向量“搭臺”，圓來“唱戲”——例談借助圓解決向量的模與夾角有關(guān)的最值問題

張增明

（浙江麗水外國語實驗學(xué)校）

向量是近代數(shù)學(xué)中的重要和基本概念之一，是溝通代數(shù)、幾何與三角函數(shù)的一種工具，具有幾何形式和代數(shù)形式的“雙重身份”，是中學(xué)數(shù)學(xué)知識的一個交匯點和聯(lián)系多項內(nèi)容的媒介。高考命題中往往在知識網(wǎng)絡(luò)的交匯點上設(shè)計試題，而平面向量與圓的交匯命題是常考題型。這類問題往往以平面向量搭建數(shù)學(xué)“舞臺”，以圓中最值問題為“主角”，解決向量中的最值或范圍問題.

一、確定問題與圓有關(guān)的常見條件

1.定義：到定點的距離等于定長的點的軌跡是圓；

3.△ABC中，若A=α，BC=a則點A的軌跡是△ABC外接圓上的一段弧，并且外接圓直徑

4.方程：方程（x-a）2+（y-b）2=r2（r＞0）表示以（a，b）為圓心，r為半徑的圓；

5.平面四邊形中，若對角互補，則四個頂點共圓；

6.阿波羅尼斯圓（阿氏圓）：在平面上給定兩個相異的點A，B，設(shè)P點在同一平面上滿足則P點的軌跡是圓，這個圓稱作阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓.

二、借助圓解決與向量模有關(guān)的最值問題

（一）利用圓外一點與圓上點距離的最值求解向量模的最值

因此點C在以D為圓心，AB為直徑的圓D上.

追根溯源：

1.此類問題中幾何法的實質(zhì)是半徑為r圓C上任意一點P與圓外定點M距離的最大值與最小值問題，一般結(jié)論是：

2.考題鏈接

以此為背景，高考及平時的測驗中出現(xiàn)了很多典型試題，如：

（1）（2014湖南理，8）已知點A，B，C在圓x2+y2=1上運動且AB⊥BC，若點P的坐標為（2，0），則的最大值為（ ）

（2）（2014湖南文，10）在平面直角坐標系中，O為原點，A（-1，取值范圍是 （ ）

（二）利用圓中弦長的最值求解向量模的最值

追根溯源：

1.本質(zhì)探究

以上兩個問題中用到了兩個常見的結(jié)論：

（1）在△ABC中，若A=α，BC=a，則點A的軌跡是△ABC外接圓上的一段弧，并且外接圓直徑.

（2）直徑是圓中最長的弦，而過圓內(nèi)定點的弦中最短的弦是與過該點的直徑垂直的弦.

2.鏈接高考

以上面的兩個結(jié)論為背景，在高考中出現(xiàn)了很多典型試題，如：

3.問題拓展

在△ABC中，若A=α，BC=a則△ABC的面積S的最大值為有最大值為

證明：在△ABC中，若A=α，BC=a則點A的軌跡是△ABC外接圓上的一段弧.

此時高經(jīng)過外接圓圓心，△ABC是以BC為底邊的等腰三角形.

（三）利用直線與圓的位置關(guān)系求解向量模的最值

因此直線OA與圓C有公共點.如圖，作圓的切線OD，連接CD.

（四）利用圓與圓的位置關(guān)系求解向量模的最值

因此圓O與圓D存在公共點，顯然當(dāng)兩圓外切與內(nèi)切時，圓D的半徑最小與最大，即取得最小值與最大值.

三、教學(xué)啟示

1.向量問題的代數(shù)運算可以有效考查學(xué)生的運算、變形能力，但對于解題來說，有時顯得過于繁瑣，而幾何方法不但可化繁為簡，更主要的是訓(xùn)練學(xué)生的思維，開闊學(xué)生的視野，增強學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，提高解題效率，讓學(xué)生陶醉于數(shù)形結(jié)合的美好境界。因此上面例題的解法筆者均采用的是幾何法，而平時的教學(xué)中也應(yīng)該多側(cè)重幾何法，以揭示題目背后的幾何實質(zhì)。

2.俗話說：“講什么比怎么講更重要”，因此在平時的教學(xué)中教師應(yīng)該多多研究高考題，研究高考方向，確定講什么；多研究高考試題中的通性通法，確定怎么講，借助圓的知識研究向量模與夾角的最值便是很好的例子.