不確定條件下的生產外包時機研究

摘 要：不確定條件下的生產外包具有期權特征。考慮價格與成本都具有不確定性，借助實物期權方法建立了生產外包決策模型，對外包時機進行了研究，得到了期權價值與外包閾值公式。通過數值模擬，分析了相關系數、波動率對閾值及波動率對期權價值的影響。

關鍵詞： 外包;實物期權;不確定性;外包時機

中圖分類號：F272 ? 文獻標識碼： A ? ?文章編號：1003-7217（2015）01-0059-05

一、引言

在全球范圍內，外包已經越來越占主導地位，因為它能給企業帶來競爭優勢^[1]。Shy和Stenbacka通過不同行業的大量例子說明外包的意義^[2]。外包的優勢主要有：降低成本，提高質量，提高生產率，減少產品設計時間^[3]。

Jeffery和Leliveld指出，大部分企業分析外包合同時，考慮凈現值方法^[4]。凈現值方法說明，只要外包比自制產生更大的收益時，企業應該外包。例如，Dayanand和Padman利用傳統凈現值方法研究外包合同的付款問題^[5]。

然而，生產外包作為企業的一項戰略決策，具有外包成本的不可逆性、未來收益的不確定性和外包時機的可延遲性等特征。因為市場環境的不確定導致了收益的不確定;不可逆指的是外包的成本大部分不可回收，屬于沉沒成本;外包時機的可延遲性指企業根據市場環境，可以選擇是否外包，何時外包等等，這賦予了企業選擇外包時機以最大化企業價值的柔性決策權利。對于生產外包上述特征，實物期權方法提供了一種很好的解決方案，彌補了傳統凈現值方法在市場不確定及經營柔性上的不足。

近年來，實物期權方法得到了廣泛的應用。Dixit和Pindyck在市場環境不確定和投資不可逆的情況下，運用實物期權方法討論了項目的最優投資時機^[6]。谷曉燕等基于實物期權理論， 考慮到研發項目投資的靈活性， 結合研發項目的階段性特征，構建了風險條件下研發項目多階段評價模型^[7]。戴曉鳳和李檢華引入Schwarz 的連續型實物期權模型，對中國軟件開發板塊的高科技上市公司進行價值評估，研究發現， 實物期權模型能較好地對高科技企業進行價值評估^[8]。

國內外學者分析外包時，主要分為從企業和供應商的角度出發，運用實物期權方法來考慮使自身價值達到最大的外包決策問題。

從企業的角度，許民利等將實物期權方法應用到國際生產外包決策中，假設匯率、產品價格、市場需求等服從幾何布朗運動，運用蒙特卡羅模擬求解模型^[9]; Yao等假設產品生產成本服從幾何布朗運動，分析了外包時機選擇問題^[10];Moon假設企業擁有外包的期權，外包前企業自制，企業尋找供應商的努力程度與外包后企業的利潤有關，分析了部分外包的時機選擇問題^[11];Benaroch等考慮服務外包的成本最小化問題，假設服務的需求量服從幾何布朗運動，企業擁有服務外包的期權，分析了服務外包的期權價值和外包時機選擇^[12]。從供應商的角度，Moon等供應商考慮了成本不確定情況下的外包合同的執行時間問題^[13]。

本文從企業角度出發，考慮現實中價格和成本都具有不確定性，并將參數對外包時機的影響進行分析。

二、問題描述及模型假設

考慮生產同質產品的兩個企業。其中一個企業，擁有將產品生產移交給另一企業（供應商）生產的期權。也就是說，企業擁有外包的期權，是否外包、何時外包由企業決定。假設企業時刻t生產單位產品的價格Pt和生產單位產品的成本Ct分別服從幾何布朗運動，如下所示：

dPt=μpPtdt+σpPtdZp

dCt=μcCtdt+σcCtdZc

初始單位產品價格、成本分別為P0=P，C0=C。其中μp，μc為漂移率，分別表示價格和成本變化的趨勢，σp，σc為波動率，分別表示價格和成本的不確定性，Zp，Zc為標準維納過程，且E（dZpdZc）=αdt。折現率為ρ，假設ρ>μp，ρ>μc。

因為供應商具有專業化、規模經濟、勞動力成本優勢等原因，供應商生產該產品具有生產成本的優勢，時刻t生產單位產品所需的成本為λCt，其中0<λ<1，它反映了兩個企業的單位產品成本的差異程度，λ越小，說明供應商的成本優勢越明顯。

與吳慶等類似，假設企業和供應商采用收入共享、成本共擔合同^[14]，企業外包后，將與供應商共享收入、共擔成本。為了激勵供應商，企業除了支付給供應商該產品的部分生產成本外，還給予供應商分享收入的權利。這樣，企業與供應商都有動力去執行外包合同。企業外包后，所得收益為SPt-mλCt，其中，S（0

財經理論與實踐（雙月刊）2015年第1期2015年第1期（總第193期）陳丹梅：不確定條件下的生產外包時機研究

三、企業外包的實物期權模型

企業在時刻τ（τ≥0）外包，外包前自制，令V（P，C）表示企業的價值，則：

V（P，C）=supτ {E（p，c）[∫τ0e-ρt（Pt-

Ct）dt+∫∞τe-ρt（SPt-mλCt）dt]}=

supτE（P，C）{∫∞0e-pt（Pt-Ct）dt+

∫∞τe-ρt[（1-mλ）Ct-（1-S）Pt]dt}=

pρ-μp-cρ-μc+supτE（P，C）∫∞τe-ρt[（1-

mλ）Ct-（1-S）Pt]dt=pρ-μp-cρ-μc+

supτE（P，C）e-ρτ（1-mλ）Cτρ-μc-（1-S）pτp-μp（1）

式（1）中，pρ-μp-cρ-μc表示不實施外包的情況下的企業價值;supτE（P，C）e-ρτ（1-mλ）Cτρ-μc-（1-S）pτp-μp表示，企業因為擁有外包的權利，給企業帶來的額外收益，即企業外包的期權價值，記作F（P，C）。于是， F（P，C）=supτE（P，C）e-ρτ（1-mλ）Cτρ-μc-（1-S）pτp-μp企業外包的期權F（P，C）是永久美式交換期權，它是一個看漲期權，企業在最優外包時刻，用自制收益去交換外包收益。因此，企業選擇最優的外包時機，使得其外包期權價值達到最大的同時，也使得其價值達到最大。

如Dixit和Pindyck^[6]所示，連續區域的貝爾曼方程為：

ρF（P，C）dt=E（dF） ?（2）

利用伊藤引理，將上式中的dF展開，整理后得到下面微分方程：

ρF=μpPδFδP+μcCδFδC+

12σ2pP2δ2FδP2+2ασpσcPCδ2FδPδC+σ2cC2δ2FδC2（3）

式（3）是關于P，C 的一階齊次方程，于是，企業的最優外包時機僅取決于單位產品成本與價格的比值。

令X=CP′ 可得：

F（P，C）=PF（1，CP）=Pf（X）（4）

將（4）代入（3），得到：

12σ2X2f″（X）+（μC-μP）Xf′（X）+

（μP-ρ）f（X）=0 （5）

其中，σ2=σ2C-2ασPσC+σ2P。

外包的最優時機是Xt=CtPt首次達到或超過閾值的時刻，即存在一個外包閾值，當Xt≥X*時實施外包。故最優外包時機t*=inf{t≥0;Xt≥X*}，其中X*表示外包閾值。當單位產品成本Ct與單位產品價格Pt之比上升到X*時，為了利用供應商的成本優勢，企業應該外包。

方程（5）解的形式為：

f（X）=A1Xβi+A2Xβ2（6）

其中，β1，β2分別為方程12β（β-1）σ2+β（μC-μP）+μp-P=0的兩根，

β1=12-μC-μPσ2+

μC-μPσ2-122+2（ρ-μP）σ2>1 （7）

β2=12-μC-μPσ2+

μC-μPσ2-122+2（ρ-μP）σ2<1 （8）

f（X）滿足下面條件：

limX0f（0）=0 （9）

式（9）表示，當X很小時，企業外包的期權價值為0。

于是，根據（6）與（9），得到

f（X）=A1Xβ1 （10）

此外，f（X）還滿足條件：

f（X*）=（1-mλ）X*p-μC-1-Sp-μP （11）

f′（X*）=1-mλρ-μC （12）

式（11）是價值匹配條件，表示在閾值X*處的期權價值，等于實施外包的期望收益;式（12）是平滑粘結條件，函數在閾值處連續且平滑，說明在閾值處外包，企業的期權價值達到最大。

由式（10）～（12）得出，外包閾值與外包的期權價值分別為：

X*=β1β1-1×ρ-μCρ-μP×1-S1-mλ （13）

F（P，C）=A1P1-β1Cβ1CP

（1-mλ）Cρ-μC-（1-S）Pρ-μPCP≥X* （14）

其中，A1=1-mλβ1（ρ-μc）X*1-β1。

四、模型結論分析

結論1：當單位產品成本Ct與單位產品價格Pt之比上升到X*時，企業應該立即外包;否則，企業應該等待更好的外包時機。

結論2：X*σ>0， X*α<0。

證明：因為X*σ>0， X*α<0（證明見[6]或直接求偏導數均可），所以X*σ>0。當σC>ασP時，σσC>0，所以X*σC=X*β1×β1σ×σσC>0; 當σC>ασP時，σσC<0，所以X*σC=X*β1×β1σ×σσC<0 。同理，當σP>ασC時，X*σP>0，當σP>ασC時，X*σP<0

。因為σα<0，所以X*α=X*β1×β1σ×σσC<0。

從結論2看出，X*σ>0，σ越大，綜合風險越大，閾值X*上升的空間越大，為了提高企業價值，企業更愿意在較大的閾值處外包。σC>ασP時，外包閾值隨σC的增大而增大;當σC<ασp時，外包閾值隨σC的增大而減小。當σP<ασC時，外包閾值隨σP的增大而增大;當σP<ασC時，外包閾值隨σP的增大而減小。價格與成本的相關系數越大，使得綜合風險降低，企業更愿意在較小的閾值處外包。

結論3：X*S<0，X*m>0，X*λ>0。