角動量算符與軌道波函數

王建偉　齊海嘯

(喀什大學 物理與電氣工程學院， 新疆 喀什　844008)

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角動量算符與軌道波函數

王建偉齊海嘯

(喀什大學 物理與電氣工程學院， 新疆 喀什844008)

摘要稀土元素、錒系元素的價電子都處于f態,研究價電子軌道角動量問題是量子力學中重要的課題.在量子力學教科書中只給出了氫原子span算符共同本征矢的遞推公式，沒有計算出span的本征矢;只給出了氫原子的s、p和d電子span算符共同本征矢，沒有給出f電子span算符共同本征矢.本文運用表象理論和氫原子span本征矢的遞推公式不僅求出了氫原子f電子span算符的共同本征矢，而且還計算出氫原子f電子span的本征矢，并討論了它們的有關性質.這對于全面了解氫原子電子軌道運動的細節是有好處的，完善了教科書中的不足.

關鍵詞軌道角動量；本征矢；本征值；表象理論

1理論與方法

1.1　表象理論及Q表象

1) 表象理論

態和力學量的具體表示稱為表象.在表象理論中，主要解決態和力學量算符的矩陣表示以及不同表象間的相互轉換[5].

2)Q表象

1.2　波函數的矩陣表示

(1)

1.3　力學量算符的矩陣表示

(2)

由此得到一個結論： 算符在其自身表象中是一個對角矩陣，對角元素為其本征值.

1.4　氫原子軌道角動量算符及本征函數的遞推公式

(3)

(4)

(5)

2.1　氫原子f電子軌道角動量算符的本征值及其本征函數

Y3,3;Y3,2;Y3,1;Y3,0;Y3,-1;Y3,-2;Y3,-3.

2.2　氫原子f電子軌道角動量算符的本征矢在Lz表象中的表示

2.3　氫原子f電子軌道角動量算符在Lz表象中的矩陣表示

(I是一個7階單位矩陣)

可以得到：

Ly=

可以得到

在V1態測量Lx，可以得到Lx=3，相應的概率w=1.

其相應的概率為

4結語

參考文獻

[1]周世勛.量子力學教程[M].2版.北京：高等教育出版社，2009.52-58.

[2]曾謹言.量子力學： 卷I[M].北京： 科學出版社，2000:167-169.

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[7]蘇汝鏗.量子力學[M].2版. 上海： 復旦大學出版社,2002:104-109.

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物理實驗

THE ORBITAL ANGULAR MOMENTUM OPERATOR AND ORBITAL WAVE FUNCTION

Wang JianweiQi Haixiao

(Institute of Physics and Electrical Engineering, University of Kashgar, Kashgar, Xinjiang 844008)

AbstractValence electrons of both rare earth elements and actinides are in the f state. So study of orbital angular momentum problem of valence electron is an important topic in quantum mechanics. In quantum mechanics textbooks, only the recursive figure of common eigenvectors for2andzoperators of hydrogen atom is given, without the calculation of eigenvectors forxandy. The given common eigenvectors for2andzoperators only corresponds to the electrons on s, p and d orbitals of the hydrogen atom, not including the f orbital. In this paper, using representation theory and the recursive figure of common eigenvectors for2andzoperators, we not only calculated the common eigenvectors for2andzoperators of f electrons in hydrogen atom, but also gave the eigenvectors forxandyoperators of f electrons. Relevant properties of these eigenvectors are discussed. This is good for a comprehensive understanding of the details of the atomic orbital motion of the hydrogen atom, and an improvement of the deficiencies in the textbook.

Key wordsorbit angle momentum; eigenvector; eigenvalue; theory of representation

作者簡介:2015-05-11 王建偉，男，教授，主要從事量子力學與物理課程教學論的教學與研究工作.Wangjianwei-ks@163.com