排隊論模型在排班管理系統的最優控制

宋加山，李 勇，黃 亭

（1.西南科技大學 經濟管理學院，四川 綿陽 621010；2.中國科學技術大學 管理學院，合肥 230026）

1 排隊系統組成和特征

排隊論最初是在20世紀初由丹麥工程師艾爾郎關于電話交換機的效率研究開始，開創了這門應用學科，以后越來越多的學者開始對排隊論進行理論上的研究。費勒在20世紀30年代將生滅過程引入到排隊論理論研究過程中，成功地解決了很多的排隊論問題。堪道爾在20世紀50年代初將嵌入式入馬爾柯夫鏈來研究排隊理論體系，成為了排隊論的基礎。隨著互聯網計算機的迅猛發展，排隊論在越來越多的領域得到了應用，排隊論在理論及實證研究中都得到了快速的發展。

排隊指的是在一個或多個服務臺前等待提供服務的一列顧客，排隊有有形與無形之分，并非一定是服務臺前的一列有形的群體。通常認為，服務臺就是顧客接收服務的獨立場所，任何一個服務系統，其服務資源都是有限的，所以一旦當顧客的服務需求超出了服務臺所能提供的服務能力，排隊現象就會發生。顧客到達服務臺的時間有先后之分，接受服務的時間自然是不同的，需要服務的顧客在服務臺都被占用的情況下不能得到及時的服務，所以說排隊對于任何一個系統都會不可避免的發生。

排隊也就意味著等待，而等待在經濟意義上的成本應當從兩個方面加以考慮。對公司來講，使員工等待的成本可以通過薪酬來進行衡量，對于顧客來講，他們的等待成本則是在這一段時間里可以做其它事情的機會成本，并且等待還會使顧客產生心理反應的成本如焦躁、厭煩等情緒。

在當前競爭激烈的市場中，過長或者預計會很長時間的排隊都有會導致失去顧客。所以必須對排隊系統進行優化管理，評價一個排隊系統的優劣，要從兩方面的利益來進行考察。首先，對于顧客來說，他們總是想等待排隊的時間盡可能短，而提供服務臺的數量盡可能的多；與之相反，公司增加服務臺個數就意味著增加人資資本，增加投資，在服務臺空閑時就導致了資源的浪費。所以對于企業來說，增加多了服務臺會產生浪費，增加少了又會導致失去顧客，兩者之間很難進行平衡，所以必須對排隊系統進行系統研究。

排隊系統具有需求群體、到達過程、排隊結構、排隊規則、服務過程五個基本特征，這五個特征相互作用構成了排隊系統（如圖1所示）。

圖1 排隊系統圖解

（1）需求群體：在當今科技的很多領域中，各種各樣的關于排隊的情形有許多，在這些情形中，不難發現他們都包含需求服務的一面以及提供服務的一面，這些我們都把他們簡稱為客戶服務，對服務有需求的一方組成了需求的群體，而出現排隊情形的根本原因就是客戶需求的不確定性以及服務場所的限制性。

（2）到達過程：客戶從哪里來的以及如何到達的都有著很多的規律性，因此，到達的過程需要三個方面的說明：①構成顧客呼叫到達的整體是無限的也有有限的。②顧客呼叫到達所需要的時間，這之間的間隔是不是相互獨立的，連續的時間間隔內到達的可能性，滿足概率的分布。據服從到達時間的分布，我們可以把到達過程分為以下幾類：定長分布、指數分布（泊松分布）、負指數分布、Erlang分布、幾何分布、二項分布以及一般分布。③到達客戶來電的種類可以分成單分批到達、按時間到達、轉移狀態到達等;對于到達規則無特殊說明的都按照單分批到達。

（3）排隊結構：顧客在到達后，如果服務臺此時處于空閑狀態，顧客就可以得到及時的服務，從而使顧客得到滿意，但是在客戶到達之后，在這個時候服務器是很繁忙的，客戶這個時候就應該選擇排隊，這也就構成了許多不同結構的排隊樣式。

（4）排隊規則：排隊的要求具有以下特征，即服務于客戶裝備的數量和客戶所用裝備的時間長短，這樣的話可以分成等體制、損失制以及混合制。在客戶到達后，全部的服務窗口都被使用著，這時候客戶就必須來排隊，這個就稱為等待制。等待制可分為先來先服務、后來先服務、優先服務還有隨機服務。如果客戶先到達看見服務的裝備都被占用著而沒有選擇余地選擇離開，這個就叫做損失制。部分客戶排隊等候局限于有限的空間資源或環境條件，當超過一定的數量時，后來到達的客戶就要必須離開，這個也就構成了混合制。

（5）服務流程：關于服務的流程可以分為下面三個部分：座位數、每個需要的服務的時間所滿足的概率分布以及服務方式（串聯或并聯）。在數量上看，服務機構既可以是一個幫助臺，也可以是多個臺。從形式上看，當有很多個服務器的系統時，還能夠分成平行排列和串聯排列。所以，服務臺的構成形式有單隊的單服務臺式；單隊的多服務臺并聯式；多隊的多服務臺并聯式；單隊的多服務臺串聯式；單隊的多服務臺并串聯混合式；多隊多服務臺并串聯混合式等。在服務的過程中，如果隊伍移動的速度太慢使顧客等待的時間過長，顧客就會放棄加入隊伍，而去尋求其它服務，即使是已經在隊伍中的顧客，也有可能因為長時間的等待而在服務接受前退出隊伍，這些都會造成顧客的流失。在服務臺空閑時，會選擇一名顧客進行服務，服務結束后，顧客離開，在今后的一段時間內，顧客有可能繼續來接受服務，也有可能再也不需要這個服務。

2 到達間隔和服務時間的分布

通過對排隊問題進行求解，可以有效地對排隊系統效率進行研究，確定排隊系統參數的最優值，從而確定服務系統的合理性，并對其進行改進優化。判斷排隊系統的優劣性可以用數據指標來衡量。這些數據指標包括：①顧客在單位時間內到達服務系統的數量，也就是平均到達率，記為λ；②單位時間內接受服務顧客的平均離去率，記為μ；③在t時刻排隊系統中恰有n個顧客的概率Pn(t)；④服務系統內的平均顧客數量為隊長，記為L；⑤等待接受服務的平均顧客數量為等待隊長，記為Lq；⑥顧客從進入服務系統到離開的時間，記為W；⑦顧客等候服務的時間，記作Wq。

為了對服務系統進行有效地研究分析，必須要明確此服務系統屬于哪一個模型，然后要研究它的服務需求時間及空間的分布情況即其中只有顧客到達的間隔時間分布和服務時間的分布需要實測的數據來確定，其他因素都是出現時給定的。通常應用最多的收集數據的方法就是記錄到達的實際次數，將這些數據進行整理可以計算到達服務系統的的時間間隔。一般來說，到達服務系統的間隔時間通常呈定長分布、泊松分布、負指數分布、愛爾朗分布。在排隊論的模型中，泊松分布是最基本的模型，即顧客到達流是泊松流（Possion），它具有平穩性、無后效性及普通性的性質：

（1）平穩性：顧客到達服務系統的概率只和時間區間的長度和顧客的個數有關，而和區間的端點無關。也就是說在時間t+△t內，只有△t和n對其概率有影響，時刻起點t對此沒有任何影響。

（2）無后效性：指在互不重疊的時間段內，事件的發生是相互獨立的。即在時間t+△t內，起始時刻前到達服務系統的顧客數對于到達n個顧客的概率沒有影響。

（3）普通性：如果時間區間充分小，事件出現兩次或兩次以上的概率可忽略不計。即在充分小的△t這個時間間隔內，t+△t內當只有一個客戶到達服務器的時候，在t+△t這個時間內就會有兩個或者是兩個之上的客戶到達服務器的概率小之又小，是

在t的時間內到達服務系統n個顧客的概率為：

中國工程機械工業協會會長祁俊在致辭中說，山重建機在繼2011年北京工程機械展會上推出節能環保的混合動力挖掘機和電動挖掘機后，今年在上海寶馬展上又隆重推出了燃氣動力挖掘機等多款創新產品，這充分體現了山重建機在技能環保等方面的研發實力，零排放、零污染的技術變革正改變著工程機械行業發展的格局，進一步拓寬了市場需求。

當t=1時，即單位時間內到達n個顧客的概率為：

其中λ為單位時間內到達系統的顧客的期望值。

Possion分布給出了在t時間內有n位顧客到達的概率，如果給定λ值，則就可以描述到達過程（Possion過程其實是個離散型的概率函數）。

3 排隊模型的求解

如果按照排隊系統特征的各種可能情形來分類是很多的。但通用的分類方法是Kendall(1953)提出一個分類形式——X/Y/Z，即（1）相繼顧客到達間隔時間的分布，記為X；（2）服務時間的分布，記為Y；（3）服務臺個數，記為Z。

對于呼叫中心而言，一般采用的是M/M/C/∞/∞這個模型進行管理，假定呼叫中心在一個單位的時間的到達的概率是λ，并是單個列，而且還有C個服務器，并且是服務器是單個進行的，互不影響，并且每個服務臺的效率是一樣的，假定為μ( )Cμ＞λ，若此時顧客的數量是數不清的，而且將排隊的要求規定為等待制。

下面的是服務器的狀態的概率和部分主要的進行的指標：

（1）服務器的狀態概率

(2)系統的主要運行指標

4 實證分析

某集團公司客服呼叫中心有4臺可撥打電話，顧客的到達（信息、咨詢、投訴、查詢等服務）服從泊松分布規律。呼叫中心平均每個小時可到達12人，并且每人服務時間都服從指數分布，即每臺每小時平均服務4人，客戶到達后排成一列，依次接受服務。求：①4臺電話同時空閑的概率；②計算系統的L、Lq、W、Wq；③顧客到達后必須等待的概率。

該排隊系統是M/M/4/∞/∞模型，依題意：

①4臺電話同時空閑的概率

②按（4）分別計算L、Lq、W、Wq

③顧客到達后必須等待的概率

5 結論

本文以構建排隊的框架模型對呼叫中心的排隊管理展開了最優控制研究和探討，并采取實證分析進行驗證，通過這一模型，達到了當處在一定的服務器約束的時候形成的最優排班的管理。以下是本文相關的研究總結：

第一，現代呼叫中心作為信息化時代資源配置和市場競爭的公共通道具有重大的戰略意義和經濟價值，在呼叫中心行業快速發展的今天，作為呼叫中心的排隊功能也在不斷進步，任何一個呼叫中心系統都要不斷完善和改進該功能。當今的發展來看，我國的呼叫中心早已漸漸地進入到精細化管理的新階段，所以，不管是從呼叫中心的運行管理這方面還是說從人力資源管理的速度來看，科學的排班管理都會極大地提高其服務水平和運營效率。

第二，本文所提供的排隊論模型可以為呼叫中心的勞動力管理提供了有效的定量分析方法和工具，為呼叫中心的迅速提供了適當的參數指標。排隊論方法已成為提高呼叫中心管理效益的首選研究工具，排隊論模型應用于排班管理，為我們開展服務設計和性能的評價提供了理論依據。通過智能，面向數據的系統工具，對呼叫中心的運行狀況進行有力的數字分析，得到呼叫中心各個數量指標，并在此基礎上進行系統的優化，能夠快速且客觀地了解到客服系統的話務情況、座席的工作狀態，從而能夠較好的控制呼叫人員離職率和損耗訓練成本，提高座席利用率，并且有效的減少客戶排隊等候的時間，減少客戶的流失率，增加客戶滿意度和忠誠度。通過排隊論模型在排班管理系統的最優控制研究，使人力資源和顧客需求在一定程度上達到最優配置規模。

第三，本文所提供的排隊論模型對于諸如電信、航空、醫療、運輸、金融等眾多領域的排管管理問題同樣具有適用性。通過應用本文提供的排隊論模型，對這些領域服務對象到來的時間及服務的時間進行統計研究，得出需要的數量指標，并根據這些數據改進服務體系，這樣的話服務體系進行了優化，就可以既滿足客戶的需求，又能使人力資源配置和顧客到達過程的最優控制，為多領域的數字化管理提供了理論支持和實踐參考。

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