歸納推理與類比推理的比較

鄭州幼兒師范高等專科學校　翟金成

歸納推理與類比推理的比較

鄭州幼兒師范高等專科學校翟金成

中圖分類號：G42

文獻標識碼：A

文章編號：1671-864X（2015）03-0103-02

合情推理是數學的基本思維過程，也是人們學習和生活中經常使用的思維方式。在解決問題的過程中，合情推理具有猜側和發表結論，探索和提供思路的作用。有利于創新意識的培養。在學習中要把推理方法形成自己的解決問題的意識，使得問題的解決有章有法，得心應手。合情推理包括歸納推理和類比推理。

一、歸納推理和類比推理的聯系

歸納推理與類比推理都是根據已有的事實，經過觀察、分析、比較、聯想，再進行歸納、類比，然后提出猜想的推理。由這兩種推理得到的結論都不一定正確,其正確性有待進一步證明。

二、歸納推理和類比推理的區別

(一)歸納推理

1.歸納推理定義∶由某類事物的部分對象具有某些特征，推出該類事物的全部對象都具有這些特征的推理，或者由個別事實概括出一般結論的推理，稱為歸納推理（簡稱歸納）。簡言之，歸納推理是由部分到整體、由個別到一般的推理。

說明：歸納推理的思維過程大致如下：

2.歸納推理的特點∶

（1)歸納推理的前提是幾個已知的特殊現象，歸納所得的結論是尚屬未知的一般現象，該結論超越了前提所包容的范圍。

(2)由歸納推理得到的結論具有猜測的性質，結論是否真實，還需經過邏輯證明和實踐檢驗。因此，它不能作為數學證明的工具。

(3)歸納推理是一種具有創造性的推理．通過歸納推理得到的猜想，可以作為進一步研究的起點，幫助人們發現問題和提出問題。

歸納推理是從個別事實中概括出一般原理的一種推理模型，歸納推理包括不完全歸納法和完全歸納法。

3.歸納推理的一般步驟：

①通過觀察個別情況發現某些相同本質；

②從已知的相同性質中推出一個明確表達的一般性命題。

說明：歸納推理基于觀察和實驗，像“瑞雪兆豐年”等農諺一樣，是人們根據長期的實踐經驗進行歸納的結果．物理學中的波義耳—馬略特定律、化學中的門捷列夫元素周期表、天文學中開普勒行星運動定律等，也都是在實驗和觀察的基礎上，通過歸納發現的。

（二）類比推理（以下簡稱類比）1.類比推理定義∶由兩類對象具有某些類似特征和其中一類對象的某些已知特征，推出另一類對象也具有這些特征的推理稱為類比推理（簡稱類比）。簡言之，類比推理是由特殊到特殊的推理。

2.類比推理的一般步驟：

①找出兩類事物之間的相似性或一致性；

②用一類事物的性質去推測另一類事物的性質，得出一個明確的命題（猜想）。

3.說明：類比推理的思維過程大致如下圖所示：

類比推理是在兩類不同的事物之間進行對比，找出若干相同或相似點之后，推測在其他方面也可以存在相同或相似之處的一種推理模式。類比推理不象歸納推理那樣局限于同類事物,同時,類比推理比歸納推理更富于想像,因而也就更具有創造性。人類在科學研究中建立的不少假說和教學中許多重要的定理，公式都是通過類比提出來的,工程技術中許多創造和發明也是在類比推理的啟迪下而獲得的。因此，類比推理已成為人類發現發明的重要工具。

三、典例剖析

例1.觀察下列等式∶

12=1

12-22=-3

12-22+32=6

12-22+32=-10

照此規律,第n個等式可為____.

本例是利用歸納推理解決問題的，作為歸納推理的“集散地”，以數列為背景是常見的命題形式，通過數列呈現的規律來確定數列的某一項，具有一定的難度，且具有時代性。考察觀察、歸納、推理能力。

由歸納推理所得到的結論不一定正確，但它所具有的特殊到一般的性質對數學的發展有著十分重要的作用，應用時首先分析清楚題目的條件，合理歸納．

例2.求一個質數，當它分別加上10和14時仍為質數.

【分析】我們可以采用歸納推理,先由具體的數計算開始,再歸納猜想一般性的結論.

【解析】用歸納法進行試驗∶

2+10=12，2+14=16，質數2不合要求；

3+10=13, 3+14=17，質數3不合要求；

5十10=15，5+14=19，質數5不合要求；

7+10=17, 7+14=21,質數7不合要求.

……

歸納上述結論，可以猜想,3是符合要求的質數．

聯想發散∶歸納推理是通過對一些個別、特殊情況的觀察與分析，導出一般結論的推理方法，利用歸納猜想，可以探索數學規律，探究解題途徑。但是結論的正確性還有待于邏輯上的證明。本題中由于質數的變化無規律，不能用解析式把它表示出來，因此若能證明除了3之外的所有自然數分別加上10和14不能都是質數，也就證明了除3以外的所有質數加上10和14不能都是質數．事實上，自然數可分為三類3n , 3n+1，3n+2(n足正整數）；∵（3n+1）十14=3（n十5）是合數；（3n十2)+10=3(n+4)是合數；

∴3n+1和3n+ 2這兩類自然數中的質數都不符合要求，而3n這類自然數中，只有當n=1時,3n才能是質數，其余都是合數，因此符合條件的質數只有3.

例3.如圖，過四面體V-ABC的底面上任一點O分別作OA1∥VA，OB1∥VB，OC1∥VC，A1，B1，C1分別是所作直線與側面交點。求

【分析】考慮平面上的類似命題：“過△ABC（底）邊AB上任一點O分別作OA1∥AC，OB1∥BC，分別交BC、AC于A1、B1，求證為定值”．這一命題利用相似三角形性質很容易推出其為定值1．另外，過A、O分別作BC垂線，過B、O分別作AC垂線，則用面積法也不難證明定值為1．于是類比到空間圍形，也可用兩種方法證明其定值為1．

【證明】如圖，設平面OA1 VA∩BC=M，平面OB1 VB∩AC=N，平面OC1 VC∩AB=L，則有△MOA1∽△MAV，△NOB1∽△NBV，△LOC1∽△LCV．得。

在底面△ABC中，由于AM、BN、CL交于一點O，用面積法易證得：。

通俗地說，合情推理是指“合乎情理”的推理。數學研究中，得到一個新結論之前，合情推理常常能幫助我們猜測和發現結論；證明一個數學結論之前，合情推理常常能為我們提供證明的思路和方向。