通過對比進行學習：多重樣例變異性與先前知識的作用*

郭建鵬 楊凌燕

(1廈門大學教育研究院, 廈門 361005) (2美國愛荷華大學教育學院, 愛荷華 52242)

1 問題提出

“樣例學習”一直都是教育心理學研究的一個主要課題, 尤其在數學和科學領域得到了許多關注(Atkinson, Derry, Renkl, & Wortham, 2000)。大多數樣例學習研究表明, 多重樣例的學習效果要好于單個樣例, 而且應該并排對比多重樣例而不是依次學習每個樣例(Alfieri, Nokes-Malach, & Schunn, 2013;Gentner, 2010; Holyoak, 2012; Star et al., 2015)。這是因為通過對比某個概念或原理的多重樣例有助于發現類推物之間共同的、深層的結構特征(如對比心臟和水泵), 發展辨別性知識, 促進推理性編碼和圖式抽象, 并改善日后的遷移和問題解決(Namy & Clepper, 2010; Oakes & Ribar, 2005;Schwartz & Martin, 2004)。Gentner (2005)指出, “對比是一種基本的學習過程, 能夠促進深層的聯系性學習以及理論性解釋的發展” (p.251)。優秀教師善于在數學教學中使用對比來深化學生的認識(Lampert & Cobb, 2003)。很多國家的數學改革也都大力提倡通過樣例對比進行教學(e.g., Australian Education Ministers, 2006; National Council of Teachers of Mathematics, 2000)。美國教育部更是將其當做提高學生數學問題解決能力最好的方法之一(Star et al., 2015)。

然而, 并不是所有的樣例對比都同樣有效(Gick & Paterson, 1992; Quilici & Mayer, 1996;Rittle-Johnson, Star, & Durkin, 2009; 楊凌燕, 郭建鵬, 2014)。對比的有效性主要受到多重樣例變異性和學生先前知識的影響, 但是已有研究對于這些影響并未得出一致的結論。首先, 研究者還不明確多重樣例之間多大程度的相似或相異才能促進學習(Renkl, Stark, Gruber, & Mandl, 1998; Rittle-Johnson& Star, 2009)。樣例一般被分為表面(無關)特征和結構(相關)特征(Gick & Holyoak, 1983; Holyoak &Koh, 1987; Paas & van Merri?nboer, 1994; Reed,1989; Ross, 1997)。根據 Holyoak 和 Koh (1987)的定義, 表面特征與學習目標無關, 如名稱、對象、數字、表面概貌等; 結構特征與學習目標相關, 如數學法則、原理、解法等(Quilici & Mayer, 1996; Ross& Kilbane, 1997)。比如, 一個蘋果是水果這個概念的一個樣例。蘋果的形狀、大小和顏色是這個蘋果的表面特征, 而可食用性則是這個蘋果的結構特征。樣例變異性是指多重樣例之間在表面特征和結構特征上的相異或相似程度。關于多重樣例表面和結構特征之間的相異度應該如何, 研究者有不同的發現。一方面有不少研究者認為具有不同表面特征的正例能夠幫助學生注意到結構特征(而不是依賴于表面特征), 促進基于結構的圖式建構并形成對概念(Hammer, Bar-Hillel, Hertz, Weinshall, &Hochstein, 2008; Merrill & Tennyson, 1978; Ranzijn,1991)或 者 原 理 (Paas & van Merri?nboer, 1994;Quilici & Mayer, 1996; Rittle-Johnson & Star, 2009;寧寧, 喻平, 2010)較為準確的理解。如果學習表面特征類似的樣例, 學生可能會把表面特征認為是相關特征, 從而影響圖式建構和未來的問題解決(Quilici & Mayer, 1996; Reed, 1989)。另一方面也有研究得出了相反的結論, 認為表面類似的樣例會幫助學生注意到深層的結構共性并建構圖式; 高變異的樣例反而會讓樣例的結構特征更難以被發現(Namy & Clepper, 2010; Richland, Holyoak, &Stigler, 2004; Ross & Kennedy, 1990)。還有研究發現結構特征變異的多重樣例比表面特征變異更有利于學習(Curry, 2004; van Dooren, de Bock, Hessels,Janssens, & Verschaffel, 2004; 張奇, 趙弘, 2008)。

其次, 學生先前知識對樣例對比學習的影響也不明確。主要存在以下幾種相互矛盾的結論：(1)先前知識低的學生無法受益于樣例對比, 尤其是復雜不熟悉的樣例(Holmqvist, Gustavsson, & Wernberg,2007; Schwartz & Bransford, 1998); (2)先前知識高的學生應該對比學習高變異樣例, 而先前知識低的學生應該對比學習低變異樣例(Gro?e & Renkl,2006, 2007; 刑強, 莫雷, 2005); (3)先前知識高的學生可以對比學習任何樣例, 而先前知識低的學生只能對比學習高變異樣例(Quilici & Mayer, 1996); (4)學生的先前知識與樣例變異性之間不存在交互作用(Renkl et al., 1998)。可以說, 多重樣例應該如何變異？應該對比樣例的什么特征？適用于什么學生？等等這些問題尚未得到解決(Guo, Pang, Yang,& Ding, 2012; Rittle-Johnson et al., 2009)。

此外, 已有研究大多數是實驗室研究, 很少基于真實課堂環境, 以學齡學生為對象, 探討多重樣例對比在數學學習中的作用(Rittle-Johnson & Star,2007, 2009; Star & Rittle-Johnson, 2009)。為此,Rittle-Johnson等人進行了系列課堂研究, 探討多重樣例變異性和學生先前知識在學習解一元一次方程中的作用。Rittle-Johnson和Star (2007, 2009)指出學習解方程具有兩個關鍵特征(見表 1)：問題類型和解法, 并比較了三種樣例變異類型的學習效果：(1)對比相同方程類型的不同解法; (2)對比不同方程類型的相同解法; 以及(3)依次學習每種解法,但沒有進行對比。他們發現第一種樣例的學習效果最好。Rittle-Johnson等人(2009)進一步探討學生關于解法的先前知識是否會影響對比學習的有效性。結果表明, 先前知識較高的學生更能受益于對比上述第一種變異類型的多重樣例, 而先前知識較低的學生更適合學習其他變異類型的樣例。

在 Rittle-Johnson等人的研究中, 學生只是對比相同方程類型的不同解法或者對比不同方程類型的相同解法; 只有解法或方程的問題類型單獨發生變化。由于解法和問題類型都是學習解方程的關鍵特征, 因此有必要進一步研究這兩個特征的變化在學習解一元一次方程中的作用。Guo, Yang和Ding (2014)拓展了該研究, 他們設計了四種變異類型的樣例：(1)先對比類型和解法的單獨變異, 最后對比兩者的同時變異; (2)只對比解法的單獨變異,然后對比兩者的同時變異; (3)只對比類型的單獨變異, 然后對比兩者的同時變異; 以及(4)先對比類型的單獨變異再對比解法的單獨變異, 但沒有對比兩者的同時變異。263名初一下學期學生通過三個階段對比學習各自的樣例。結果表明, 對于先前知識低的學生, 后三種變異類型的樣例學習效果都顯著好于第一種。對于先前知識高的學生, 四種變異類型的樣例沒有顯著差別。Guo等人(2014)對研究結果的解釋是, 學生在對比兩個關鍵特征的同時變異之前, 需要足夠的時間和機會去單獨審辨這兩個關鍵特征。否則當他們面對太多變異的時候就容易混淆, 無法審辨出關鍵特征, 從而影響學習結果。

Guo等人(2014)的解釋是否正確需要進一步實證研究的驗證。也就是, 如果在教學干預中給學生提供較為充分的樣例學習機會以及教學支持, 確保學生在單獨變異階段能夠充分審辨出每個關鍵特征,最后再讓學生經驗兩個關鍵特征的同時變異, 這種方法是否更有利于學習？Guo等人(2014)研究的另一個不足之處在于, 被試在參加實驗之前已經學過一元一次方程的常規解法。因此學生的先前知識較高,研究結果也可能會受到教師先前教學方式的影響。

針對這些不足, 本研究在Guo等人(2014)研究中四種樣例變異類型的基礎上, 增加了樣例對比的數量與教學解釋, 以確保學生能夠充分審辨出每個關鍵特征。而且選取尚未正式學過該內容的初一上學期學生為被試, 從而更為可信地考察樣例不同類型的變異在學習解一元一次方程中的作用。研究表明, 在樣例學習中提供教學支持對于學習具有正面的作用(Richey & Nokes-Malach, 2013; Wittwer &Renkl, 2010)。尤其是對于初學者而言, 教學解釋能夠減輕樣例對比時產生的認知負荷, 幫助他們注意到對比的關鍵特征和重要信息, 并深化樣例對比所獲得的知識。Wittwer和Renkl (2008)在分析了已有關于教學解釋的研究后發現, 有效的教學解釋需要基于學生的先前知識, 聚焦于原理或概念性信息,并且能夠促進學生主動建構或應用知識。根據這些原則, 本研究在多重樣例對比中設計了相應的教學解釋以幫助學生對比審辨出關鍵特征。我們預期增加教學支持會影響Guo等人(2014)研究中四種樣例變異類型的有效性。本研究的第一個問題是：先對比類型和解法的單獨變異再對比兩者的同時變異,這種變異類型是否比其他三種變異類型更能促進學生學習？相應的實驗假設是：由于學生在對比兩個關鍵特征的同時變異之前已經能夠單獨審辨出每個關鍵特征, 因此“先單獨變異再同時變異”這種變異類型的學習效果要好于其他三種類型。本研究的第二個問題是：四種變異類型不同的教學效果是否受到學生先前知識的影響？相應的實驗假設是：具有不同先前知識的學生由于審辨到不同的關鍵特征, 因此在四種變異類型上的學習效果也不同。

2 方法

2.1 被試

本研究的被試為廈門市一所普通中學的260名初一學生, 該中學的教學質量在全市處于中上水平。學生來自 6個班, 平均年齡 13.7歲(范圍11.6～15.7歲)。被試中有5名學生沒有參加前測, 4名學生沒有參加后測, 因此最后的結果分析中沒有納入這9名學生的數據。學生在參加實驗之前已經學過乘法分配律、化簡等知識, 但還沒有學過一元一次方程的解法。

2.2 實驗設計

實驗采取前測–干預–后測的設計。前后測用來測量學生在解一元一次方程上的程序性知識、變通性知識和概念性知識。為了探討樣例不同變異類型和學生先前知識對學習解方程的影響, 采用4(變異類型)×2(先前知識)二因素被試間實驗設計。我們設計了4種變異類型的多重樣例：學生通過對比不同變異的樣例學習解方程, 他們(1)先對比類型和解法的單獨變異再對比兩者的同時變異(類型_解法_類型+解法), (2)先對比解法的單獨變異再對比類型和解法的同時變異(解法_解法_類型+解法), (3)先對比類型的單獨變異再對比類型和解法的同時變異(類型_類型_類型+解法), 或者(4)對比類型和解法的單獨變異但沒有對比兩者的同時變異(類型_解法_類型/解法)。根據在前測中是否使用簡便方法解方程, 把學生被分為簡便方法組和無簡便方法組。簡便方法組的學生對解法這個關鍵特征的審辨要好于無簡便方法組的學生。實驗以學生在解一元一次方程上的程序性知識、變通性知識、概念性知識和整體表現作為因變量。

通過比較類型_解法_類型+解法與解法_解法_類型+解法兩個實驗條件的學習效果, 可以了解問題類型單獨變異的作用; 通過比較類型_解法_類型+解法與類型_類型_類型+解法兩個實驗條件的學習效果, 可以了解解法單獨變異的作用; 通過比較類型_解法_類型+解法與類型_解法_類型/解法兩個實驗條件的學習效果, 可以了解問題類型與解法同時變異的作用。

學生被隨機分到四組進行學習：類型_解法_類型+解法組(n = 63)、解法_解法_解法+類型組(n =62)、類型_類型_類型+解法組(n = 63)、或類型_解法_類型/解法組(n = 63)。學習階段包括3天3節課的時間, 學生接受教師的講授, 學習各自的樣例組合材料, 回答材料的問題并完成練習題。

2.3 實驗材料

2.3.1 學習內容

本實驗選取解一元一次方程為學習內容。根據Rittle-Johnson和Guo等人的研究(Guo et al., 2014;Rittle-Johnson & Star, 2009), 學習解一元一次方程有兩個關鍵特征：問題類型和解法。如表1所示, 一元一次方程有三種問題類型(值), 每種方程都可以用兩種方法(值)解答。常規的方法是先去括號再求解, 這是最常見的解方程的方法。簡便的方法是把諸如(x+3)的式子看成是一個復合變量進行運算再求解。與常規方法相比, 簡便方法由于所用的步驟和運算更少, 因此更為有效和容易。

Rittle-Johnson等人(2009)發現, 只有 20%的初一和初二年級學生能夠正確使用常規方法解方程,4%嘗試過使用簡便方法, 41%的學生在前測中從未使用代數的方法解方程。即使教師教過, 也只有20%的題目是使用簡便方法解答的。為了完全掌握解方程, 學生需要同時審辨問題類型和解法這兩個關鍵特征。也就是他們必須理解有三種類型的方程,每種方程都可以使用兩種方法進行解答。

表1 解方程的兩個關鍵特征和值

2.3.2 學習材料

圖1 三種變異類型的對比

本實驗設計了4種不同類型的樣例組：對比類型、對比解法、對比類型和解法、對比類型或解法。這四組之間的主要區別在于樣例之間的配對。如圖1和表 2所示, 在對比類型組中, 每對樣例包含的兩個方程問題類型不同, 但是解法相同; 問題類型這個關鍵特征發生變化而解法這個關鍵特征保持不變。在對比解法組中, 每對樣例包括的兩個方程問題類型相同, 但是解法不同(常規和簡便); 解法這個關鍵特征發生變化, 而類型這個關鍵特征保持不變。在對比類型和解法組中, 每對樣例包括的兩個方程問題類型不同、解法也不同; 類型和解法這兩個關鍵特征同時發生變化。在對比類型或解法組中, 有 3對方程配對(6個樣例)與對比類型組相似,具有相同解法但不同類型, 另外3對方程配對(6個樣例)與對比解法組相似, 具有相同類型但不同解法; 類型和解法這兩個關鍵特征都是單獨變化而非同時變化。因此, 圖1只舉例說明前三種變異類型。

除了樣例的配對方式不同之外, 每組樣例都盡可能保持相似。每種樣例組都包括12個樣例(3種類型的方程, 每種 4個樣例)。一半使用常規解法,一半樣例使用簡便解法。

實驗的四種條件由不同的樣例組構成(見表3)。實驗條件一包括一個對比類型組, 一個對比解法組,以及一個對比類型和解法組, 簡稱類型_解法_類型+解法; 實驗條件二包括兩個對比解法組以及一個對比類型和解法組, 簡稱解法_解法_類型+解法;實驗條件三包括兩個對比類型組以及一個對比類型和解法組, 簡稱類型_類型_類型+解法; 實驗條件四包括一個對比類型組, 一個對比解法組, 以及一個對比類型或解法組, 簡稱類型_解法_類型/解法。

表2 四種類型樣例組的比較

表3 四種實驗條件的比較

學生通過三個階段學習各自的材料。因此, 類型_解法_類型+解法組的學生首先對比不同類型但相同解法的方程, 然后對比相同類型但不同解法的方程, 最后對比不同類型和不同解法的方程; 他們首先對比兩個關鍵特征的單獨變異(類型和解法),然后對比兩個特征的同時變異。解法_解法_類型+解法組的學生在前兩個學習階段對比相同類型但不同解法的方程, 最后對比不同類型和不同解法的方程; 他們首先對比解法這個關鍵特征的單獨變異,然后對比兩個特征的同時變異, 他們沒有對比類型這個關鍵特征的單獨變異。類型_類型_類型+解法組的學生在前兩個學習階段對比不同類型但相同解法的方程, 最后對比不同類型和不同解法的方程;他們首先對比類型這個關鍵特征的單獨變異, 然后對比兩個特征的同時變異, 他們沒有對比解法這個關鍵特征的單獨變異。類型_解法_類型/解法組的學生在前兩個學習階段對比類型和解法這兩個關鍵特征的單獨變異; 在第三個學習階段, 他們沒有對比兩個關鍵特征的同時變異, 而是對比與前兩個階段類似的方程(對比類型或對比解法)。

與Guo等人(2014)的研究不同, 本研究中的四組學生在第三個階段對比學習了 12個樣例, 樣例數量為Guo等人(2014)研究的兩倍, 從而增加了前三組學生對比類型和解法同時變異的機會以及第四組學生對比類型和解法單獨變異的機會。所有學生在每個學習階段都對比學習 12個樣例, 三個階段共學習 36個樣例。除了樣例的配對方式不同之外, 實驗條件之間的其他方面盡量保持一致。在第三個學習階段的最后, 學生被要求使用兩種不同的方法解答四道練習題。最后一頁提供答案讓學生檢查自己的理解是否正確。

2.3.3 測試材料

前后測材料是紙筆測驗的形式, 用來測試學生在解方程上的程序性知識(procedural knowledge)、變通性知識(flexibility knowledge)和概念性知識(conceptual knowledge)。這三類知識代表了三種重要的數學能力(Hiebert, 1986; Kilpatrick, Swafford,& Findell, 2001; Rittle-Johnson & Star, 2009;Verschaffel, Luwel, Torbeyns, & van Dooren, 2009)。程序性知識體現為通過多個步驟解決問題的能力;變通性知識體現為使用不同的方法解決問題以及識別、解釋不同方法優劣的能力; 概念性知識是指對數學知識的整體性和功能性的掌握, 體現為識別和解釋相關概念的能力。這三類知識也分別對應了Alexander對領域知識的三種分類(Alexander,Schallert, & Hare, 1991)。其中, 概念性知識是關于“是什么” (knowing what)的陳述性知識, 程序性知識是關于“如何做” (knowing how)的過程性知識,變通性知識是關于“何時何地做” (knowing when and where)的條件性知識。

前后測題目相同, 共19道題目, 樣題如表4所示。為了把研究結果與 Rittle-Johnson等人(Rittle-Johnson & Star, 2007, 2009; Rittle-Johnson et al.,2009)和Guo等人(2014)的研究進行對比, 我們采用了Guo等人(2014)的測試材料。程序性知識包括7道題目, 測試學生解決熟悉、近遷移和遠遷移問題的能力。熟悉的問題與干預材料中的樣例具有相同的問題類型。近遷移的問題在括號里面增加了變量以及新的運算符號。遠遷移的問題要求使用方程知識來解答實際問題。變通性知識通過三種方式測量：(1)用兩種方法解答某個方程(2題), (2)判斷某個問題的第一步解法是否合適(2題), (3)判斷非常規解法的正確性與有效性(2題)。概念性知識測量學生關于等式、同類項和復合變量的言語及非言語性知識, 共6道題目。

2.4 實驗程序

實驗包括5天5節課的時間。第1天為前測階段, 測試學生對解一元一次方程的先前知識。組織被試安靜地坐在自己的座位上, 實驗期間被試不許交流, 有問題舉手提問。指導語是：“請同學們做一套關于一元一次方程解法的卷子。大家還沒有學過,所以不會做也很正常, 只是想了解大家學習之前掌握到了什么程度。大家只要盡力答題就可以了, 請大家把自己所想的都寫下來。”被試拿到測試題后即可作答, 35 min答題時間結束后交卷。最后教師用 15 min講解四道整式的化簡和去括號, 實驗中的教師都是本研究的助理。

前測結束一周之后, 學生被隨機分到四組進行學習, 學習階段共包括3天3節課時間。第2天的學習階段包括45 min, 教師先用15 min簡單介紹實驗、帶領學生一起解答3道整式和方程并解釋解題步驟。指導語是：“同學們, 今天我們要來學習一元一次方程的解法。由于整式的內容我們還沒有學習,所以現在我們先用幾分鐘的時間來學習一些基本的知識, 這些對等下要學習的一元一次方程的解法是很重要的。”然后學生用剩下的30 min學習材料,時間還剩10min結束的時候, 教師會提醒學生。學習結束后上交材料。第3天和第4天的學習遵循與第2天同樣的方式。在第4天的最后, 教師用8 min簡單總結并解釋：(1)解方程有一種以上的方法, (2)只要方程的兩邊保持相等, 任何解法都可以, (3)有些解法比其他解法更容易、更好。

不同于Guo等人(2014)的研究, 本研究在3天的學習階段中(第 2～4天)為學生提供了更多的教學解釋。在學生對比學習樣例之前, 教師通過整式運算向學生解釋如何去括號、移項、合并同類項、把系數化為 1等基本知識, 并告訴學生解方程最后要得出“字母 = 常數”的形式, 這個字母可能是 x、y或其他字母。教師依次介紹三種類型的方程以及含有分數的方程。教師提醒學生解方程可能不止有一種方法, 要想想用什么方法比較簡單且不容易犯錯, 解題過程要保持等式兩邊始終相等。在教學解釋中, 教師基于學生先前的學習經驗, 介紹相關的原理和概念性知識,并注意引導學生主動分析、總結歸納、建構知識。

第5天為后測階段, 時間為45 min。在前后測中, 教師都會簡單介紹測試題, 向學生解釋需要完成的任務。教師告訴學生答題時要解釋他們的答案,并盡可能把想到的都寫下來。學生的答案不會讓他們的老師和學校看到。測試結束前 10 min提醒學生。為了保證實驗的可信性, 教師嚴格按照規定進行介紹和監考, 作者只是在必要的時候為教師提供指導和幫助, 并進行觀察。

2.5 評分標準

如表4所示, 程序性知識的7道題目根據答案正確與否進行評分。另外, 根據前測中學生在程序性知識和變通性知識的“一題兩解”中是否使用簡便方法, 把學生分成簡便方法組和無簡便方法組。變通性知識和概念性知識的評分標準見表4。評分由兩名獨立的評分者分別完成, 兩人評分不同的題目則通過討論達成一致。

2.6 數據分析

為了探討實驗條件和先前知識之間的交互效應, 我們對學生的整體表現以及三類測試結果都進行了二因素協方差分析(ANCOVA)。把學生在前測中是否使用簡便方法和實驗條件作為組間變量, 學生的前測分數和數學能力(基于學生的期中數學考試分數)作為協變量控制先前知識的差異。如果交互效應顯著, 則進行簡單效應分析來進一步探討實驗條件的影響。首先對比類型_解法_類型+解法組和解法_解法_類型+解法組, 然后對比類型_解法_類型+解法組和類型_類型_類型+解法組, 最后對比類型_解法_類型+解法組和類型_解法_類型/解法組。

3 結果

3.1 先前知識

表5總結了學生在全部測試題目上的前后測表現。可以看出, 學生在解一元一次方程上具有一定的先前知識。有些學生甚至在某些題目上得到滿分。然而, 大多數學生的理解都比較片面。只有不到1%的程序性知識題目使用簡便方法解答。47.8%的學生在前測中至少使用一次簡便方法解題, 并被劃分為簡便方法組; 其他學生在前測中從未使用簡便方法, 被劃分為無簡便方法組。無簡便方法組的學生在變通性知識題目上平均得 5.74分(滿分 24分), 在概念性知識題目上平均得 1.74分(滿分 7分)。表明他們還沒有審辨出解法這個關鍵特征, 無法把(x+1)之類的表達式看成是一個復合變量, 并使用簡便方法來解題。即使是簡便方法組的學生,雖然他們嘗試使用復合變量的簡便方法解方程, 但他們的先前知識也不高; 在變通性知識題目上平均得10.03分, 在概念性知識題目上平均得2.85分。

表4 程序性知識、變通性知識和概念性知識的前后測樣題與評分標準

程序性知識與變通性知識和概念性知識顯著相關, r (251) = 0.44以及r (251) = 0.36, ps < 0.001;變通性知識與概念性知識顯著相關, r (251) = 0.64,p < 0.001。學生在全部測試題中的后測分數都顯著高于前測分數(ps < 0.01), 表明所有學生通過學習在程序性知識、變通性知識和概念性知識上都有了明顯的進步。前測使用簡便方法的學生各類前測分數都顯著高于前測沒有使用簡便方法的學生(ps <0.001)。不同實驗組在前測程序性知識、變通性知識和概念性知識上都不存在顯著差異(ps > 0.05)。

3.2 實驗條件(類型_解法_類型+解法組與解法_解法_類型+解法組)與先前知識的影響

3.2.1 整體表現

如圖 2a所示, 實驗條件(類型_解法_類型+解法組與解法_解法_類型+解法組)和前測是否使用簡便方法之間存在顯著的交互作用, F(1, 117) = 8.56,MSE = 32.42, p < 0.005, η= 0.07。實驗條件和前測是否使用簡便方法的主效應都不顯著(ps > 0.05)。我們進一步進行簡單效應分析發現, 對于前測沒有使用簡便方法的學生, 類型_解法_類型+解法組顯著好于解法_解法_類型+解法組, F(1, 117) = 3.98,MSE = 32.42, p < 0.05, η= 0.03。相反對于前測使用簡便方法的學生, 解法_解法_類型+解法組則顯著好于類型_解法_類型+解法組, F(1, 117) = 4.61,MSE = 32.42, p < 0.05, η= 0.04。

3.2.2 程序性知識

如圖 2b所示, 實驗條件和前測是否使用簡便方法之間的交互效應不顯著(p = 0.18)。實驗條件和前測是否使用簡便方法的主效應也都不顯著(ps >0.05)。這表明兩種實驗條件對學習程序性知識的影響并沒有差別, 也沒有受到先前知識的作用。

3.2.3 變通性知識

如圖 2c所示, 實驗條件和前測是否使用簡便方法之間存在著顯著的交互作用, F(1, 117) =6.53, MSE = 18.58, p < 0.05, η= 0.05。實驗條件和前測是否使用簡便方法的主效應都不顯著(ps >0.05)。簡單效應分析顯示, 對于前測沒有使用簡便方法的學生, 兩種實驗條件的效果沒有顯著差別(p =0.13)。但是對于前測使用簡便方法的學生, 解法_解法_類型+解法組要顯著好于類型_解法_類型+解法組, F(1, 117) = 4.26, MSE = 18.58, p < 0.05, η= 0.04。

表5 學生在各類測試上的前后測分數(實驗條件×前測是否使用簡便方法)

圖 2 實驗條件與前測是否使用簡便方法在后測整體表現(a)、程序性知識(b)、變通性知識(c)和概念性知識(d)上的交互。模型的協變量包括前測程序性知識、變通性知識、概念性知識和數學能力。誤差線為標準誤。

3.2.4 概念性知識

最后是學生的概念性知識。如圖2d所示, 實驗條件和前測是否使用簡便方法之間存在著顯著的交互作用, F(1, 117) = 5.86, MSE = 2.40, p < 0.05, η= 0.05。實驗條件和前測是否使用簡便方法的主效應都不顯著(ps > 0.05)。簡單效應分析表明, 對于前測沒有使用簡便方法的學生, 兩種實驗條件的效果不存在顯著差別(p = 0.18)。但是對于前測使用簡便方法的學生, 解法_解法_類型+解法組要顯著好于類型_解法_類型+解法組, F(1, 117) = 4.18, MSE =2.40, p < 0.05, η= 0.03。

3.3 實驗條件(類型_解法_類型+解法組與類型_類型_類型+解法組)與先前知識的影響

如圖3所示, 實驗條件(類型_解法_類型+解法組與類型_類型_類型+解法組)和前測是否使用簡便方法的交互效應在各類測試結果上(包括學生的整體表現、程序性知識、變通性知識和概念性知識)都不顯著, 實驗條件和前測是否使用簡便方法的主效應也都不顯著(ps > 0.05)。這表明兩種實驗條件對學習解一元一次方程的影響并沒有差別, 而且也沒有受到先前知識的作用。

圖 3 實驗條件與前測是否使用簡便方法在后測整體表現(a)、程序性知識(b)、變通性知識(c)和概念性知識(d)上的交互。模型的協變量包括前測程序性知識、變通性知識、概念性知識和數學能力。誤差線為標準誤。

圖 4 實驗條件與前測是否使用簡便方法在后測整體表現(a)、程序性知識(b)、變通性知識(c)和概念性知識(d)上的交互。模型的協變量包括前測程序性知識、變通性知識、概念性知識和數學能力。誤差線為標準誤。

3.4 實驗條件(類型_解法_類型+解法組與類型_解法_類型/解法組)與先前知識的影響

3.4.1 整體表現

如圖 4a所示, 實驗條件(類型_解法_類型+解法組與類型_解法_類型/解法組)和前測是否使用簡便方法之間存在著顯著的交互作用, F(1, 118) =10.53, MSE = 32.96, p < 0.005, η= 0.08。實驗條件和前測是否使用簡便方法的主效應都不顯著(ps >0.05)。簡單效應分析發現, 對于前測沒有使用簡便方法的學生, 類型_解法_類型+解法組要顯著好于類型_解法_類型/解法組, F(1, 118) = 9.52, MSE = 32.96,p < 0.005, η= 0.02。對于前測使用簡便方法的學生,兩種實驗條件沒有顯著的差別(p = 0.13)。

3.4.2 程序性知識

如圖 4b所示, 實驗條件和前測是否使用簡便方法之間交互效應不顯著(p = 0.75)。實驗條件和前測是否使用簡便方法的主效應也都不顯著(ps >0.05)。這表明兩種實驗條件對學習程序性知識的影響并沒有差別, 也沒有受到先前知識的作用。

3.4.3 變通性知識

如圖 4c所示, 實驗條件和前測是否使用簡便方法之間存在著顯著的交互作用, F(1, 118) = 11.58,MSE = 17.58, p = 0.001, η= 0.09。實驗條件和前測是否使用簡便方法的主效應都不顯著(ps > 0.05)。簡單效應分析顯示, 對于前測沒有使用簡便方法的學生, 類型_解法_類型+解法組要顯著好于類型_解法_類型/解法組, F(1, 118) = 10.21, MSE = 17.58,p < 0.01, η= 0.08。對于前測使用簡便方法的學生,兩種實驗條件沒有顯著的差別(p = 0.10)。

3.4.4 概念性知識

如圖 4d所示, 實驗條件和前測是否使用簡便方法之間存在著顯著的交互作用，F(1, 118) = 5.88,MSE = 2.65, p < 0.05, η= 0.05。實驗條件和前測是否使用簡便方法的主效應都不顯著(ps > 0.05)。簡單效應分析發現, 對于前測沒有使用簡便方法的學生, 類型_解法_類型+解法組的學習效果好于類型_解法_類型/解法組, 差異達到邊際性顯著, F(1,118) = 3.65, MSE = 2.65, p = 0.059, η= 0.03。對于前測使用簡便方法的學生, 兩種實驗條件之間不存在顯著差異(p = 0.13)。

4 討論

4.1 主要研究結果

與本研究的假設一致, 實驗結果表明多重樣例不同的變異類型對學生學習解一元一次方程的作用受到學生先前知識的影響。尤其是在增加教學支持的情況下, 樣例變異類型的有效性相比先前研究發生了變化。總的來說, 有以下幾點發現。

第一, 對于前測沒有使用簡便方法的學生來說,類型_解法_類型+解法要好于其他方法, 尤其是其在促進變通性知識和概念性知識的發展上要顯著好于類型_解法_類型/解法組。表明對問題類型和解法這兩個關鍵特征先單獨變異再同時變異能夠促進這些學生更好地審辨這兩個特征, 獲得更多的變通性知識和概念性知識, 在方程解法的選擇上更具靈活性, 對方程思想的理解更為深入。如果樣例設計中沒有同時變化這兩個特征, 則會影響學生對于方程解法的運用及理解。“先單獨再同時”變異類型的有效性與Pang和Marton (2005)、Ki (2007)以及Guo和Pang (2011)等研究的結論一致。單獨變異能夠幫助學生審辨出每個關鍵特征, 不會被太多變異所混淆, 是同時變異的基礎; 同時變異則會幫助學生形成對知識的全面理解, 是單獨變異的發展和深化。

第二, 對于前測使用簡便方法的學生來說, 解法_解法_類型+解法在促進變通性知識和概念性知識的發展上要顯著好于類型_解法_類型+解法組。這可能是因為一方面這些學生已經較好地掌握了問題類型這個特征, 另一方面雖然他們在前測中嘗試使用過簡便方法解題, 但是較低的前測分數(見表5)顯示他們對簡便方法也并不熟悉。解法_解法_類型+解法組由于提供了較多的機會讓學生對比解法的單獨變異, 因此能夠幫助他們更好地審辨解法這個關鍵特征。另外, Rittle-Johnson等人(2009)指出, 學生只有在熟悉常規解法的前提下才能受益于對比解法的多重樣例, 通過對比熟悉(常規解法)和不熟悉(簡便解法)的兩種解法來認識解法這個特征。前測使用簡便方法的學生對常規解法的掌握要顯著好于前測沒有使用簡便方法的學生(p < 0.05),因此他們也就更能受益于對比解法的樣例。

第三, 與變通性知識和概念性知識不同, 實驗條件與先前知識在程序性知識的學習上并不存在顯著的交互效應和主效應。表明不同的實驗條件在促進學生學習程序性知識上效果類似。Rittle-Johnson和Star (2009)也發現, 對比問題類型和對比解法在提高學生的程序性知識上效果沒有顯著差別。這可能是因為程序性知識體現為學生解方程的正確率。學生既可以使用常規方法也可以使用簡便方法答題。一般的樣例對比至少能夠幫助學生掌握并使用常規方法解方程, 因此不同實驗條件的效果沒有顯著差別。不同實驗條件的差別主要體現在多種解法尤其是簡便解法的使用和理解, 即解方程的變通性知識和概念性知識。

4.2 對比相關研究結果

本研究還發現, 在增加樣例對比數量和教學解釋的情況下, 樣例變異類型的有效性及其與先前知識的交互作用表現出與Guo等人(2014)研究不同的特點：對于前測沒有使用簡便方法的學生, 類型_解法_類型+解法比其他方法更能促進學生的變通性知識; 而對于前測使用簡便方法的學生, 類型_解法_類型+解法的學習效果則相反。Guo等人(2014)發現, 對于前測沒有使用簡便方法的學生, 類型_解法_類型+解法在促進變通性知識學習上效果最差; 而對于前測使用簡便方法的學生, 不同實驗條件的學習效果則類似。

上述不一致的結論可以從兩個研究兩點不同的設計進行解釋。首先是兩個研究在教學支持上的不同。Guo等人(2014)指出, 類型_解法_類型+解法的前兩個學習階段可能沒有提供足夠的機會讓學生單獨審辨類型和解法這兩個關鍵特征。因此在第三個階段同時變化兩個特征時, 無簡便方法組的學生會被太多變異混淆而無法審辨出關鍵特征, 導致類型_解法_類型+解法的學習效果不如其他方法。為了解決這個問題, 本研究在學生學習階段增加了樣例對比的數量以及教師的教學解釋, 幫助學生在對比樣例之前熟悉去括號、移項、合并同類項、化簡等相關知識, 引導學生主動建構解方程的知識。較為充分的教學支持尤其能夠幫助先前知識較低的學生在對比學習類型_解法_類型+解法時, 能夠首先單獨審辨出問題類型和解法這兩個關鍵特征,并最后受益于第三個階段的同時變異。這表明適當的教學解釋對于發揮樣例對比的有效性是必要的,能夠降低對比時產生的認知負荷, 幫助學生把有限的認知資源集中于對比樣例的關鍵特征上。

其次是兩個研究在被試先前學習經驗上的不同。在Guo等人(2014)的研究中, 學生參加實驗之前雖然還沒有學過一元一次方程的簡便解法, 但已經在學校學過常規解法。參與本研究的學生則還未學過方程的常規解法和簡便解法。這就會導致一方面, Guo等人(2014)的研究結果可能會受到教師先前教學方法的影響, 而本研究的結果則較能反映不同實驗條件的學習效果。另一方面, 兩個研究被試在解方程上不同的先前知識也會影響實驗條件的效果。數據分析結果顯示, 本研究被試對于常規解法和簡便解法的掌握和熟悉程度都低于 Guo等人(2014)研究的被試。雖然學生也根據前測表現被分為無簡便方法組和簡便方法組, 但兩組學生的先前知識與Guo等人(2014)的兩組學生不同。比如本研究中無簡便方法組的學生前測變通性知識平均得分5.74分, 簡便方法組的學生前測變通性知識平均得分 10.03分。而在 Guo等人(2014)的研究中, 無簡便方法組的學生前測變通性知識平均得分 8.14分, 簡便方法組的學生前測變通性知識平均得分13.24分。在概念性知識上, Guo等人(2014)研究中無簡便方法組的學生甚至高于本研究簡便方法組的學生。具有不同先前知識的被試對于關鍵特征的審辨不同, 因此對樣例不同變異類型的學習效果也就不同。未來研究應進一步探討教學解釋與樣例變異類型在促進不同先前知識學生學習上的作用。

4.3 如何有效進行多重樣例對比？

雖然多重樣例研究表明對比在學習中的重要作用, 但是關于“怎么對比”的問題卻沒有得出一致的結論(Guo et al., 2012)。本研究考察了單獨變異和同時變異在對比學習中的作用。結果表明, 在多重樣例設計中, 需要創造機會讓學生首先單獨對比學習的關鍵特征, 最后再讓學生同時對比全部關鍵特征。Schwartz等人(Bransford & Schwartz, 1999;Schwartz & Bransford, 1998; Schwartz & Martin,2004)指出, 多重樣例對比學習的有效性在于能夠幫助學生發展出辨別性知識。通過樣例對比學生能夠注意到區別樣例的特定特征和屬性并形成辨別性知識結構, 這成為了他們日后學習的基礎。變易理論(variation theory) (詳見Marton & Booth, 1997;Pang & Marton, 2005)進一步指出, 學習是一種審辨的過程, 審辨就需要經驗變異。當事物某個方面的特征變化而其他特征保持不變時, 這個變化的特征就會被審辨出來。單獨變異是指只有一個關鍵特征的值變化, 其他關鍵特征保持不變; 同時變異是指多個關鍵特征的值同時發生變化。單獨變異和同時變異為系統設計多重樣例的變異性提供了一種方法。在確定了學生學習的關鍵特征之后, 首先單獨變異每個關鍵特征, 讓學生通過對比分別審辨出每個關鍵特征。最后再同時變異全部關鍵特征, 讓學生通過體驗關鍵特征的同時變化來達到全面的審辨學習。如果學生沒有單獨審辨出每個關鍵特征就直接對比全部關鍵特征的變化, 他們就容易迷失于太多的變異中; 相反如果學生只是單獨對比每個關鍵特征的變異而沒有經驗全部關鍵特征的同時變化, 他們對所學知識的理解就不夠深刻和全面。

單獨變異和同時變異的作用也可以從認知負荷理論得到解釋。根據認知負荷理論, 高變異的多重樣例由于存在較多的要素關系從而產生比低變異樣例更高的內在認知負荷(intrinsic cognitive load),學生在對比這些高變異樣例的時候很容易出現認知超負荷從而無法有效完成對比(Sweller, 2010)。如果學生在對比高變異樣例之前首先通過單獨對比分別審辨出每個關鍵特征, 那么當他們對比全部關鍵特征的同時變異時, 工作記憶就不會負荷過重從而影響學習。先單獨變異再同時變異的方法一方面能夠降低學生樣例學習時的外在認知負荷(extraneous cognitive load), 幫助他們使用較少的認知資源就能夠審辨出學習的關鍵特征; 另一方面也能夠提高樣例學習時的相關認知負荷(germane cognitive load),促進學生積極主動地進行對比和圖式構建。Sweller(2010)指出, 在保證認知總負荷不超過學生工作記憶容量的前提下, 應該盡可能地增加內在認知負荷和樣例的變異性; 但是如果學生的工作記憶出現超負荷就應該降低樣例的變異性, 減少內在認知負荷。先單獨變異再同時變異的方法能夠在增加內在認知負荷的同時把學生的工作記憶負荷控制在合理的范圍, 從而提高了對比的有效性。此外, 本研究在學生對比多重樣例中適當增加了相應的教學解釋,幫助學生注意并審辨樣例的關鍵特征, 思考、理解樣例之間的異同及其體現的原理, 在降低學習外在認知負荷的同時, 提高了相關的認知負荷。

特別是對于先前知識較低的學生來說, 在對比關鍵特征同時變異之前首先單獨審辨出每個關鍵特征, 并且輔以一定的教學解釋, 能夠有效地降低他們對比樣例時的認知負荷, 減輕工作記憶的負擔,從而通過多重樣例對比完成圖式的建構。如果多重樣例對比超出學生工作記憶的容量, 就會影響對比的有效性。相反, 對于先前知識較高的學生而言,他們比低先前知識的學生審辨出更多的關鍵特征,具備更多的認知資源。對于低先前知識學生超負荷的樣例對比材料和設計方法對于高先前知識的學生反而可能是合適的, 不會超出他們的工作記憶容量; 他們能夠集中認知資源對比審辨學習的關鍵特征。而對于低先前知識學生有效的樣例對比對于高先前知識的學生則可能是無效的、冗余的, 甚至是有害的, 迫使他們對比已經審辨出來的關鍵特征,加重了外在認知負荷并減少了相關認知負荷, 從而產生教學效果的逆反, 出現專長反轉效應(expertise reverse effect) (Kalyuga & Renkl, 2010)。

4.4 本研究的教學實踐價值及啟示

本研究的結果為教師在教學中設計多重樣例幫助學生學習提供了指導。雖然在教學中使用多重樣例進行對比是常見的教學策略, 但是大多數教師在樣例對比教學的使用上都存在著問題, 往往只能從自身主觀的教學經驗出發設計樣例, 無法發揮出樣例對比教學的最佳效果(Chazan & Ball, 1999; Richland et al., 2004; Richland, Zur, & Holyoak, 2007)。

根據本研究結果, 教師教學時首先要確定學生學習的關鍵特征。關鍵特征是指那些學生還沒有掌握的、對他們理解重要的特征。教師可以使用前測、訪談、備課交流、文獻綜述等方法來了解學生的先前知識并確定他們學習的關鍵特征。雖然要找到學生的關鍵特征并不容易, 但是有效教學必須基于這些關鍵特征來進行設計。

一方面, 教學如果沒有提供充分的機會讓學生對比學習關鍵特征, 低先前知識的學生可能會出現學習困難。在本研究中, 解法_解法_類型+解法、類型_類型_類型+解法、類型_解法_類型/解法三種方法由于缺少關鍵特征的單獨變異或同時變異, 導致學生的學習結果不如類型_解法_類型+解法組。另一方面, 教學如果關注了非關鍵特征就會減少高先前知識學生對比學習的機會, 從而導致低效的教學。比如高先前知識的學生由于已經掌握了類型和解法這兩個關鍵特征, 那么基于這兩個特征設計的教學方法就無法取得很好的效果。

總而言之, 如果沒有考慮個體學生在關鍵特征上的差異, 教學的有效性就難以實現。這與傳統教育心理學關于個人特質與實驗條件的交互作用研究(aptitude-treatment interaction, ATI)以及近期關于專長反轉效應的研究相一致。根據這些研究, 教學方法與學生的個人特質之間存在著交互效應, 對一部分學生有效的教學方法對另一部分學生可能是無效的, 甚至反轉為有害的(Kalyuga, 2007; Kalyuga& Renkl, 2010; Tobias, 1989)。然而這些研究并沒有明確說明學生的何種特質會顯著影響教學成效。本研究結果表明, 對比作為一種重要的教學方法, 其有效性會受到學生特質的影響; 而學生的先前知識尤其是他們對關鍵特征的審辨是影響教學成效的一種重要的個人特質。

確定學生學習的關鍵特征之后, 為了幫助學生審辨這些關鍵特征, 應該對這些特征首先單獨變異,然后再同時變異。“先單獨再同時”的變異類型能夠系統控制多重樣例的變異性, 幫助學生一方面能夠循序漸進地識別、掌握每個關鍵特征, 另一方面能夠形成對知識的全面理解。本研究中的類型_解法_類型+解法組就是首先單獨變異類型和解法這兩個關鍵特征, 然后再同時變異這兩個特征來幫助學生學習方程的解法。缺少單獨變異會使得同時變異超出學生的理解范疇; 而缺少同時變異則會使得單獨變異停留在較淺的水平, 無法達到全面理解。

4.5 本研究的不足與未來研究展望

雖然本研究定義了學習解方程的兩個關鍵特征：問題類型和解法。但是在前后測設計中我們主要考察學生對于解法這個關鍵特征的掌握和熟悉程度, 并沒有針對問題類型專門設計題目。因此一方面我們無法了解學生關于方程問題類型的掌握程度, 另一方面也會導致對比解法的樣例組更有利于學生的后測表現。未來研究應該進一步設計相應的題目考察學生關于問題類型的掌握程度, 以更好地探討對比類型樣例組的學習效果。此外, 本研究雖然探討了4種變異類型的有效性, 但是還存在其他變異類型需要加以研究。比如只比較解法的單獨變異、或者只比較類型的單獨變異。對多種變異類型的有效性進行探討能夠幫助我們進一步了解應該如何設計多重樣例變異性。

本研究在前后測中采用相同的題目以了解學生的進步情況, 為了控制可能出現的練習效應, 本研究的后測安排在前測完成后 11天才進行, 所有學生都接受同樣的前后測, 并且在結果分析中把學生的前測分數作為協變量以平衡不同實驗組先前知識的差異。未來研究可以探討使用不同的前后測題目, 并加入間隔時間更長的延遲后測, 以消除練習效應產生的實驗誤差對研究結論的影響。本研究中學生雖然通過學習都獲得了明顯的進步, 但是學生的后測平均分并不是很高, 表明學生并沒有很好地掌握方程的解法。這可能是因為學生主要通過樣例對比自學, 導致本研究中各種變異類型的教學效果差別不是十分明顯。我們認為, 在樣例對比中增加教學支持能夠進一步體現各種變異類型對學習的不同影響。但是由于教學支持并不是本研究實驗的自變量, 因此本文沒有進一步討論教學支持對學習解方程的影響, 及其與變異類型和先前知識之間可能存在的交互作用。未來研究可以把教學支持(如教學解釋)作為自變量深入探討教學支持的作用。

5 結論

(1)設計多重樣例變異性時需要首先單獨變異每個關鍵特征, 最后再同時變異全部關鍵特征。確保學生在單獨審辨出每個關鍵特征的基礎上經驗全部關鍵特征的同時變化。

(2)設計多重樣例時, 需要提供充分的教學支持來幫助學生對比審辨學習的關鍵特征。

(3)具有不同先前知識的學生學習的關鍵特征不同, 多重樣例的變異性要依據學生不同的關鍵特征進行設計。

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