Excel在單擺運動分析中的應用

熱合買提江·依明， 阿合買提江·依明江

(新疆大學 數學與系統科學學院，新疆 烏魯木齊 830046)

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Excel在單擺運動分析中的應用

熱合買提江·依明， 阿合買提江·依明江

(新疆大學 數學與系統科學學院，新疆 烏魯木齊 830046)

本文運用求常微方程數值解的四階龍格-庫塔方法，確定了描述單擺運動的非線性微分方程數值解的龍格-庫塔公式；用Excel的迭代計算和循環迭代功能確定了數值解，求出單擺在各個時刻的速度和位置；巧用繪制圖像和實現動畫功能“數”、“形”及“動”連貫形象直觀地演示了單擺運動的動態模擬仿真；實現交互性，建立了不同參數情況下研究單擺運動和模擬的平臺，得出了單擺無阻尼、有阻尼、擺角為任何角度值時，速度和位置的數值解，速度和位置的曲線和相應的相圖；結果顯示，Excel在單擺運動分析中的應用，不僅實現數值計算、繪制圖像和動畫演示，而且彌補實際實驗的不足，為物理理論和實驗的計算機輔助教學提供了一種簡單、直觀、高效的方法。

數值解；單擺；Excel；動態模擬；交互性

0 引 言

單擺運動是一個理想的物理學模型，在物理學中有著非常重要的作用。現在大多數“大學物理”教材中[1-2]討論單擺運動時，只討論了小角度擺動時的近似線性運動問題，單擺的一般運動問題幾乎不討論。主要原因是討論一般單擺運動中考慮大角運動和阻尼時，描述它運動的微分方程是一個非線性微分方程，沒有解析解。在教學和實驗過程通過適當的數值方法求其數值解，并與計算機軟件技術相結合，演示單擺的動態運動仿真，與實際試驗比較，幫助學生正確掌握和研究其運動過程、分析各因素對單擺運動的影響，提高物理理論和實驗教學的效果。雖然，進行數值計算和仿真的軟件種類挺多，如Fortran[3]、Matlab[4-7]、LabVIEW[8]、Origin[9]等，這些軟件的功能強大、界面友好，但是這些軟件的普及性較低，入門不易，具有較強的專業性，學生在短時間內掌握和應用不到位。

當前普及性最高、功能強大的辦公應用軟件MS. OFFICE的組件之一：Excel的基本操作已為廣大師生非常熟悉而且功能直觀、數據輸入界面簡便，使操作者易于接受、便于掌握其功能[10-11]。此外Excel具有較強的數值迭代計算[13-14]和繪制圖像可視化功能[15]，合理正確地使用Excel的這些功能可以實現動態仿真[16]，本文用Excel的高效數值計算和繪制圖像功能動態仿真演示單擺運動，為物理理論和實驗的計算機輔助教學提供了一種簡單、直觀、高效的方法。

1 單擺運動微分方程和數值算法

1.1 單擺運動微分方程

最基本的單擺絕對撓性且長度不變、質量可以忽略不計的一根繩子或一條竿和一個錘組成，錘系在繩或竿的下方，繩或竿的另一端固定，錘來回移動，假設單擺繩子的長度為l，錘的質量為m,擺動角度為θ,則考慮空氣阻尼時，所受的阻尼為qdθ/dt(q為阻尼系數)，由牛頓第二定理得描述單擺運動的微分方程為

(1)

其中，θ0和v0分別是初始擺角和初始驅動速度。

當q=0時，方程(1)描述無阻尼單擺運動方程。無阻尼而且擺角很小0<ω≤5°的情況下，可以假設θ≈sinθ，此時單擺運動方程變為二階常系數線性微分方程，可以確定解析解。一般情況下方程(1)沒有解析解，因此要用適當的數值方法求其數值解進行分析。

1.2 數值算法

設dθ/dt=v，則方程(1)變為如下二元一階非線性常微分方程組：

(2)

式中，θ是位置，v是單擺的擺動速度

由求常微分方程數值解的四階龍格-庫塔公式[12],求方程(2)數值解的計算式為：

K11=vn

(3a)

(3b)

K12=vn+hK21/2

(3c)

(3d)

K13=vn+hK22/2

(3e)

(3f)

K14=vn+hK23

(3g)

(3h)

(3k)

(3i)

其中，h是時間步長。

2 用Excel數值計算

2.1 位置和速度的計算

如圖1所示，打開Excel表格輸入重力加速度、單擺線長度、阻尼系數、初始位置、初始驅動速度、開始時間、模擬終止時間、時間步長等參數。

圖1 輸入初始條件

如圖2所示，在單元格D2、E2和F2中分別輸入：=B6、=B4和=B5；用式(3a)及(3b)在單元格G2和H2中分別輸入：=F2，=-B3*F2-B1/B2*SIN(E2)；用式(3c)及(3d)在單元格I2和J2中分別輸入：=F2+B8/2*H2，=-B3*(F2+B8/2*H2)-B1/B2*SIN(E2+B8/2*G2)；用式(3e)及(3f)在單元格K2和L2中分別輸入：=F2+B8/2*J2，=-B3*(F2+B8/2*J2)-B1/B2*SIN(E2+B8/2*I2)；用式(3g)及(3h)在單元格K2和L2中分別輸入：=F2+B8*L2，=-B3*(F2+B8*L2)-B1/B2*SIN(E2+B8*K2)；用式(3k)及(3i)在單元格E3和F3中分別輸入：=E2+B8/6*(G2+2*I2+2*K2+M2)，=F2+B8/6*(H2+2*J2+2*L2+N2)；在單元格D3中輸入：=D2+B8。

元格區域G2:N2中的公式復制到單元格區域G3:N3中,然后單元格區域D3:N3中的公式復制到單元格區域G102:N102中得如圖3所示的結果。

圖2 輸入初始公式

圖3 位置和速度計算結果

2.2 當時位置和速度的計算

首先調試Excel的工作簿計算模式,選擇“文件”→“選項”→“公式”。

在單元格B9中輸入計算總次數的計算公式：=(B7-B6)/B8；在單元格B10中輸入實現循環和計算當前計算步驟的計算公式：=IF(B10

在單元格區域P2:Z2中輸入的計算公式與如圖2中單元格區域D2:N2的計算公式一樣。單元格P3中輸入=IF(B10<=1,P2+B8,P4+B8)；

單元格Q3中輸入=IF(B10<=1,Q2+B8/6*(S2+2*U2+2*W2+Y2), Q4+B8/6*(S4+2*U4+2*W4+Y4))；

單元格R3中輸入=IF(B10<=1,R2+B8/6*(T2+2*V2+2*X2+Z2), R4+B8/6*(T4+2*V4+2*X4+Z4))；

單元格P4中輸入=IF(B10<=1,P2+2*B8,P3+B8)；

單元格Q4中輸入=Q3+B8/6*(S3+2*U3+2*W3+Y3)單元格R3中輸入=R3+B8/6*(T3+2*V3+2*X3+Z3)；

單元格區域S2:Z2中的公式復制到單元格區域G3:N3中,然后單元格區域D3:N3中的公式復制到單元格區域S4:Z4中。

得如圖5所示的結果。

圖5 計算當前位置和速度

2.3 顯示單擺擺動有關數據的輸入

在單元格AB2、AC2、AB3和AC3中分別輸入=-B2/2、=B2、=B2/2和=B2；

在單元格AD2、AE2、AD3和AE3中分別輸入=0、=B2、=B2*SIN(Q4)和=B2-B2*COS(Q4)。

如圖6所示。

圖6 單擺擺動有關數據

3 繪制Excel實時動態演示圖

3.1 繪制位置曲線、速度曲線和相圖

選擇“插入”→“選散點圖”→“添加”,如圖7所示。

圖7 繪制圖形對話框

在“系列名稱”內填“位置曲線”，在“X軸系列值(X)”內填“=Sheet！$D$2:$D$102”，

在“Y軸系列值(Y)”內填“=Sheet1!$E$2:$E$102”；再選擇“添加”，

在“系列名稱”內填“速度曲線”，在“X軸系列值(X)”內填“=Sheet！$D$2:$D$102”，

在“Y軸系列值(Y)”內填“=Sheet1!$F$2:$F$102”；再選擇“添加”，

在“系列名稱”內填“當前位置”，在“X軸系列值(X)”內填“=Sheet1!$P$4”，在“Y軸系列值(Y)”內填“=Sheet1!$Q$4”；

再選擇“添加”，

在“系列名稱”內填“當前速度”，

在“X軸系列值(X)”內填“=Sheet1!$P$4”，

在“Y軸系列值(Y)”內填“=Sheet1!$R$4”；再選擇“添加”，

在“系列名稱”內填“相圖”，

在“X軸系列值(X)”內填“=Sheet1!$F$2:$F$102”，

在“Y軸系列值(Y)”內填“=Sheet1!$E$2:$E$102”；

按“確定”鍵后對圖形進行修飾得如圖8所示的結果。

圖8 無阻尼單擺置曲線、速度曲線和相圖

3.2 繪制單擺動態擺動圖

選擇“插入”→“選散點圖”→“添加”；

在“X軸系列值(X)”內填“=Sheet1!$AB$2:$AB$3”，

在“Y軸系列值(Y)”內填“=Sheet1!$AC$2:$AC$3”；

再選擇“添加”，

在“X軸系列值(X)”內填“=Sheet1!$AD$2:$AD$3”，

在“Y軸系列值(Y)”內填“=Sheet1!$AE$2:$AE$3”；

再選擇“添加”，

在“X軸系列值(X)”內填“=Sheet1!$AD$3”，

在“Y軸系列值(Y)”內填“=Sheet1!$AE$3”；

按“確定”鍵后對圖形進行修飾得單擺演示圖。

3.3 演示和應用

以上所說的操作完成以后，按住功能鍵F9，單元格B10中的當前步驟，每一次增加一，在1到100之間循環，使得圖10所示單擺開始擺動，隨著單擺的擺動圖9中的當前位置和當前速度沿著位置曲線和速度曲線開始運動。

圖1 中的重力加速度、單擺線長度、阻尼系數和初始位置等參數多可以隨時改變，圖9是阻尼系數改為0.2時，位置曲線、速度曲線和相圖的變化。

用這個Excel表格平臺，經過觀察其動態演示過程清楚的看到位置(擺角)最大時，速度為零；一個周期擺動所需時間可以近似估計周期，隨著阻尼的增加擺角減小等等。

圖9 有阻尼單擺位置曲線、速度曲線和相圖

4 結 語

本文提出的基于Excel實現的單擺運動模擬方法的最大特點是單擺擺動運動的位置和速度實時變化過程，通過“數”、“形”及“動”連貫直觀的動態顯示。另外本方法有很好的交互性，對不同的參數進行數值模擬，直觀和方便的觀察到不同參數對單擺運動的影響。Excel簡單易學，不需要掌握其它軟件和程序設計語言，學生根據所學的書上知識和教師的引導可以實現單擺運動模擬，可以加深學生對理論知識的理解，提高物理理論教學和實驗教學的質量，另外本文呈現出Excel在數值迭代計算、數據可視化和實時動態仿真功能的潛力，有望進一步將Excel應用到物理理論和實驗教學的其他內容。

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Application of the Excel on Analysis of Pendulum Motions

RahmatjanImin，AhmatjanIminjan

(School of Mathematics and Systems Science, Xinjiang University, Urumqi 830046， China)

The differential equation of free vibration pendulum movement is described by a second order nonlinear ordinary differential equations. Generally it cannot be solved by analytical methods, the numerical methods are then needed to solve this equation. This paper used Runge-Kutta method which is to find numerical solution of ordinary differential equations to determine the Runge-Kutta formulas of nonlinear differential equations of the pendulum movement. The numerical solution was determined based on iterative computation and cyclic iteration function of Excel, and found the velocity and position of pendulum in each moment. Through drawing image and animation visually it demonstrated the dynamic simulation of pendulum movement by using “numeric”, “figure” and “move” coherently. Interactive platform was established to study pendulum movement and simulation in different parameters, numerical solutions and figures of velocity and position and also the phase diagrams can be obtained with damped, undamped and any vibration angle of pendulums. The result showed that the application of Excel on analysis of pendulum can realize the numerical computation, the visual image drawing and animation; meanwhile it has made up the lack of the actual experiment. Computer-aided instruction for theoretical and experimental physics provided simple, intuitive and effective method.

numerical solution; pendulum; Excel; dynamic simulation; interaction

2014-05-26

國家自然科學基金(No.51075346)

熱合買提江·依明(1974-)，男，維吾爾族，新疆伊犁人，碩士，講師，主要從事公共教學和工程數值計算及其模擬研究，

Tel.：13669931900；E-mail:rahmatjanim@gmail.com

阿合買提江·依明江(1969-)，男，維吾爾族，新疆伊犁人，副教授，碩士，主要從事公共教學和基礎教學研究。

Tel.：13199917691；E-mail:ahmetjan69@hotmail.com

TH 113.2;G 642.0

A

1006-7167(2015)01-0113-05