職業體育聯盟的競爭均衡測度及指標選擇①

周正卿（北京大學體育教研部　北京　100871）

職業體育聯盟的競爭均衡測度及指標選擇①

周正卿
（北京大學體育教研部北京100871）

摘 要：通過綜述現代西方職業體育聯盟的競爭均衡理論研究，分析了勝率標準差、競爭均衡赫芬達爾指數、競爭均衡集中度指數和基尼系數4個常用指標的構建基礎和基本意義。比較發現，在處理“平局比賽、誰是冠軍、異常值”和“聯賽比較”四個方面時以上指標有明顯缺陷。最后，為了能夠測量有季后賽或多賽季的聯盟競爭均衡，筆者還介紹了獲得冠軍（或分區冠軍）平均年限和競爭均衡比率兩個指標。結果表明，現有指標各有優勢與劣勢，在使用過程中應當根據指標構建特點合理選取測度方法，才助于科學分析職業體育聯盟的競爭均衡狀況。因此，由于指標的局限性，單一使用指標往往是有風險的，建議采取多指標比較研究，才能讓結論更可靠。

關鍵詞：職業聯盟競爭均衡測量指標實證研究

目前，職業體育聯盟中的競爭均衡問題已成為研究熱點。隨著競爭均衡問題不斷被重視，大量研究文獻出現。Rodney Fort和Joel Maxcy（2003）將它們主要歸結為兩大類：競爭均衡的分析（Analysis of Competitive Balance，簡稱ACB）和結果不確定的分析（Uncertainty of Outcome Hypothesis，簡稱UOH）。兩者的區別在于，前者著重分析競爭均衡水平及趨勢走向，后者強調比賽不確定性對球迷需求的溢出效應。然而，不管是競爭均衡還是結果不確定，如何衡量競爭均衡始終是一個值得研究的問題?；谝陨峡紤]，該文著重對競爭均衡相關指標進行分析，以期為后續研究提供參考。

1　競爭均衡及衡量指標

競爭均衡雖然字面意思上很容易理解，即：聯賽內各球隊間競技實力均衡，但若對其準確的定義描述卻非易事。原因在于，人們對比賽的偏好“仁者見仁，智者見智”，很難說明哪場比賽是實力均衡、哪場比賽是實力不均衡的。因此，先前的學者參照不同標準設立的許多衡量競爭均衡的指標，如Breuer等（2009）指出可以將競爭均衡指標分為測量“分散度”（dispersion）和“集中度”（concentration）兩大類；Fort（2006）分成單場比賽不確定（game uncertainty）、季后賽不確定（playoff uncertainty）和連續賽季不確定（consecutive-season uncertainty）三類；按照時間還可以分為賽季內和賽季間等。本文將一個特征為聯盟，其中為賽季t中每支球隊經歷比賽輪數、為賽季t中擁有的球隊總數量、為i球隊在賽季t中的勝利場次，現考慮以下常用指標：

2　常用指標

2.1勝率標準差比（RSD）

勝率的標準差比是為常用的衡量競爭均衡的指標，最早出現于Noll（1988）分析NBA、Scully（1989b）分析MLB、Qurik和Fort（1992）分析NHL和NFL等文獻中。其定義為：實際勝率標準差（ASD）與理想勝率標準差（ISD）之比，因此表達為：

2.2競爭均衡赫芬達爾指數（HICB）

通常而言，赫芬達爾-赫希曼指數（HHI）常被用來測量產業組織中企業市場份額的集中程度。但衡量競爭均衡時，則測量某期間內或者賽區內冠軍隊伍集中度，計算方法為將每支球隊勝利場次的比重平方后求和。用于體育聯盟的赫芬達爾-赫希曼指數一般會修正為競爭均衡赫芬達爾指數（HICB），其定義為實際赫芬達爾-赫希曼指數（AHHI）與理想赫芬達爾-赫希曼指數（IHHI）之比，其表達式如下：

2.3競爭均衡集中度指數（CICB）

公式（3）中的x表示取積分榜前x名的球隊作為計算對象；j=1，2，…，x，是按照積分榜次序。值得注意的是是原始集中度調整后的指標，其中考慮了聯盟球隊數量的因素。容易理解，當取值較大時，表示聯盟的競爭越不均衡。

表1　聯盟勝負

2.4基尼系數（GINI）

基尼系數是常用來反映一個國家或地區國民收入不均等程度的指標，Schmidt和Berri（2001）用在職業體育聯盟中修正為競爭均衡指標。表達式為：

以上為較常用的衡量競爭均衡的指標。他們共同的特點是都能夠刻畫出在賽季t中擁有n支球隊聯盟的實力差異情況。當n、t和r發生變化時，往往會對指標產生影響。這就造成了指標間在用于聯盟橫向比較時（如比較NBA、NFL時）會對競爭均衡狀況產生誤差判斷。因此，當進行指標分析時，就應該清楚何時、使用何種指標是恰當的。

3　指標選擇

3.1使用局限

每個指標都不可能完美的表達真實的比賽情況，上述競爭均衡指標也不例外。雖然它們經常出現在已有的研究文獻當中，但是不可避免的還是暴露出一些問題。

首先，“平局比賽”。由于上述指標最初大多用于北美地區“4大”聯賽（NBA、NFL、MLB和NHL）的競爭均衡分析中，因此指標均使用了勝率（一隊勝利場次/一隊應參加的總場次）。但這在足球聯賽中就不再適用。常用的方法是用得分率（一隊所得積分/一隊能獲得最大積分）代替勝率。但這樣會出現的情況是：一支平局比較多的球隊和一支輸球比較多的球隊的得分可能是相同的①，顯然平局更能反映比賽的競爭均衡。

其次，“誰是冠軍”。Eckard（1998）指出用勝率衡量競爭均衡的一個缺陷就是無法識別出單個球隊的積分變化等信息。如表1中，兩個聯盟A、B均有3支球隊，聯盟A中球隊a總是冠軍得?。欢撁薆中每支球隊都獲得一次冠軍。通過計算可得，兩個聯盟的單賽季RSD均是0.5774，但顯然聯盟B的競爭均衡程度更高。另外，若用使用集中率指標，雖然能衡量前幾名球隊與其他球隊間的差距，但對于前幾名內部的排名變化依然無法顯現出“誰是冠軍”。

再次，“異常值”。職業聯盟的偶然性通常是球迷們津津樂道的話題，如某某球隊成為當年最大“黑馬”等等。但這也為指標衡量球隊間的實力狀況增加了難度。以勝率標準差比（RSD）為例，由于指標反映的是實際勝率離散度與理想勝率離散度間的相對程度，當（異常值）出現時，指標的敏感度就非常大。

最后，“聯賽比較”。從上述指標構成可以看出，都是由聯盟球隊數量n、每隊比賽輪數r和球隊勝率w構成，因此不同聯盟就會有不同的特征。這樣產生的問題是：在比較聯盟間的競爭均衡程度時，就難以確定一個有效的參照。Depken（1999）討論了實際赫芬達爾-赫希曼指數（AHHI）的上限問題，得出的結論是：當聯盟中球隊n≥2時，實際赫芬達爾-赫希曼指數會隨著n的增大而減少。隨后，Owen等（2007）給出了修正的赫芬達爾指數（HHI*）②來改善上述問題的發生。但無論如何，在選取對象的時候，應當盡量選擇球隊數量相近、賽程安排相同的聯賽進行比較分析，這樣得到的結果才有比較意義。

3.2備選指標

經過討論可以發現，上述指標雖然常用來分析職業聯盟的競爭均衡問題，但由于內在構成的天然“缺陷”，可能導致一些分析結果過于片面。為了能夠充分、全面的衡量聯盟球隊的競爭狀況、球員實力分布等情況，通常還配有以下輔助方法供參考：

第一，衡量有季后賽賽制的聯盟競爭狀況。常用指標以衡量聯盟常規賽階段的競爭均衡為主，忽略掉了球隊季后賽的表現。由于季后賽每支球隊比賽場次r不同，這樣給測度帶來麻煩。因此，一個較好的方法是Quirk和Fort（1992）提出的獲得冠軍（或分區冠軍）平均年限（year per championship，簡稱YPC），即：每球隊已獲得所有冠軍（或分區冠軍）用的總年限除以每球隊獲得冠軍的次數。該指標的意義在于，假設每個分區賽（division）內有10球隊，理想均衡狀態是每個球隊依次每年獲得冠軍1次，這樣每個球隊每隔10年才能獲得1次冠軍，每隊的YPC等于10。也就是說，當聯盟中每隊的YPC越接近球隊數量時，表明聯盟的競爭均衡程度越高，

第二，衡量連續多賽季的競爭狀況。以上常用指標的另一個特點就是只能衡量單個賽季的競爭均衡狀況。要想得到連續多賽季的競爭狀況，其中最簡單的方法是將原有單賽季勝率標準差比（RSD）擴展為多賽季勝率標準差（RSDm），公式（1）則變為：

需要注意的是，公式（5）成立的前提是連續T賽季中每賽季的聯盟比賽總場次是不變的，即：rt=r。Humphreys（2002）提出一個修正指標③—競爭均衡比率（competitive balance ratio，簡稱CBR），作為衡量多賽季的辦法之一：

其中，公式（6）中WPCTi,t表示t賽季中i球隊的勝率，表示i球隊T賽季間的平均勝率，所以σT,i代表i球隊T賽季間的勝率標準差，σN,i代表t賽季的聯盟勝率標準差（對于每一賽季而言，相當于σA），相當于N支球隊在T賽季間的平均勝率標準差，相當于T賽季間的平均聯盟勝率標準差。因此，σT,i越小表示i球隊在T賽季間的勝率是穩定的，且也越?。沪襈,t越大表示t賽季的聯盟競爭均衡程度越差，且也越大。因此，當等于0時，表示T賽季間每支球隊的排名位置并未發生變化（如表1中的聯盟A），即便是單一賽季聯盟競爭均衡程度再高，也意味著T賽季間的競爭均衡程度是低的；當等于時，表示N支球隊在T賽季間的平均勝率標準差就等于T賽季間的平均聯盟勝率標準差（如表1中的聯盟B），這意味著T賽季間競爭是完美均衡的。

4　結論

如何衡量競爭均衡一直是職業體育聯盟理論的熱點問題之一。研究專家參照統計學、經濟學等理論，致力于構建出符合體育競技規律的理想指標，用以更好的評級聯盟競爭狀況。本文較為全面地介紹了當前文獻中常用的4類指標及其意義，如勝率標準差比（RSD）、競爭均衡赫芬達爾指數（HICB）、競爭均衡集中度指數（CICB）和基尼系數（GINI）。這些指標的共同特征是，都是參照經濟學中已有的指標體系構建并賦予競技比賽的含義。雖然上述指標在使用起來時較為方便，但仍需注意它們的范圍。由于這些指標的構建方式不是過于強調聯賽局部就是過于強調聯賽整體，凸顯出在“平局比賽、誰是冠軍、異常值”和“聯賽比較”四個方面的使用缺陷。另外，筆者給出了兩個備選指標作為補充—獲得冠軍（或分區冠軍）平均年限（YPC）和競爭均衡比率（CBR），以解決季后賽和多賽季的競爭均衡分析問題。綜上所述，每個指標都有其優勢和劣勢，測度競爭均衡問題應該選取恰當方法才能讓得出的結論更加科學。使用單一指標時是具有風險的，會使得研究視角過于片面，建議采取多指標權衡比較、檢驗，才能讓政策分析更有意義。

參考文獻

[1] Dr.Christoph，Breuer，Tim，等.試析歐洲足球冠軍聯賽中的“競爭平衡”[J].體育科學，2009（4）：3-16.

[2] Depken Ii C A.Free-agency and the competitiveness of Major League Baseball[J].Review of Industrial Organization.1999，14（3）：205-217.

[3] Eckard E W.The NCAA cartel and competitive balance in college football[J].Review of Industrial Organization.1998，13（3）：347-369.

[4] Fizel J.Handbook of sports economics research[M].M.E.Sharpe，2006：280.

[5] Fort R，M J.“Competitive Balance in Sports Leagues：An Introduction”：Comment[J].Journal of Sports Economics.2003，

[6] Fort R，Quirk J.Pay dirt：The business of professional team sports[Z].Princeton University Press Princeton，NJ，1992.

[7] Humphreys B R.Alternative measures of competitive balance in sports leagues[J].Journal of sports economics.2002，3（2）：133-148.

[8] Owen P D，Ryan M，Weatherston C R.Measuring competitive balance in professional team sports using the Herfindahl-Hirschman index[J].Review of Industrial Organization.2007，31（4）：289-302.

[9]鄭芳.職業體育聯盟的經濟學分析[D].浙江大學，2010.

注釋

①若是得分率用贏球積分除以應得總積分，相當于將平局看作輸球看待，會惡化競爭均衡結果。

③雖然Eckard（1998）將多賽季的球隊勝率變化趨勢分解時間效應與自身效應兩個部分，即：，但上述成立的前提條件是時間效應與自身效應不相關。對職業體育聯盟而言，每年球隊都會挑戰人員構成，實力自然也會發生變化，要實現上述條件機會是不可能的。

作者簡介：①周正卿（1985—），男，講師，經濟學博士，研究方向，體育經濟、體育產業。

中圖分類號：G80-05

文獻標識碼：A

文章編號：2095-2813（2015）06（a）-0157-03