基于海明距離和TOPSIS的直覺模糊數排序法

譚吉玉，朱傳喜，張小芝，朱 麗

（南昌大學理學院，南昌330031）

0 引言

Atanassov于1983年對傳統的模糊集進行了拓展，提出了直覺模糊集[1,2]的概念。由于直覺模糊集同時考慮了隸屬度、非隸屬度和猶豫度三方面的信息，因此，它比傳統的模糊集能夠更細膩地描述和刻畫客觀世界的模糊本質。Gau和Buehrer[3]定義了Vague集的概念。但是Bustince和Burillo[4]指出Vague集實質上就是直覺模糊集。直覺模糊集理論自提出以來，受到了學者們的極大關注，并已廣泛應用于決策分析、醫療診斷、模式識別等諸多領域。徐澤水研究了決策者對方案有偏好的直覺模糊多屬性決策問題[5]。定義了加型一致性直覺判斷矩陣和積型一致性直覺判斷矩陣等概念,并且分別利用兩種轉換函數建立了簡潔的線性規劃模型,給出了一種直覺模糊環境下對方案有偏好的多屬性決策途徑.Szmidt和Kacprzyk[6]基于直覺模糊集的幾何解釋提出了直覺模糊集的距離測度，結果表明在計算直覺模糊集的距離時，第三個參數即猶豫度不能省去，否則會導致不準確的結果。基于直覺模糊集的幾何解釋模型，Szmidt和Kacprzyk[7]還提出了非概率型直覺模糊集的熵測度公式。Li和Cheng[8]提出了直覺模糊集的相似性測度并應用于模式識別。

在直覺模糊多屬性決策問題中，直覺模糊數的排序起著非常重要的作用。Chen and Tan[9]提出了直覺模糊數得分函數的概念。后來,Hong和Choi[10]指出得分函數有時候無法區分兩個明顯不同的直覺模糊數，如（0.6,0.3）與（0.5,0.2），它們的得分函數都是0.3，為了解決這種無法比較的問題，他們提出了精確函數的概念。然而，基于得分函數和精確函數的比較方法，得分函數處于絕對優先的地位，迫使得分函數小一點點，而精確函數大很多的直覺模糊數較小，如A=(0.5,0.3)和 B=(0.4,0.1999)(見文獻[11])。直覺模糊數的排序問題引起了國內學者的濃厚興趣，提出了各種各樣的新的得分函數。本文從完全贊成(正理想點)和完全反對(負理想點)兩個極端直覺模糊數進行分析，引入傳統的TOPSIS思想，分別計算任意一個直覺模糊數與正理想點和負理想點的海明距離，然后計算相對于正理想點的相對貼近度，相對貼近度大的直覺模糊數就較大。基于新的排序指標，利用直覺模糊優先加權平均算子(IFPWA)算出其關聯屬性權重向量，進而計算各備選方案的集結結果，對最終的集結結果運用新的排序指標進行排序和擇優，最后，通過實例說明了該方法的有效性。

1 直覺模糊集的基本理論

定義1[1,2]設X是一個非空集合，X上的直覺模糊集定義為

其中μA(x)和νA(x)分別為X中元素x屬于A隸屬度和非隸屬度，即

并且對任意的x∈X，有 0≤μA(x)+νA(x)≤1.另外πA(x)=1-μA(x)-νA(x)表示X中元素x屬于A的猶豫度。

定義2[9]設α=(μ，ν)為一個直覺模糊數，則稱：

為α的得分函數，其中s(α)∈[-1，1]。

定義3[10]設α=(μ，ν)為一個直覺模糊數，則稱：

為α的精確函數,其中h(α)∈[0，1].

定義4[12]設αj=(μj，νj)(j=1，2，...，n)為一組直覺模糊數，且設IFPWA:Θn→Θ，

定義5[6]設X={x1，x2，...，xn},A和B為定義在X上的直覺模糊集，則A和B之間的標準海明距離定義為：

2 直覺模糊數的排序指標

為了方便起見，稱α=(μ，ν)為直覺模糊數．記Θ為全體直覺模糊數的集合，顯然,α+=(1，0)是最大的直覺模糊數,α-=(0，1)是最小的區間直覺模糊數。對任意一個直覺模糊數α=(μ，ν),有α-≤α≤α+。由定義1.5，我們可以計算任意一個直覺模糊數α=(μ，ν)與最大直覺模糊數α+=(1，0)和最小直覺模糊數α-=(0，1)的標準海明距離，我們分別用d+和d-來表示：

基于TOPSIS原理，我們給出任意一個直覺模糊數α相對于最大的直覺模糊數α+的相對貼近度的概念。

定義6設α=(μ，ν)為一個直覺模糊數，d+和d-分別為α與α+=(1，0)和α-=(0，1)之間的標準海明距離，則α相對于最大的直覺模糊數α+的相對貼近度為：

顯然，C(α)的值越大，直覺模糊數α就越大。

性質1設α=(μ，ν)為一個直覺模糊數，C(α)具有如下性質。

（1）C(α)∈[0，1]，且C(α+)=1，C(α-)=0;

（2）當直覺模糊數α退化為普通的模糊數，即μ+v=1時，C(α)=μ；

（3）C(α)+C(αC)=1，αC為α的補集。

定理1直覺模糊數的貼近度C(α)隨著隸屬度μ的增加而增加，隨著非隸屬度ν的增加而減小。

定理2直覺模糊數的貼近度C(α)同時蘊含了得分函數和精確函數的排序原理。

證明：將函數f(μ，ν)改寫為：，將得分函數s=μ-ν代入函數中得，，則f(μ，s)關于得分函數s的增函數.即直覺模糊數的得分值越大，f(μ，ν)的值也越大。

將函數f(μ，ν)改寫為，當得分函數相等，即μ-ν是某一個常數時，將h=μ+v代入函數得，說明當得分函數相等時，f(μ，ν)是關于精確函數h的增函數。

綜上所述，直覺模糊數的貼近度將隨著隸屬度的增加而增加，隨著非隸屬度的增加而減小；隨著得分函數的增加而增加，當得分函數一樣時，又會隨著精確函數的增加而增加.因此，直覺模糊數的新的排序指標能蘊含得分函數和精確函數的排序原理，克服了應用得分函數和精確函數的排序法中得分函數處于絕對優先地位的不足。

3 屬性間具有優先級別關系的直覺模糊多屬性決策方法

對于某個屬性間具有優先級別關系的直覺模糊多屬性決策問題，設有m個備選方案A={A1，A2，...，Am},其中Ai表示第i個決策方案;決策方案的屬性集合為G={G1，G2，...，Gn},屬性間具有優先序關系:G1＞G2＞...＞Gn。方案Ai(i=1，2，...，m)在屬性Gj(j=1，2，...，m)下的屬性值為直覺模糊數,用αij=(μij，νij)表示,滿足0≤μij≤1,0≤νij≤1,且μij+νij≤1。其中μij表示方案Ai對屬性Gj的滿足程度。νij表示方案Ai對屬性Gj的不滿足程度。收集所有決策信息可以建立直覺模糊決策矩陣D=(αij)m×n。下面給出求解屬性間具有優先級別關系的直覺模糊多屬性決策問題的具體步驟：

步驟 1由式(5)計算αij(i=1，2，...，m;j=1，2，...，n)的貼近度作為αij的得分。

步驟2計算Tij的值如下：

步驟3用直覺模糊優先加權平均(IFPWA)算子集結所有的αij(j=1，2，...，n)。

步驟4 由公式(5)計算各方案集結結果αi(i=1，2，...，m)的貼近度。

步驟5按各方案集結結果的貼近度大小對備選方案進行排序和擇優。

4 實例分析

考慮一個家庭欲購買一臺冰箱，現有五種品牌冰箱Ai(i=1，2，3，4，5)可供選擇，用戶選取了六項指標作為選擇購買哪一款冰箱的標準。即為：G1:安全性;G2:制冷性能;G3:結構性;G4:可靠性;G5:經濟性;G6:美觀性。且六項指標間具有優先序關系:G1＞G2＞G3＞G4＞G5＞G6。用戶通過對五種品牌冰箱在各評價指標下的滿意度和不滿意度得到直覺模糊決策信息矩陣D=(αij)5×6(見表1)。下面由本文所提出的方法確定最佳選擇。

表1 直覺模糊決策矩陣D

步驟1由式（6）計算αij(i=1，2，...，m;j=1，2，...，n)的貼近度作為αij的得分,如

表2 得分矩陣S

步驟2用式（7）和（8）計算Tij的值，結果如下:

步驟3用(9)式集結所有直覺模糊數得到各備選冰箱的綜合直覺模糊數，如：

步驟4由公式（5）計算各方案集結結果αi(i=1，2，...，m)的貼近度,如

步驟5根據第四步的計算結果進行排序,即五種品牌冰箱的綜合排名為：

A2＞A4＞A3＞A1＞A5.因此,A2為最佳選擇。

5 結論

基于直覺模糊集的海明距離,結合傳統的TOPSIS思想,提出了一種新的直覺模糊數的排序指標.新的排序指標能夠蘊含傳統得分函數和精確函數的排序原理,克服了傳統排序方法中得分函數處于絕對優先地位的不足。基于新的排序指標,利用直覺模糊優先加權平均算子(IFPWA),提出了一種屬性間具有優先級別關系的直覺模糊多屬性決策方法。最后,通過實例分析驗證了所提出方法的有效性。

[1]Atanassov K.Intuitionistic Fuzzy Sets.[J]In:Sgurev V ed.VII-ITKRs Session,Sofia,J，1983，（6）.

[2]Atanassov K.Intuitionistic Fuzzy Sets[J].Fuzzy Sets and Systems,1986,(20).

[3]Gau W L,Buehrer D J.Vague Sets[J].IEEE Transactions on Systems,Man,and Cybernetics,1993,(23).

[4]Bustince H,Burillo P.Vague Sets Are Intuitionistic Fuzzy Sets[J].Fuzzy Sets and Systems,1996,79(3).

[5]徐澤水.直覺模糊偏好信息下的多屬性決策途徑[J].系統工程理論與實踐,2007,(11).

[6]Szmidt E,Kacprzyk J.Distances Between Intuitionistic Fuzzy Sets[J].Fuzzy Sets and Systems,2000,(114).

[7]Szmidt E,Kacprzyk J.Entropy for Intuitionistic Fuzzy Sets[J].Fuzzy Sets and Systems,2001,(118).

[8]Li D F,Cheng C T.New Similarity Measures of Intuitionistic Fuzzy Sets And application to Pattern Recognitions[J].Pattern Recognition letters,2002,(23).

[9]Chen S M,Tan J M.Handing Multicriteria Fuzzy Decision-Making Problems Based on Vague Set Theory[J].Fuzzy Sets and Systems,1994,(67).

[10]Hong D H,Choi C H.Multicriteria Fuzzy Decision-Making Problems Based on Vague Set Theory[J].Fuzzy Sets and Systems,2000,(114).

[11]Dymova L,Sevastjanov P,Tikhomenko A.Two-Criteria Method for Comparing Real-Valued and Interval-Valued Intuitionistic Fuzzy values[J].Knowledge-Based Systems,2013,(45).

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