考慮噪聲因子的永磁同步電機轉矩脈動分布特性分析

武志勇，郭宏，錢浩

（北京航空航天大學自動化科學與電氣工程學院，北京 100191）

考慮噪聲因子的永磁同步電機轉矩脈動分布特性分析

武志勇，郭宏，錢浩

（北京航空航天大學自動化科學與電氣工程學院，北京 100191）

針對永磁同步電機在批量生產過程中，受到電機尺寸加工偏差及材料屬性偏差等噪聲因子的影響，存在批量生產電機的轉矩脈動峰值會產生分散性的問題。為了研究存在噪聲因子條件下轉矩脈動峰值的分布特性，通過采用敏感性分析的方法得到了影響轉矩脈動峰值的主要噪聲因子包括磁鋼形位公差和材料屬性偏差，槽口尺寸偏差及氣隙尺寸偏差。通過理論分析和解析計算得到了存在噪聲因子的情況下，批量生產的電機產品轉矩脈動峰值的統計分布規律。得出在電機可行設計域內，不同電機設計方案，其批量產品轉矩脈動峰值的均值和標準差呈正比關系，并通過粒子群優化結果證明了結論的有效性。

永磁;同步電機;敏感性分析;統計分析;轉矩

0 引言

永磁同步電動機具有反電勢正弦度好、控制性能優良、等諸多優點，廣泛應用于高精度電機伺服系統內。限制永磁同步電機整體性能提升的關鍵問題在于電機的轉矩脈動［1－4］。轉矩脈動作為高精密伺服系統的寄生特性，一直受到人們的重視。國內外學者對轉矩脈動開展了深入的機理分析并研究從電機設計層面對轉矩脈動峰值進行有效的抑制。

但是，在實際生產過程中，產生了如下兩個問題，其一，由于加工過程存在不可抑制的結構尺寸公差和材料屬性偏差等噪聲因子，而轉矩波動又對這些噪聲因子異常敏感，進而造成了實際加工之后，電機轉矩脈動值偏離了設計期望值。其二，由于在批量生產的電機中，每臺電機的噪聲因子情況均不一致，從而造成了在批量生產電機內部，轉矩脈動峰值呈現一定的分散性。這就使得初始的電機設計期望值無法正確的反映出批量電機內部轉矩脈動的特性。進而影響了伺服系統的控制性能。

為了研究轉矩脈動峰值在批量生產電機內部的分布規律，一些文獻針對此問題開展了分析。文獻［5－6］重點分析了磁鋼加工偏差條件下，齒槽轉矩峰值在批量電機內部的分布情況，文獻［7］對由磁鋼偏差引起的反電勢有效值的分散性進行統計分析。文獻［8］針對轉矩脈動在存在加工偏差的條件下，進行電機結構尺寸優化，提升電機系統的穩健性。

從上述文獻可以總結出，首先，由于電機性能的分散性由加工公差引起，因此在分析批量電機關鍵特性的分散性時，文獻均針對影響性能分散性最甚的偏差進行處理。比如磁鋼偏差等。其次，這些文獻均采用了統計的手段對分散性進行描述。這種統計學規律往往可以由樣本的均值和標準差來表示。均值反映了批次電機整體性能與設計目標值所接近的程度，標準差反映的為批次電機的性能分散性。通過這兩個統計學變量，能夠較為直觀的反映出批量電機特性的整體分布規律。

在解決轉矩脈動分布問題中，均值和標準差之間的關系值得進一步深入研究，其反映了批量電機關鍵特性的分布情況，對兩個變量關系的研究也是對電機性能分布的研究。通過對均值和標準差的統計分析，可以得到在一定的公差條件下，批量電機在制造過程中所呈現的分布規律。目前，文獻已對齒槽定位轉矩和反電勢波形進行了有效的分析，還沒有針對轉矩脈動分散性的有效統計分析。本文通過理論分析和解析計算討論了各種加工偏差對均值和標準差的影響程度，研究了在可行域內考慮加工偏差等噪聲因子后電機轉矩脈動特性的均值和標準差之間的關系。

本文首先針對電機制造過程中產生的電機尺寸和形位公差進行敏感性分析，得到對于電機關鍵特性較為敏感的噪聲因子。之后針對幾種典型的電機制造公差，對批次電機在可行域內均值和標準差的分布規律進行理論推導和解析計算，得到了均值和標準差之間的數值關系。最后采用粒子群算法分別將均值和標準差作為優化目標進行優化，通過優化結果證明了結論的有效性。

1 噪聲因子敏感性分析

對于噪聲因子的敏感性分析是轉矩脈動統計分析的前提。在電機加工過程中，噪聲因子主要包括以下幾種:

1）定子和轉子部分:槽開口誤差（Δbo），氣隙偏差（Δa－g），轉子偏心（ΔInn）。

2）磁鋼部分:磁鋼厚度（Δw），磁鋼貼偏（Δδ），剩磁偏差（Δbr），充磁角度偏差（Δθ）。

噪聲因子示意圖如圖1所示。

圖1 電機各種偏差示意圖Fig.1The tolerances of the motors

敏感性分析主要通過計算含噪聲因子情況下與理想無噪聲因子條件下轉矩脈動峰值的比值，得到轉矩脈動對于各噪聲因子的敏感程度。

本文選擇兩種較為典型的分數槽集中繞組永磁同步電機作為敏感性分析的對象，分別是14極18槽電機以及22極24槽電機。這兩種分數槽集中繞組永磁同步電機的反電勢正弦度好，能夠抑制由于反電勢非正弦造成的轉矩脈動，同時兩種電機的槽數和磁鋼數的公倍數較大也相對削弱了電機的齒槽轉矩。由于這兩種極槽配合的電機轉矩脈動值較小，噪聲因子會導致實際生產值嚴重偏離設計期望值，造成了設計和生產結果之間的很大的誤差。因此采用這種低轉矩脈動的永磁同步電機極槽配合結構進行敏感性分析是十分必要的。

電機的初始設計方案已經完成。具體電動機參數見表1。

表1 電機初始化設計方案Table 1Motor initial design parameter

由于電機轉矩脈動可分為電磁轉矩脈動（Tem）以及齒槽轉矩（Tcogg）兩部分，因此對轉矩脈動這兩個部分分別進行敏感性分析。

在敏感性分析中噪聲因子不同尺度的公差帶也會對敏感性產生影響，為了避免由于公差帶選擇過大或過小干擾敏感性分析的結果，14極18槽電機的部分噪聲因子選擇2～3個公差帶，綜合分析在不同公差標準的情況下，噪聲因子的敏感程度，所有公差帶的選取參考國標GB/T 1800.3要求。敏感性分析采用有限元方法進行。在有限元計算時，針對每種電機模型均進行3次網格剖分，并檢查計算結果誤差在1%范圍之內，從而避免了由于有限元時空離散對計算結果所造成的影響。有限元結果如表2，3所示，表中的百分比是指含噪聲因子時與理想無噪聲因子時相比，轉矩脈動峰值相對增加的百分比。

根據敏感性分析結果可以得出:Tem和Tcogg對于Δδ，ΔBr，Δθ三個噪聲因子異常敏感，噪聲因子的微小偏差會造成轉矩脈動特別是齒槽轉矩的強烈變化。同時Δbo以及Δa_g對于齒槽轉矩也較為敏感，因此根據以上結論，在統計分析時針對如下幾個噪聲因子進行:Δδ，ΔBr，Δθ，Δbo以及Δa－g。以上分析是依據設計資料和計算結果得到。

表2 電機定子和轉子部分尺寸偏差的敏感性分析Table 2Sensitive analysis of the size errors of the stators and rotors

表3 電機磁鋼部分尺寸偏差的敏感性分析Table 3Sensitive analysis of the size errors of the magnets

2 批量生產電機轉矩脈動峰值均值和標準差分析

本節分析電機在各種噪聲因子作用下，批量生產電機轉矩脈動峰值的統計規律以及均值和標準差之間的關系。根據敏感性分析的結果，轉矩脈動峰值對磁鋼類噪聲因子最為敏感，因此主要對磁鋼類噪聲因子造成的影響進行分析。首先通過理論推導對批量電機轉矩脈動均值和標準差之間的關系進行說明，隨后采用解析計算方法對批量生產電機轉矩脈動的統計分布進行解析計算。本節計算所使用的電機案例為上節所述的14極18槽電機。

2.1 磁鋼類噪聲因子

主要針對Δδ，ΔBr，Δθ這三種磁鋼類噪聲因子展開研究。

根據文獻［5－6］可知，電機的轉矩脈動可分為固有的轉矩脈動（TNHC）和附加轉矩脈動（TAHC）。其中，TNHC為電機不存在噪聲因子時轉矩脈動的固有部分。而TAHC為考慮噪聲因子作用后，附加的轉矩脈動部分。磁鋼偏差如圖2所示;

圖214 p18s電機磁鋼偏差示意圖，每塊磁鋼包含磁鋼貼偏，剩磁偏差，以及充磁角度偏差.Fig.2Tolerances of the 14 poles and 18 slots motors，including the magnet misplacements，Br errors and magnetization directions errors

當磁鋼的偏差遠小于磁鋼名義尺寸時，計算由磁鋼偏差所產生的TAHC可進行兩種近似處理。

1）由各噪聲因子作用產生的TAHC與噪聲因子數值之間呈線性關系;

2）各塊磁鋼產生的TAHC之間滿足相移關系;

文獻［5，7］針對以上兩個近似處理有詳細的理論證明。當不考慮磁路飽和時，上面的結論嚴格成立，當考慮磁路飽和時，結論近似成立。

根據以上的近似，首先得到一塊磁鋼單位偏差產生的TAHC的波形，通過相移和比例縮放及線性加權可得到各塊磁鋼噪聲因子總作用下的TAHC波形。

在電機加工制造過程中，上述三種磁鋼類噪聲因子在實際工程加工中常按標準正態分布處理［5，7］。其分布規律如下所示:

其中，σerr為三種磁鋼誤差的標準差。將σerr數值作為單位偏差數值。根據單位偏差數值對噪聲因子進行歸一化處理。

其中，σδ，σθ，σbr分別為三種公差的標準差。因此，Δδ'，Δθ'，Δbr'∈［～，N（0，1）］。

由于三種噪聲因子的推導過程一致，因此在計算時由Δerr'統一代表Δδ'，Δθ'，Δbr'不再單獨列寫表達式。

通過以上的分析，當各磁鋼存在噪聲因子時，噪聲因子產生的TAHC可由傅里葉級數展開式表示為:

在分析過程中，各個頻次的幅值是考慮的核心問題。其表達式可以寫為:

當h≠nNm，n=1，2，3…時為一閉合矢量和;其向量大約有一半的長度在實軸上，一半在虛軸上。因此

由于上式的實部和虛部兩部分為標準差相同的正態分布，因此向量的模值服從瑞利分布。瑞利分布的期望為，標準差為

因此，當h≠nNm，n=1，2，3…

可以看到，磁鋼誤差導致的轉矩脈動分散性，其期望和標準差都與電機本身的電磁環境（h）相關，并且還與磁鋼的塊數以及磁鋼偏差的分布相關。根據上述推導可知:

從式11中可以看到，附加轉矩脈動峰值在大部分頻次的期望和標準差均成正比，而在一些頻次上均值和標準差的規律則有變動。轉矩脈動峰值是對各頻次的峰值進行矢量求和的結果。因此轉矩脈動的峰值會由一些含有較大轉矩脈動均值和標準差的頻次所主導。雖然期望和標準差的比值會有所改變，但其整體上應仍呈現正比關系。

上述是針對一種噪聲因子獨立作用時的分析結論，當三種噪聲因子共同作用時，由于三種偏差的幅值遠小于磁鋼尺寸和材料屬性名義值，其各自作用產生的TAHC可看做相互獨立的隨機變量，當加權三種噪聲因子的計算結果后，不改變均值和標準差之間的比例關系。

因此可得出當電機存在磁鋼類噪聲因子時，其轉矩脈動的分布規律服從均值和標準差呈正比的正態分布。

為了進一步驗證得到的結論，通過仿真模擬實際批量生產的電機轉矩脈動的分布情況對上述理論推導進行驗證。為了符合實際工況的需要，對電機的可行設計域進行限定，其可行設計域的上下限如表4所示。在電機可行設計域內對電機的各尺寸進行隨機組合，選取50個電機設計方案作為實驗對象，每個實驗對象在磁鋼公差帶范圍內隨機生成1 000臺電機樣本，其中的每塊磁鋼三種噪聲因子均嚴格服從正態分布。

盡管有限元計算能夠有效的得到精確的轉矩脈動波形，但采用有限元方法對此問題進行計算時會消耗大量的計算時間。因此，本文采用建立解析模型方法代替有限元方法用以計算轉矩脈動特性。文獻［9－10］提出的Exact Subdomain方法在電機磁路弱飽和時能夠精確的得出電機的電磁分布規律，本文針對Exact Subdomain方法對其進行改良，使其能夠有效的計算加工偏差對轉矩脈動的影響。雖然Exact Subdomain方法是基于電機開路的電磁解析計算方法，在處理帶載問題時會受到磁路飽和的影響產生一定的計算誤差，但針對統計學的計算，由于噪聲因子對電機磁路飽和程度的影響非常小，在含有不同噪聲因子的各電機內，由飽和所造成的計算偏差程度基本一致，因此飽和對于均值和方差的影響可近似視為相同且對均值和方差的整體關系不構成顛覆性的影響。因此采用Exact Subdomain方法能夠有效的反映兩者之間的數值關系。在計算時重點考慮了磁鋼貼偏，磁鋼的剩磁誤差以及充磁方向偏差情況下的磁場分布。

表4 電機設計變量可行域范圍及噪聲因子范圍Table 4Range of the parameters and the noise factors

采用解析方法對50個電機設計方案的1 000臺含噪聲因子的樣本進行轉矩脈動計算，分別得到各實驗對象轉矩脈動峰值均值和標準差值。

通過解析計算，50個電機設計方案轉矩脈動峰值的均值和標準差分布規律如下圖所示:根據圖3所示，各電機設計方案的均值和標準差基本呈現正比關系。

圖3 50個電機設計方案轉矩脈動均值和標準差Fig.3Expected values and the standard deviation of the torque ripple peak values in 50 motors

2.2 定子噪聲因子

關于定子類噪聲因子，主要針對Δbo和Δa_g展開研究，如圖4所示。根據敏感性分析的結論，兩種噪聲因子對轉矩脈動峰值的影響要遠小于磁鋼類噪聲因子的影響。因此這里不做理論推導，而是通過解析計算的方法得到存在兩種偏差情況下轉矩脈動的分布特性。

圖4 14p18s電機槽口偏差以及氣隙偏差示意圖Fig.4Slots and air gap errors of the 14p18s

在電機設計可行域之內，選擇50個電機設計方案，每個實驗對象在定子偏差公差帶范圍內隨機生成1 000臺樣本，得到50個電機設計方案均值和標準差的分布圖如圖6、圖7所示。圖5為槽口偏差時的分布圖，圖6為氣隙誤差的分布圖。從圖中可以看到槽口偏差所引起的性能分散性，轉矩脈動峰值的均值和標準差沒有任何聯系，是呈散亂分布的。而氣隙偏差近似呈現正比關系，但與磁鋼相比分布較散亂。

圖5 50個電機設計方案存在槽開口偏差時轉矩脈動均值和標準差Fig.5Expected values and standard deviations of the torque ripple in 50 motors

圖6 50個電機設計方案存在氣隙偏差時轉矩脈動均值和標準差Fig.6Expected values and standard deviations of the torque ripple in 50 motors

2.3 同時存在定子和磁鋼噪音因子

當電機同時存在磁鋼和定子噪聲因子時，同樣在可行設計域內隨機組合50個電機設計方案，電機的各種噪聲因子均在所給定的公差帶內變動，服從正態分布規律。每個電機設計方案進行1 000臺樣本的轉矩脈動計算，得到50個電機設計方案轉矩脈動的均值和標準差。其分布可由圖7所示。

圖7 50個電機設計方案在定子和磁鋼主要噪音因子存在的條件下轉矩脈動的均值和標準差。選擇1#，2#，3#電機進一步的樣本統計分布規律分析Fig.7Expected value and standard deviations of the torque ripple values in 50 motors designs with main noise factors.Choosing 1#，2#，3#motor to accomplish the statistical analysis

從圖7中可以看到，50個電機設計方案的轉矩脈動均值和標準差依然呈現線性分布。這是由于磁鋼偏差對電機性能分散性所造成的影響比槽口和氣隙偏差要大的多，因此，磁鋼偏差的影響主導了性能分散性的分布。在圖7中選擇三個不同的電機設計方案。圖8顯示了三臺電機在可行設計域范圍內的轉矩脈動分布特性，當轉矩脈動均值變大時，其分散性也變大，如2#電機;當轉矩脈動均值變小，分散性也變小，轉矩脈動分布，如1#電機。

圖8 1#，2#，3#電機樣本中1 000臺樣機的轉矩脈動的分布情況Fig.8Torque ripple peak values distributions of 1 000 1#，2#and 3#motors

綜上所述，可以得到如下結論，永磁同步電機在設計可行設計域內，各種加工偏差影響下，批次電機的均值和標準差是成正比的。其分布規律服從均值和標準差呈正比的正態分布。

3 粒子群算法優化驗證

采用多目標優化的方式驗證批量電機轉矩脈動的均值標準差之間的正比關系。

針對批量生產電機的分散性進行優化。在優化過程中，將電機的輸出平均轉矩（Tav）的倒數作為一個目標，將1 000臺的電機樣本轉矩脈動的均值（Me1000）或標準差（std1000）作為另一個目標，分別開展兩目標優化。優化目標分別為

如果兩個優化過程所得到的最優解和最劣解是一致的，則證明了使用均值或者使用標準差作為電機優化的目標，兩者是等效的，兩個目標之間可進行相互替代，從而驗證了兩個目標的線性關系。

優化采用粒子群（PSO）優化算法，其優化變量為［boa，Rm，Wpm，A－p，leq，αp］;電機的可行設計域如表4所示。

采用含精英歸檔策略的PSO算法進行優化。優化中粒子群個數為50，精英集合為40個，進化代數為20。C1=C2=0.8，其流程如圖9所示。

圖9 PSO優化算法流程圖Fig.9Flow chart for the PSO optimization

圖10顯示了兩個優化過程的最終結果。

圖10 兩個不同優化目標的優化結果Fig.10Optimization results for two different objectives

表5顯示了兩個優化結果得到的最穩健解和最不穩健解。從表中可以看到，最穩健解完全一致，最不穩健解僅在槽口變量上有0.3 mm的差異。從兩個優化過程得到的優化結果中可以看到，采用均值或標準差進行的兩目標優化，優化結果是一致的，因此兩個目標在優化過程中是可以等效替換的，從統計角度分析，均值和標準差是成正比關系的。

表5 兩目標優化結果Table 5The results of the two different optimization

從表5中可以看到通過進行永磁同步電機的穩健設計，電機產品的穩健性顯著提高，從而使得電機產品轉矩脈動峰值的均值和標準差均有大幅的下降，這就保證了電機產品兼備低轉矩脈動及低性能分散性。

4 結論

1）通過噪聲因子敏感性分析得到對轉矩脈動較為敏感的噪聲因子為磁鋼的尺寸和材料屬性偏差，以及氣隙和槽口的尺寸偏差。

2）當存在電機加工制造偏差時，批量生產電機轉矩脈動峰值的均值和標準差近似呈正比關系，其分布規律服從均值和標準差呈正比的正態分布。

3）通過進行穩健設計，提高了電機產品的穩健性，抑制了產品整體的轉矩脈動峰值及產品的性能分散性。

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（編輯:張詩閣）

Distribution characteristics analysis of torque ripple in permanent magnet synchronous motors considering the noise factors

WU Zhi-yong，GUO Hong，QIAN Hao
（School of Automation Science and Electrical Engineering，Beijing University of Aeronautics and Astronautics，Beijing 100191，China）

In mass productions of permanent magnet synchronous motors（PMSM），the torque ripple dispersion is caused by the sizes errors and the material properties variations，which can also be named as noise factors.In order to analyze the distribution of torque ripple in mass productions of PMSM，the sensitive analysis was operated and the most sensitive noise factors which greatly affect the torque ripple were obtained that are the magnets misplacement properties error，the slot opening error and the air-gap size error.Then the distribution of the torque ripple in mass productions was estimated by the firstly the theoretical analysis and by the analytical calculation.The relationship of the mean value and standard derivation of the torque ripple in mass production are linear which is then proved by the optimum design results.

permanent magnets;synchronous motors;sensitivity analysis;statistical analysis;torque

10.15938/j.emc.2015.01.002

TM 34

A

1007－449X（2015）01－0008－08

2014－01－25

國家自然科學基金（51277007）

武志勇（1985—），男，博士，研究方向為特種電機設計及驅動控制器設計;

郭宏（1969—），男，博士，教授，博士生導師，研究方向為特種電機及其控制;電機多物理場綜合設計與優化等;

錢浩（1985—），男，博士，研究方向為高精度伺服電機設計與驅動控制。

武志勇