培養(yǎng)幾何直觀能力應處理好四對關(guān)系

◎福建省寧德市蕉城區(qū)實驗小學 黃榮楣

培養(yǎng)幾何直觀能力應處理好四對關(guān)系

◎福建省寧德市蕉城區(qū)實驗小學 黃榮楣

培養(yǎng)學生的畫圖能力和習慣是學生幾何直觀素養(yǎng)形成的有效途徑之一。教師在教學中要喚醒學生的畫圖意識，處理好“演示”與“操作”的關(guān)系；追求畫圖的本質(zhì)，處理好“精細”與“簡約”的關(guān)系；變通畫圖的方法，處理好“普通”與“優(yōu)化”的關(guān)系；探尋邏輯關(guān)系，處理好“特殊”與“一般”的關(guān)系

幾何直觀；意識；本質(zhì)；方法；關(guān)系

幾何直觀是《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》提出的十大核心關(guān)鍵詞之一。培養(yǎng)學生的畫圖能力和習慣是學生幾何直觀素養(yǎng)形成的有效途徑之一。在教學中，許多教師已經(jīng)十分重視畫圖策略的教學，但往往忽視了一些細節(jié)的處理，弱化了幾何直觀能力的培養(yǎng)。在培養(yǎng)學生的幾何直觀能力時，應科學處理以下四對關(guān)系。

一、“我要畫”——喚醒畫圖的意識，處理好“演示”與“操作”的關(guān)系

畫圖能夠變“抽象”為“具體”，符合小學生以形象思維為主的思維特點，在解決一些問題時，起到“四兩撥千斤”的效果。但在實際的操作過程中，有的學生往往有嫌麻煩和畏難心理，視畫圖為“累贅”。如何克服學生的畏難心理，充分凸顯畫圖的價值呢？

1.適時借助圖形，讓學生充分體驗到畫圖策略的價值

在解決一些數(shù)量關(guān)系隱蔽的問題時，教師要讓學生充分體會到畫圖策略的獨到優(yōu)勢。以《解決問題的策略——倒推》一課中的習題為例：小軍收集了一些畫片，他拿出畫片的一半還多一張送給小明，自己還剩25張，小軍原來有多少張畫片？學生往往出現(xiàn)以下兩種解法：①（25+1）×2=52（張）；②25×2＋1=51（張）。到底哪種解法才是正確的呢？有的學生說可以把52代入原題來檢驗，但仍有部分學習能力中下水平的學生并不理解算式中為何要“先加1再乘2”。此時，教師引導學生逐步完成線段圖（如圖1所示），學生觀察思考后明確：這里的25張并不是總數(shù)的一半，只有把25張加上1張，才是總數(shù)的一半。因此，借助圖形可以直觀的判斷方法①是正確的。在上述例子中，盡管畫圖只是該問題的輔助策略，教師的適時引導畫圖卻讓學生更好的理解題意，進而得出答案。

圖1

2.讓畫圖成為一種解題的習慣

教師的示范畫圖固然能讓學生發(fā)現(xiàn)畫圖的優(yōu)越性，但有些教師為了節(jié)約課堂時間一味地演示，長此以往勢必越俎代庖，使學生產(chǎn)生對教師作圖的依賴，弱化其作圖能力。因此，教師更應積極引導學生主動地畫圖，從而實現(xiàn)對學生畫圖能力長效的培養(yǎng)。例如：“同底等積的圓柱體和圓錐體，圓錐體的高為48厘米，那么圓柱的高應是（ ）。①16厘米②48厘米③144厘米。”學生的解題錯誤率較高，選③的學生很多。學生在解答時，往往會假設(shè)出具體的數(shù)據(jù)進行舉例說明，此方法雖然可行，但過于繁瑣，也不利于發(fā)現(xiàn)圓柱高和圓錐高兩者之間的倍數(shù)關(guān)系。于是，教師引導學生畫這三個答案的示意圖（如圖2所示）。

圖2

通過畫圖，學生清晰看到，如果答案是③，那么圓錐的高度只有圓柱的三分之一，體積就更不可能相等了。學生從圖中發(fā)現(xiàn)在等底的前提下，如果要兩種圖形等積，則要讓圓錐的高是圓柱的3倍，而不是三分之一。否則，圓錐看上去特別小，根本不可能和圓柱的體積相等。有了直觀圖后，教師啟發(fā)學生進一步思考稍復雜的問題：在答案③中，圓錐的體積和圓柱的體積又有怎樣的關(guān)系？學生借助直觀圖，很快發(fā)現(xiàn)圓錐的體積圓柱的體積的九分之一。教師在最后引導學生反思整個解題的過程，突出示意圖對解決這個數(shù)學問題的重要作用，感受畫圖策略的價值。

在教學過程中，只要適時地把教師的演示和學生的動手畫圖相結(jié)合，并做到逐步放手，變“要我畫”為“我要畫”，使之內(nèi)化為利用圖形思考的意識和能力，學生的幾何直觀能力必定會逐步提升。

二、“我會畫”——追求畫圖的本質(zhì)，處理好“精細”與“簡約”的關(guān)系

畫圖作為常用的解決問題策略，分布在數(shù)學教學的各個領(lǐng)域，但在具體教學中，教師往往出現(xiàn)在處理上有失偏頗的現(xiàn)象：有的教師處理過粗，一開始就讓學生嘗試畫圖，缺乏必要的指導，學生或無從下手，或錯誤百出，影響了課堂教學效率，畫出的圖形，有的比例嚴重失調(diào)，阻礙了對題意的理解；有的教師則過于精細，從作圖工具、細節(jié)要求甚至美觀上都有嚴格要求。畫圖的本質(zhì)是幫助學生理解問題、分析問題，教師的指導應該從規(guī)范化作圖逐漸向畫草圖過渡，關(guān)注學生對數(shù)學本身的理解和內(nèi)化。以“用分數(shù)乘法解決問題”為例進行分析：“人的心臟跳動的次數(shù)隨年齡而變化。青少年心跳每分鐘約75次，嬰兒每分鐘心跳的次數(shù)比青少年多4/5，嬰兒每分鐘心跳多少次？”教師首先要讓學生弄清幾個小問題：①什么是單位“1”？②題目中的75次應該標在哪里？③應該把單位“1”平均分成幾份，另一個量相當于這樣的幾份？④多4/5應該標哪里？怎樣標？⑤檢查一下，所有的與解題有關(guān)的條件和問題是否都在圖里標上了等等。上述的問題可以讓學生先探究、討論并嘗試畫圖，再展示學生的作品進行評價、修正。在這個過程中，可以討論一些細節(jié)上的要求，比如通常先畫出單位“1”，這樣便于畫出另一個量；平均分可以借助刻度尺準確地分；畫出的兩條線段之間的左端點要對齊，多出的部分用豎線幫助對齊等。最后根據(jù)畫出的線段圖（如圖3所示），引導學生相互交流，說說各部分的意義。學生在把生活語言數(shù)學化，數(shù)學語言符號化的過程中，不斷加深對畫圖策略的感悟。

圖3

學生能準確規(guī)范地畫圖固然重要，但是如果過于精細化的要求，容易造成學生解題上的負擔，由此沖淡了他們對畫圖策略于解決此類問題獨特輔助價值的體悟，產(chǎn)生厭煩心理，反而棄之不用。因此，當學生畫圖比較熟練時，教師要適時放寬要求，允許學生畫草圖，或者局部畫圖。例如一道百分數(shù)應用題出現(xiàn)了“31%”“45%”這樣的兩個分率，此時，平均分顯得較為麻煩且無必要，就要允許學生用估計的方法，分別估計兩個分率的比例，較為合理地畫出草圖。再如，教學“環(huán)形的面積”一課時，出現(xiàn)了“在一個半徑為4.5米的圓形花壇周圍修一條寬2米的環(huán)形水泥路。這條水泥路的面積是多少平方米？”這一類的題目，此時學生最易錯或誤解的地方就是這里的“寬2米”指的是什么？它與花壇的半徑有什么關(guān)系？教師可引導學生畫出草圖并標上數(shù)據(jù)，從而找出所需條件。而至于學生要不要用圓規(guī)畫,用什么工具畫圓，畫得如何，只要不影響對題意的理解，就無需做太多要求。

三、“我巧畫”——變通畫圖的方法，處理好“普通”與“優(yōu)化”的關(guān)系

在絕大部分教師常用的解決問題的輔助方法中，線段圖是占主導地位的。新教材把畫圖作為一種策略，方式可以不僅僅局限于線段圖，還可以是畫平面圖、立體圖、分析圖、線段圖、思路圖等多種示意圖,甚至可以是非標準的原生態(tài)圖示。隨著學生對畫圖策略的逐步領(lǐng)悟、內(nèi)化，畫圖水平的逐步提升，教師適時關(guān)注畫圖方法多樣化，并引導學生進行優(yōu)化。

仍以“小軍收集了一些畫片，他拿出畫片的一半還多一張送給小明，自己還剩25張，小軍原來有多少張畫片？”這道題為例，有位教師在教學時，用長方形圖代替線段圖來表示題中的數(shù)量關(guān)系（如圖4所示）。這樣數(shù)量關(guān)系更為直觀清晰。在線段圖中，由于分段較多，“多1張”很容易讓學生錯看成是“送走的那一半”中的一部分。而長方形中“多1張”這個數(shù)量能讓人一眼就看出是屬于另一半的。此時，教師再追問：那么，你們看看，能否修改算式25×2＋1=51（張），使它正確？學生借助圖，發(fā)現(xiàn)25×2求出的是兩邊各缺1張時的畫片數(shù)量之和，于是列出了這樣的算式25×2＋1×2=52（張）。同時，也加深了對之前錯題的錯誤原因的理解。

圖4

四、“我懂畫外音”——探尋邏輯關(guān)系，處理好“特殊”與“一般”的關(guān)系

在解決問題時，幾何直觀不僅能幫助學生理解題意，還能有效地培養(yǎng)學生的直覺思維。我國現(xiàn)代數(shù)學家徐利治先生曾指出：“幾何直觀是借助于見到的或想到的幾何圖形的形象關(guān)系產(chǎn)生對數(shù)量關(guān)系的直接感知。”因此，在教學時，有時學生能借助直觀圖，跳躍性地思考問題，從而得出結(jié)果。例如：修一段長80千米的公路，已經(jīng)修了1/8，剩下的甲乙兩隊分別按3：4修完。乙隊修了多少千米？通過畫圖，有的學生直接把80÷2=40（千米）求出答案，而解釋算式時則說是“從圖上（如圖5）直接看出來的”。當教師讓學生介紹別的解法，這部分學生卻認為已經(jīng)解決問題了，不需要再花時間去明確數(shù)量關(guān)系。此時，解決問題成了學生的唯一目的，而本題的數(shù)量關(guān)系的分析，卻被學生所忽視。面對這樣的情況，教師在肯定學生的創(chuàng)新思維和直覺水平的基礎(chǔ)上，還要讓學生體驗到，這道題的快速解決和數(shù)據(jù)的巧合也有一定的關(guān)系。此時，教師可適時修改題中的數(shù)據(jù)（例如3：4改為2：3），讓學生去思考常規(guī)的解題方法，讓學生體驗到該方法的巧妙靈活，但又十分局限。解題時，既要關(guān)注畫圖帶來的特殊作用，又要真正地掌握一般的解題方法。

圖5

對學生幾何直觀能力的培養(yǎng)是一個長期的過程，需要教師在教學中用心關(guān)注每個細節(jié)問題，科學處理好以上四對關(guān)系，辯證施教。

陳志華）