同時還懂得了在解決復雜問題的過程中合作的價值。

[案例2]打亂次序的數學變式訓練

教師的準備：確定一個多步驟的數學解題過程，準備一套卡片，每一張卡片上只寫一個步驟（每一步驟的理由既可以同步驟寫在同一張卡片上，也可以分開寫在另外一張卡片上）。

提示：

1.把卡片的順序打亂，并分發給各組的每個成員，不要把自己的卡片讓別人看。

2.通過讀卡片與描述卡片，嘗試著合作解決問題（即需要把解決問題的過程重新排列），如果排好了，請把卡片背面朝上。

3.如果確定已按正確的順序排好了，那么把卡片翻過來并檢查一下。

實驗結果表明：僅有39%的學生能圓滿完成任務。

這一數據令人深思：要想使學生在數學交流中表現出色，教師必須經常為學生提供與別人交流自己思維的機會，而且越早越好。經常采用這種方式，學生習慣了以小組的方式進行合作研究，可以變換成在一張大白紙上或幻燈片上完成任務，這種對同一概念的不同解構有益于全面理解這個概念。在未實行小組合作學習之前，對于那些不習慣數學寫作的學生來說，讓他們參與全班范圍內的活動是十分有用的。這種代替大量計算問題的寫作任務既適用于家庭作業，也適用于學生自我評價對同一個主題的不同概念之間的內在聯系。

（二）形式之三——寫數學

在數學學習中，寫有多種形式如期刊、日志、日記與注解等。1992年Countrman[5]認為起初寫數學自傳是一種有用的寫作策略，根據年級的不同要求學生只寫一兩頁或不規定篇幅的長短。經過這樣的訓練，學生有了反思自己在數學上成功或失敗經驗的機會，同時教師通過這些反思了解學生，了解可能會影響數學學習成績的態度等。如2000年Marderness[6]就通過寫數學自傳的方式去鑒定女生學習數學自信心的變化，即使這些高中生持續參加高考復習的數學班，但他發現先前產生的消極心理仍然起作用。對教師而言，為營造一個積極向上的班級學習氛圍，從學生的自傳中獲得的信息是很有用的。1989年Rose[7]認為教師寫出數學概念、過程與應用，讓學生用語言進行解釋并記錄下來能提高交流的流暢性，并且介紹了寫數學的兩種類型：記錄型與注釋型。記錄型的寫作是寫給如老師與同學一類的聽眾的，包括數學問題和術語問題、解釋和定義、報告和專業學術論文以及完整的項目。注釋型的寫作是為了學生自己用，比如為了探索，學生在紙上記錄數學思想方法，寫信或寫自傳的時候均可采用，而有些數學寫作如日記，依照自己的目的或聽眾的目的，兩者均可采用。

在實施中，考慮到組織時的便利性，不妨先嘗試注釋型的寫作，待學生有信心、有能力用自己的語言表述對數學概念與問題的理解時，再進行記錄型寫作的實驗。

[案例1]關于小數問題的寫作

1999年，Chappell&Thompson[8]認為典型的中等年級的學生，大部分能完成小數運算，但是否對小數概念本身有了概念性的理解仍然值得懷疑，于是給中學生出了以下幾道題目，要求他們寫下自己的理解。

1.某人用一個神秘的數字去除70而得到2.63。問：

（1）這個神秘數字比70大還是?。浚?）你是怎樣知道的？

2.請估計下列給出的4個除法算式，哪個所得的商最小？把你的思考過程寫下來。

4.9÷0.003，4.9÷0.03，4.9÷0.3，4.9÷3

3.利用5.68×2.34算式自編一道文字應用題。

結果顯示，關于第一道題目有相當一部分學生缺乏對除法中被除數、除數和商之間關系的正確理解。關于第二道題目，只有一小部分學生雖然能給出正確的答案，但不能靈活進行遷移。關于第三道題目，有一部分學生編的是加法應用題，一部分編的雖然是使用乘法的應用題，但缺乏實際意義（如寫2.34本書等），也有一部分學生寫出了合適的應用題，還有一些學生會解決教師給出的應用題目，但自己不會編題。

首先，這說明學生們對概念本身沒有很好地理解。事實上，許多計算題修改一下很容易作為寫作材料。當學生解釋自己的思維過程、寫下自己所編的應用題、對照或比較概念時，教師就會對學生學習中存在的困難進行準確定位，從而及時調整教學方法，比較容易地處理那些易引起概念誤解的問題，而不是等待通過獲取其他的評價去判定學生的不懂之處。

其次，寫作給師生之間提供了私下交流的機會，尤其對于那些課堂上不愿意發言的學生，寫作給教師提供了一種了解學生如何思考概念的途徑，通過閱讀學生的寫作使學生善于交流了，也使教師對學生所理解的與所混淆的概念了如指掌。

（三）形式之四——讀數學

讀數學可以認為是翻譯或轉化課本上的字詞并理解其含義。1974年，Kane,Byrne&Hater就指出：“為了交流，既要轉化又要理解。但是，學生往往存在閱讀困難，原因是學生缺乏對必要數學詞匯的根本理解，學生會轉化詞語但不理解其意義?！盵9]于是，在課堂中數學專有詞匯自然成為一個直接的話題?？墒?，學生仍然無法內化這些詞匯，除非將其作為課堂基本組成部分進行特別強調。事實上，在整個數學語言和數學學習領域，對詞匯問題的認識相當膚淺，1993年Miller[10]曾通過實驗描述過學生對詞匯知識的根本性缺乏。方法是讓澳大利亞八年級學生給出20個普通數學術語的定義，包括和、因數、差、直徑、圓、商、周長、余數、米、總計、角、量、數字、分母、除、分數、積、相等、平均數、減等。他們的老師認為學生應該知道這些術語，學生也認為這些是自己已經學會了的詞，還學會了圖表、符號、例子以及詞、圖表、符號與范例的綜合，但實驗結果顯示，被試學生平均只能給出4個正確的定義。如果在定義時允許使用圖表與符號，平均正確數上升為11個。這一研究結果表明：教師必須專門花時間幫助學生理解詞匯和符號，畢竟學生是通過語言構建自己的觀點，如果學生缺乏對重要詞匯的理解，就不能在理解的基礎上討論數學或讀數學。當然，數學語言有其獨特的困難之處，如有些詞在數學與英語中共用，但在各自文本中的意義不同。有些詞在不同的學科中共用，但各自的意義也不一樣，即使同樣在數學學科中，不同背景下有些詞的意義也不一樣，如median在幾何學中是中位線，而在統計學中是中位數。更有甚者，有些詞和符號在科學技術學中具有獨特的意義，如在計算中log是指以10為底的對數，ln是指以e為底的對數等。

下面介紹幾種在數學閱讀中教師如何幫助學生學習數學詞匯的策略：

1.策略一：將同一個詞在普通英文與數學意義之間建立聯系

如兩條路的交匯之處即intersection，在教學中可以理解為兩條線的交點或兩個數集的交集；集合A的補集AC，學生明白C是complement(補充)的首字母之后，理解起來就自然多了。語言學中的前綴、后綴和詞根在數學課中有不同的意義，曾有人針對米、進制或坐標做示范，然后讓學生盡可能寫出數學與普通語言中共用的同類詞，這種做法是很有見解的，因為這樣做能幫助學生意識到自己在普通語言中的知識有助于理解數學新詞匯的意義。

2.策略二：讀數學符號

在閱讀數學文本時，理解數學詞匯與符號是至關重要的，閱讀的過程是讀者帶著自己已有的知識去理解的自我建構的過程。教師要采取一系列有效策略去幫助學生有效地閱讀數學課本，而且這些策略還需要成為教學不可分割的部分。首先得明白學生學習數學符號時存在的一些困難，當學生將這些符號用文字語言表達出來時，困難就出現了。如7-2可以理解為7減2，7少2，7與2的差等多種不同的表達方式；有時為了好理解，有必要省略一些符號，如3·x常略寫為3x，而卻是。當x=-4時，求3x的值，有學生就會得到3x=3-4=-1，而不是理解為3×（-4）=-12；在書寫時又會面臨挑戰，如寫出12-4+5的簡便運算時，學生常常錯誤地寫為12-4=8+5=13，這樣就意味著12-4=13，說明學生并不理解上面兩個等式的意義是兩個式子具有相同的值。

3.策略三：讀標題

當前數學文本的主要內容是貫穿于文本中的題目或標題，教師需要將學生的注意力引向這些標題。因為當學生讀了一個標題時，就會產生一個與這個標題相關的問題，那么在閱讀相關內容時就會尋求這個問題的答案且不斷生成新問題。在這個過程中，教師要幫助學生意識到閱讀的目的，并且需要鼓勵學生監督自己的思維與理解過程。閱讀結束時，要讓學生總結、評價并討論所閱讀的內容以深化理解、彌補理解中的不足甚至消除對一些概念的誤解。學案教學法中的學案事實上就起到了雙重作用，既制訂了閱讀目標，又提供了一種總結方式。

4.策略四：讀圖表

圖表作為數學表征的一種形式，在空間中展示數學信息，尤其對擅長視覺理解與記憶的學生能起到獨特的作用。雖然圖片也有這一作用，但兩者還是有區別的，圖片包括了次要的細節，必須重新畫一個草圖，剔除掉一些干擾因素，才能提取出問題的結構，而圖表更加強調問題的結構。

例如關于圓的面積公式的學習，國內人教版小學課本的教學方法是轉化為長方形的面積去理解的。具體操作如下：將硬紙上的圓從圓心出發分成若干等份，剪開后，用這些近似等腰三角形的小紙片拼成一個近似的平行四邊形。然后借助想象，如果分的份數越多，每一份就會越細，那么，拼成的圖形就越接近長方形。[11]這種方法由于借助極限思想，總使得小學生不十分信服，原因是糾結在平行四邊形的邊到底是不是線段上。下面介紹一種在“國培計劃”項目培訓中使用的方法：

第一步，想象一個圓面，這個圓面是由一個個同心圓構成的，而且這些同心圓之間沒有縫隙，并與學生一同畫出。

第二步，想象用一把剪刀垂直向下沿一條半徑剪開的過程：當剪開第一個圓時，得到一個水平的線段，它的長等于這個圓的周長；當剪開第二個圓時，得到一個稍短點的線段，壓在第一個線段上，而且中間沒有縫隙；然后是第三個、第四個…每一個都比前一個稍短一些，而且彼此之間沒有縫隙，這樣剪下去，最終會得到一個等腰三角形，它的底等于圓的周長，高等于圓的半徑。

第三步，根據面積不變性，就可水到渠成地得出圓的面積公式。

這種辦法不再使小學生為最后形成的等腰三角形而糾結，當然，這需要教師自己創作圖表了。

三、結論

在數學課堂與數學素養的發展中，作為有效交流整體組成部分的聽、說、讀、寫，還存在著多種變式，教師需要整合這四部分去幫助學生很好地理解數學，利用語言的方方面面去培養學生數學語言的流暢性。學生能用多種形式交流和表征數學的時候就意味著他們對數學的理解產生了，也暗示教師要不失時機地關注這一刻，這種關注也幫助教師調整創新教學方法，從而學習就產生了。數學素養是課堂教學的目標之一，教師和學生應當同心協力通過交流擴展數學知識?！?/p>

[1]National Council of Teachers of Mathematics.Principles and standards for school mathematics（2000）[S].Reston,Va:348,67.

[2][4][5][6][7]Deniss R Thompson,Michaele F Chappell.Com?munication and Representation as Elements in Mathematical Lit?eracy[J].Reading&Writing Quarterly,2007，23（2）:179-196.

[3]Davis B.Mathematics teaching:Moving from telling to listen?ing[J].Journal of Curriculum and Supervision,1999(3):267-283.

[8]Chappell M F，Thompson D R.Modifying Our Questions to Assess Students’ Thinking[J].Mathematics Teaching in the Mid?dle School,1999（4）:470-474.

[9]Kane R B,Byrne M A，Hater M A.Helping Children Read Mathematics[M].New York:American Book Company.

[10]Miller L D.Making the Connection with Language[J].Arithe?matic Teacher,1993(40):311-316.

[11]人民教育出版社小學數學室.數學（第十一冊）[M].北京:人民教育出版社,2002.