通過總結提高數學解題水平

周洪新

摘 要：布魯納認為探索是數學教學的生命線，只有不斷的探索，才能有不斷的發現。作好解題總結對學生不懈探求精神的形成，解題水平的提高以及發散、定勢兩種思維品質的培養都是大有益處的。

關鍵詞：總結；解題；思維

中圖分類號：G632 文獻標識碼：B 文章編號：1002-7661（2014）24-192-01

一個完整的解題方案一般而言應分為四個步驟：1、審請題意；2、擬訂計劃；3、實現計劃；4、回顧。本文擬對第四個步驟，也就是解題后的總結談一點認識以及做法。

美國著名數學教育家G·波利亞說過：“一個好的教師應該懂得并且傳授給學生下述看法：沒有任何一道題是可以解決得十全十美的。總剩下些工作要做，經過充分的探討、總結，總會有點滴的發現，總能改進這個解答，而且在任何情況下，我們總能提高自己對這個解答的理解水平。”在現代控制論中，好信息反饋視作整個系統工程中必不可少的一環，而解題總結就是一種很好的信息反饋，它是解題→提高解題水平→培養數學能力→優化思維品質這一系統工程中不可缺少的重要一環。在教學實踐中，我們發現許多學生缺乏對解題程序的理解，當他們得到問題的一種解是就立刻獲得了心理上的滿足，從而導致心理封閉，忽視了解題后的總結工作。殊不知，這與在解題過程中應該得到的有效益的東西失之交臂了。

解完一道典型題后，對題目本身結構及解題全過程進行認真地回顧，以期達到舉一反三、由題到發、由題及類，從而擴大解題效益的目的。一般可從以下四方面總結。

1、運用了的基礎知識和基本技能，易出錯誤的原因何在？如何防止？

2、運用的思維方法、數學思想、解法有無規律可循、其幾何解釋。

3、難點、關鍵突破的方法，其余方法擇優選取。

4、題目的條件和結論的結構特點。運用這些特征是否可以將條件加以改變，結論加以引伸，題型加以更新，解法加以推廣？下面舉例說明。

例 求數列：1，11，111，…， ，…前n項和。

解：這是一道常見題，對通項做變換得

這時教師應不失時機的引導學生做總結一如下：

解此題運用了何種方法？運用了哪些基礎知識？題目結構有何特點？你能否加以變化舉出一例？（問題一）

這些富有啟發性的問題提出后，學生紛紛動手動腦，積極思考，例子層出不窮，我選用了其中比較典型的一個。

求和：

問題給出后立即有學生給出解法：

教師進一步提問：能否就此滿足，還有其他解法嗎？（問題二）在學生思考的基礎上，師生共同給出總結二：

解法二：

解法三：（此法稱為補法）每一項加1得：

。

解法四：（此法稱為拆項法）

解后問：四種解法中何種解法最優？（問題三）讓學生自由討論后，教師給出總結：從簡潔性看，解法1最簡，但思維價值不大；從創造性來看，解法3其思維價值高于解法1而又不失簡捷，故解法3最優。

解完題后，對題目做開拓性思考，引申出新題和新解法，有利于培養學生的發散性思維，而開啟創造力，提高解題能力的關鍵恰在于發散思維能力的培養。教師接著提出問題四：

觀察前兩例各項有何特點？能否將其推廣？其一般形式是什么？其最簡解法是什么？

問題提出后，學生思維頓時活躍起來，交頭接耳，議論紛紛，教師因勢利導給出總結四：

各項位數上的數字相同，其一般形式是： ，其最簡解法為：提取 后轉化為首例來解決。結果為： 。

接著將、思維再次發散，提出問題五：各項位數上有兩個不同數字能否求解呢？

例求 前n項和。這時，教師啟發學生發揮定勢思維的作用，聯想舊發，設法轉化，容易得到三種不同解法。得到結果為： （過程略）。

“探索是數學教學的生命線”只有不斷的探索，才能有不斷的發現。

通過對一個例題縱橫兩方面的深入挖掘，步步總結，無論在題型變換上——一題多變，由題及類，由特殊到一般；還是在思維訓練上——先定勢，后發散，再定勢，都獲得了令人滿意的結果。使我們對這一類求和問題有了比較深刻、比較全面的了解和把握。有興趣，有余力的同學在此基礎上還可以繼續探索下去。當你一旦成功時，便會享受到一種別人無法體會到的無窮樂趣。