數學聯結學習：提供數學學習“原動力”

朱 琦

（常州市白云小學,江蘇 常州 213000）

培養學生的數學觀念，是數學課程理念之一。影響學生數學觀念的要素是多方面的?！皩W生的知識、思維和觀念的縱向聯結如同科學結構的演進，相當于是一個從知識的籠統綜合到思維分化再到觀念整合的過程?！盵1]隨著數學課改的深入，知識、思維和觀念的聯結越來越受到數學教師的重視?！盎跀祵W學科特點的聯結學習”，即教師幫助學生“發現知識、思維和觀念間的聯結”；以知識網絡狀的結構存在于學生頭腦中；從而獲得知識、更新知識、精確知識，形成技能，逐步實現數學觀念的培養和對數學思想方法的感悟。但由于指導方法的缺失、教學策略的單一等原因，在數學概念教學中，割裂知識、思維和觀念之間聯系的現象還是屢見不鮮，學生的數學學習呈現被動狀態較為常見。如何恢復學生主動學習的“內在動力”，一個重要的策略就是讓學生嘗試“數學聯結學習”。

一、數學聯結學習的基本要素

數學的聯結學習是將數學看作是知識內部相互聯結的統一學科，如：數與形是緊密相連的；通過轉換數學知識的表征形式，發現相互聯系的數學主題；數學是一種與生活情境密切相關的知識體，只有將數學與學習者所體驗的具體情境聯結起來，數學學習才更有效。數學聯結包括：陳述性與程序式知識的聯結；日常中的生活數學；與其他學科融合中的數學應用，要用數學的思維模式解決其他學科中出現的問題。

數學聯結學習的四個基本要素：問題情境、概念、整合、應用。

1.問題情境。良好的問題情境不僅要能促成學生的深度理解，“為吸收或同化其他學習材料提供理想的框架”[2]，有利于學生逐漸從記住事實性知識走向把握數學的本質和核心意義；而且應當具有“變式”性，通過改變問題情境的表征形式，基本知識點的中心性保持不變，使學生在對各種問題進行思考的同時，加強對知識點本質的認識。

2.概念。概念是反映客觀事物本質屬性的思維形式。數學概念是反映現實世界空間形式和數量關系本質屬性的思維形式。概念不同于感知，感知是具體的、直接的，概念卻是抽象的、概括的。抽象性和概括性是概念不同于感知的重要特征。概念所反映的對象本質屬性的總和（即概念所反映的對象的質的方面）是概念的內涵；概念所反映的對象的全體（即概念所指的對象的范圍或集合）是概念的外延。概念形式抽象，內容豐富，概念與概念間又有著多種錯綜復雜的關系，通過數學聯結學習，可以達到建構概念的效果。

3.整合。在數學聯結學習中，陳述性知識與程序式知識的聯結，知識與思維聯結，思維與觀念聯結，數學與其他學科聯結，各種零散的知識可以進行整合，生成新的意義。

4.應用。數學知識只有在應用的過程中才能體現它的價值。學生能有效運用數學知識綜合解決問題的過程，其本質是將知識以結構化的方式貯存和提取，實現“知識”與“技能”的聯結。

二、數學聯結學習的基本類型

（一）問題情境下的“三段式”橫向數學聯結學習

問題情境下的橫向數學聯結學習從實踐操作層面上分為三個階段。

第一階段：由構建認知沖突引入新課的問題情境，激活知識點之間的相互聯結。教師在充分了解學生已有知識水平的基礎上，提出富有挑戰性的問題情境，使得學生在未知知識與已知知識、生活中的數學知識與數學學科內部知識之間產生認知沖突，從而初步形成知識與知識的聯結，調動學生的好奇心和求知欲。

案例1就是一個利用問題情境的提出進行知識與知識之間聯結的案例，聚焦于周長與面積教學的引入，體現知識與知識的聯結。

[案例1]張大爺要用36米的柵欄圍花圃，要請同學們幫助設計面積最大的花圃。同學們，你能用自己所學的知識幫助解決張大爺設計花圃嗎？為此，同學們的任務是：（1）畫出該情境的草圖；（2）清晰地描述出你怎樣利用所學知識來解決這個問題；（3）利用你所想到的方法解決這個問題。

在引入問題情境并提出任務的過程中，知識與知識間的聯結有：數學學科內部知識的聯結——周長和面積知識的聯結；數學概念與幾何問題的聯結；日常生活中的知識與數學知識的聯結——周長、面積知識在圖形設計中的應用。在這些知識聯結過程中，學生的好奇心、求知欲被激發，自主探究的動力系統得到加強，利于第二層次思維間的聯結。

第二階段：任務驅動的問題情境，促使思維與思維間的靈活聯結，調動學生獨立思考的積極性。

教師在學生“最近發展區”內提出問題，讓學生積極思維，進行思維與思維間的聯結。在這個過程中，教學強調學生對數學抽象知識或結合具體情境進行獨立探索。

案例2是一個利用問題情境的提出進行思維與思維之間聯結的案例。

[案例2]教師出示一幅圖（參見圖1），有4個相同的圓，半徑都是2厘米，你能提出什么問題？又該怎樣解決？

圖1

這個案例在學生提出問題后，首先提出自己的猜想，根據所有的已知信息對猜想進行檢驗。在提出簡單的問題被證實其正確性后，學生會對問題進行改進、完善和加工，從而提出更復雜的猜想。但復雜的猜想是否正確，就需要學生就所有的已知信息對新的猜想再次進行檢驗……如此周而復始，直到問題得到全部解決。在聯結學習中，這個完成自己提出的問題的過程首先是學生獨立思考的過程，更強調了學生的獨立探索。在學生進行猜想、證明猜想、推翻猜想、明確結果的過程中，聯結權重不斷發生著改變，學生的思維一直是處于積極聯結的狀態中。

第三階段：以更新觀念構建反思的問題情境，提升觀念與觀念間的更新聯結。這一階段主要是屬于生生、師生之間交流的階段，對問題的交流實質上包括了知識與知識的交流，思維與思維的交流。對于學生個體來講，或許是經歷發現問題、提出問題并探究問題后的觀念建構，也可能是在其他同學或教師的提示下獲得新知識或轉變新視角。

需要說明的是橫向聯結的三個階段是一個良性循環系統，不是相互孤立的。各種聯結都可能蘊涵在每一個階段中；每一個階段里，也不會只單純地發生一種聯結。

（二）創新意識下的縱向數學聯結學習

“思維到觀念的聯結本質上是量與質的聯結”，教師要引導學生對已習得的知識進行總結和評價，注重創新意識的有序性和階梯性的培養，只有在知識、思維和觀念相互聯結的過程中，才會使學生從思維的創新意識順利過渡到對觀念的創新意識。

1.以數學本質為基點，構造本源性問題，加強知識與思維聯結的緊密度，為學生提供思維創新的空間

本源性問題不僅應當是“追根溯源”的，為吸收或同化其他學習材料提供理想的框架，有利于學生進行知識的上位學習，而且應當具有“變式”性，可以是標準屬性變式，也可以是非標準屬性變式。本源性問題情境主要具有這樣一些功能：（1）建構知識的功能：即利用本源性問題能加深學生對相應數學本質的“問題群”進行深入理解和解釋。在知識和思維進行聯結時，本源性問題的提出有助于思維的發散，因而為思維的創新提供了更大的空間。（2）應用功能：“在知識與思維聯結的過程中，同時揭示了知識應用的條件?！盵3]當學生體會到數學知識能成功地解決現實問題，應用于現實中，那么學生在探索數學與現實的聯結過程中便會產生更加積極的情感。

2.以問題的程序性為基礎，構造“大問題”情境，加強思維與觀念聯結的相通度，為學生提供觀念創新的階梯

構建“大問題”情境，就是將若干個相互聯結的子問題（或步驟）或解決某個問題的完整思維過程整合成一個復雜的、難度較大的開發性問題。

下面是兩位教師對于《圓的認識》同課異構的教學案例：

[案例1]

教師A：在學習圓內直徑和半徑的相關聯系時，教師替各小組準備了圓片、直尺、圓規等研究材料，讓學生自己動手折一折，畫一畫，量一量，比一比，如果在研究中有問題的，可拿出信封里的“友情提示”參考。小組研究后，全班交流。教師根據學生給出的結論進行有條理的板書，并結合發現讓其他學生一起來體會。

[案例2]

教師B：在學習圓內直徑和半徑的相關聯系時，教師替各小組準備了圓片、直尺、圓規等研究材料并立即提出了3個研究問題：1.在同一個圓內，半徑和直徑是什么關系？2.在同一個圓內，有多少條直徑？有多少條半徑？3.圓是軸對稱圖形嗎？有多少條對稱軸？

這兩位教師都為學生學習圓的特點給予了幫助，前者提出“大問題”，采取大膽放手讓學生自己獨立探索，合作交流的教學方法，后者采用小步走的教學方法，教師設計好了學生研究的問題，讓學生圍著教師給的問題去研究。顯然，不夠開放的教學空間勢必給學生的發展產生制約。筆者對這兩節課感興趣的就是關于這個問題的開放處理，學生是否能根據自己的動手操作發現第二位教師所提出的所有問題，第一位教師給出的答案是肯定的，同時還有學生能發現超出教師預設范圍的其他問題或者還有其他體會。如在交流中就有學生提出“不論多大的圓，它都是有圓心的”這么富有個性化的理解和表達，這是學生靈感和智慧的外顯，是對數學學習的一種超越和真正的創造。課堂的生命力來自于對事件或事實的感受、體驗，來自于對問題的敏感、好奇，來自于情不自禁的、豐富活躍的猜想、假設、直覺，來自于不同觀點的碰撞、爭辯、啟迪、認同，更來自于探究體驗中時而山窮水盡，時而柳暗花明的驚喜和喜悅，這就是“大問題”引領下的開放課堂所呈現出的“不可預約的生成”。在思維與觀念聯結過程中，“大問題”的情境可以使學生在獨立思考、交流過程中，一步步由思維意識的創新提高到觀念意識的創新。

3.以問題的反思性為動力，引導學生對已獲取的知識進行總結、反思及應用，加強觀念與知識聯結的吻合度，為學生提供知識創新的契機

當學生掌握了一定的知識內容后，會因為知識的增多導致觀念的結構重組。此時教師應及時引導學生對已獲取的知識進行總結、反思及應用，可以采取學生個人總結并進行自評，再在小組內進行討論，進行組內成員評價。在此過程中，學生的知識結構會更清晰，更完善，為日后知識的創新提供保障。

數學聯結學習遵循數學知識的內在聯結方式，遵循學生數學學習的內在規律，提供給學生“學習動力”，促進學生的思維向更深處發展，從而提升數學素養?！?/p>

[1][3]劉娟娟.聯結學習對培養初中學生數學創新意識的影響[D]：[碩士學位論文].桂林：廣西師范大學,2004.

[2]賈林祥.認知心理學的聯結主義理論研究[D]：[碩士學位論文].南京：南京師范大學,2002.