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葉勵城

中圖分類號：G632 文獻標識碼：B 文章編號：1002-7661（2014）24-119-03

1.學貴有疑，有問題，有動力，有希望

高三市質檢一結束，我們高二年級的許多同學便拿高三的質檢卷來做練習，我表揚了同學們的這種積極進取的學習精神。同學們的問題主要集中在解析幾何的這道直線過定點的問題：

已知動圓C過定點（1，0），且與直線x=-1相切.

（Ⅰ）求動圓圓心C的軌跡方程；

（Ⅱ）設A、B是軌跡C上異于原點O的兩個不同點，直線OA和OB的傾斜角分別為 和 ， ①當 = 時，求證直線AB恒過一定點M；

②若 為定值 ，直線AB是否仍恒過一定點，若存在，試求出定點的坐標； 若不存在，請說明理由.

有8個同學在晚自習的時候問同樣的這個問題。恰好圓錐曲線部分剛學完正好處于復習階段，于是我準備將類似問題做一個小結。當天晚自習就布置任務，要求全體同學都要完成這道題目，并且安排了一些問題讓同學們思考。

2.觀察

觀察是有目的、有計劃、比較持久的知覺。它是以視覺為主，融其他感覺為一體的綜合感知，是知覺的一種高級形式。觀察中包 含著積極的思維活動，因此，人們也把它稱為思維的知覺。觀察對于學習的重要性不言而喻，沒有觀察就沒有一切，一切問題的解決都是從觀察開始的，首先要做的是讓同學們學會觀察。

師：我們知道直線方程的幾種形式，對于直線 恒過定點是什么含義呢？

生：k與b之間有聯系，可以用一個字母k或b表示，令其前面系數為0消除掉其影響就得到定點了。

師：很好，如果k與b都帶著呢？它們之間的關系又不能明確表述出來。

生：那就依據直線系方程理論使k與b前面系數均為0即可。

師：很好，誰能上前面來展示下我們的作業。

同學A在投影儀上展示其解答（解法1）：

解： （Ⅰ）方程為y2=4x.

（Ⅱ）設A（x1，y1），B（x2，y2）.

由題意得x1≠x2（否則 ）且x1x2≠0，則

所以直線AB的斜率存在，設直線AB的方程為y=kx+b，

則將y=kx+b與y2=4x聯立消去x，得ky2-4y+4b=0

由韋達定理得 -------※

當 = 時， 所以 ，

所以y1y2=16，又由※知：y1y2= 所以b=4k；因此直線AB的方程可表示為y=kx+4k，所以直線AB恒過定點（-4，0）.

②當 為定值 時.若 = ，由①知，

直線AB恒過定點M（-4，0）

當 時，由 ，得 = =

將※式代入上式整理化簡可得： ，所以 ，

此時，直線AB的方程可表示為y=kx+ ，

所以直線AB恒過定點

所以當 時，直線AB恒過定點（-4，0）.，當 時直線AB恒過定點 .

師：很好很漂亮的解答，討論的夠仔細，標準解答也不過如此，有其他解法嗎？

同學B在投影儀上展示其解答（解法2）：

解： （Ⅰ）方程為y2=4x.

（Ⅱ）設 ，

則直線AB： 即： ，

①當 = 時， ，所以

直線AB： ，所以直線AB恒過定點（-4，0）.

②當 為定值 時，若 = ，由①知，線AB恒過定點M（-4，0）

當 時，由 ，得 = =

，直線AB：

所以直線AB恒過定點

所以當 時，直線AB恒過定點（-4，0）.，當 時直線AB恒過定點 .

3.嘗試

嘗試，是做別人不敢做的事。嘗試，是勇氣，是去超越自我的勇氣； 嘗試，是一種意志，要嘗試，除了勇氣還要意志，有意志才能嘗試，才能做得更好。嘗試，讓我們明白了勞動的可貴，明白了什么是快樂！

師：同學們給出的解答都很好，很漂亮，現我們玩一個小游戲，假設你是命題者，請你對此題稍加“加工改造”，并給出其解答。

嘗試1：同學C展示：在不改變所有題目的條件下，分別設OA，OB的斜率為 ，若 ，則直線AB恒過定點 。證明如下：

借助解法2的一些結論，若

直線AB為： ，直線AB恒過定點 。

師：很好，不過我這里有個問題， 時情況如何？

沉默一會后，有同學回答了： 時兩傾斜角互補， ，此時直線即： ，這些直線都與X軸垂直，之間相互平行。

師：對了，這時候這些直線不過定點，但是定向。

嘗試2：同學D展示：在不改變所有題目的條件下，分別設OA，OB的斜率為 ，若 ，則直線AB恒過定點 。證明如下：

借助解法2的一些結論，

直線AB為： ，直線AB恒過定點 。

師：這里一定要有 這個條件的，否則沒有意義。

嘗試3：同學E說：在不改變所有題目的條件下，不妨設 當 時，直線AB恒過定點（4，0）. 當 時，情況不知道。同學E很不好意思。

師：沒關系，做到哪里算哪里，拿出來讓同學們看一下。展示如下：

當 時， 所以 直線AB為： ，直線AB恒過定點（4，0）。

當 時， ，所以

直線AB為： ，算到這里算不下去了。

師：為什么算不下去了呢？因為約束條件不夠強，也就是說當 時不足以使直線過定點，并且也不能保證直線定向。

嘗試4：同學F說：在不改變所有題目的條件下，若 ，則討論無法進行，我弄不清楚。同學們都睜大了眼睛，想看看同學F下一步怎么做。

若 ，則

即： ，當 時，由 得

此時， 有兩個值從而直線AB： ，直線是什么樣子我弄不清楚了。同學們也都很疑惑了。

師：你看看你的操作多么規范，思維多么嚴謹，討論多么清晰啊！呵呵。。。只差最后一小步，直線一定過兩定點 中的一個。

嘗試5：同學G：設 是拋物線 上任意一點，過M做AM，BM交拋物線于A，B兩點，當 時，直線AB過定點 。仿同學B的解法如下：設 ，

則直線AB： 即： ，

所以 ，即

直線AB為： ，

直線AB恒過定點 即 。

師：這個同學的思路寬，視野開闊，同學G的做法還可以推廣：當拋物線是 時，定點為 ，同學們也可以對嘗試1，2，3，4及題目進行類似5的嘗試或推廣。

4.更進一步

師：同學們做了一些很了不起的工作，也基本能弄懂直線恒過定點的本質了，下面檢查一下同學們學習效果。

練習1：（07山東理）1.已知橢圓 的中心在坐標原點，焦點在 軸上，橢圓 上的點到焦點距離的最大值為 ，最小值為 .

（Ⅰ）求橢圓 的標準方程；

（Ⅱ）若直線 與橢圓 相交于 ， 兩點（ 不是左右頂點），且以 為直徑的圓過橢圓 的右頂點，求證：直線 過定點，并求出該定點的坐標.

練習：2：（12福建理）如圖，橢圓E： 的左焦點為 ，右焦點為 ，離心率 。過 的直線交橢圓于A、B兩點，且△ 的周長為8。

（Ⅰ）求橢圓E的方程。

（Ⅱ）設動直線l：y=kx+m與橢圓E有且只有一個公共點P，且與直線x=4相較于點Q。試探究：在坐標平面內是否存在定點M，使得以PQ為直徑的圓恒過點M？若存在，求出點M的坐標；若不存在，說明理由。

5.不同的風景同樣的心情

因為一些現實的原因，學校的生源狀況總會出現了一些變化。老師們教學的時候可能要有一些變化。筆者認為以下幾點是重要的：

1，教會學生學習的方法，學會學習。記得一位資深老教師在一次給學生上課時對課堂學習的要求作了最精辟的解釋：第一，想到；第二，會寫；第三，寫的清楚，明白。

2. 教會學生學會面對困難，解決困難。如何面對困難，面對困難時應當拿出一個什么樣的態度，這都是我們要做的。青春沒有失敗，今天不會，明天再來。在高中階段我們更注重對人的培養，如何培養人？給學生一顆堅強勇敢的心。

3，給學生愛，教會學生對自己的行為負責。陽光學校的理念是全員育人，全程服務，。。。。。。只有更多的關心與愛護你才能更多的了解學生，學生才會更多的理解你。

4，教會學生學會交流合作互相學習。兩個人把兩個蘋果互換，每個人只得到一個蘋果，而兩個人互相交換思想方法，那么每個人都能得到兩種思想方法。