數學符號語言的語法特點研究

□朱伊雯

數學符號語言的語法特點研究

□朱伊雯

數學符號語言脫胎于自然語言，自然語言的語法與數學符號語言的語法也有相通之處。本文簡要分析了自然語言的語法與數學符號語言的語法的關系，舉例闡述了數學符號語言的語法特點，最后通過類比自然語言的詞性分類法將數學符號語言予以分類。

數學符號符號語言語法

一、引言

數學語言包括文字語言、圖表語言和符號語言三大類，這三者中最抽象、最能體現數學思維的便是數學符號語言。數學符號語言的抽象性不僅體現在數學符號單個元素的抽象性上，更表現為數學符號語言的語法的抽象性。

在《現代漢語詞典》中，對語法的解釋是“語言的結構方式，包括詞的構成和變化、詞組和句子的組織。”數學符號語言的語法便是數學符號語言的結構方式。數學符號語言脫胎于自然語言，那么，數學符號語言的語法與自然語言的語法有怎樣的關系？

二、數學符號語言的語法與自然語言的語法的關系

（一）數學符號語言的語法與自然語言的語法的相通之處

從數學符號語言從它的演變來看，教學符號語言是自然語言的一部分，但從邏輯上來看，它又有人工語言的特點。蒙太格在《普遍語法》中認為，自然語言和人工語言沒有實質區別，自然語言與人工語言在結構規律方面是相通的。簡而言之，數學符號語言的語法與自然語言的語法有相通之處。數學符號語言的語法與自然語言的語法一樣，都是隨著符號（文字）的產生、發展而日益完善。在很多情況下，數學符號語言的詞、句是可以與自然語言進行結構上一一對應的，例如：“Rt∠”（直角）就是“Rt”（直的）與“∠”（角）的組合，就是“直的角”也就是“直角”；即“因為……，所以……”這與現代漢語的語法結構完全相同；“6＞5”讀作“六大于五”，而“A+形容詞+于+B”的語法結構在古代漢語中也存在。

（1）毛先生以三寸之舌，強于百萬之師。（《史記·平原君虞卿列傳》）

（2）夫子曰：“小子識之，苛政猛于虎也。”（《禮記·檀弓下》）

（二）數學符號語言的語法與自然語言的語法的分化之處

自然語言的語法為數學符號語言語法的早期構建提供了基礎。隨著數學學科的發展，數學思維所要求的嚴密性、高度抽象性和概括性，使得數學符號語言的構造更加精密與抽象，數學符號語言的語法特點也逐漸區別于自然語言而顯現出來。自然語言是呈線性排列的，詞序、語序的變化通常是前后調換的（在空間形式上，由于排版的不同，前后位置不一定指左右、也可能指上下，如在古代，漢字是上下排列的。）。例如：“你救了我”與“我救了你”；“哥哥和弟弟開玩笑”與“哥哥開弟弟的玩笑”；“我回家了先”與“我先回家了”等。然而，數學符號語言有在詞序或語序上進行前后變化、上下變化、對角變化等，例如：“4÷2”與“2÷4”；“”與“”；“34”與“43”；“”與“”。部分數學符號語言是經過多次抽象，故其結構與自然語言有較大差異，例如：“”是由連乘式子“1×2×3×……×10”抽象得來，而四則運算源于加法，乘法也是從加法抽象而來的，學生學習的加法又是從自然語言中的動詞“合”“并”所表示的動作中抽象得來的。

三、數學符號語言的語法特點

（一）結構化

在數學表達式中，數學符號并非像普通文字一樣呈線性排列，而是有規律地分布在二維空間中。例如：中，以為基準，可以分為內部（）、水平左部（）、水平右部（+1）和左上部（3）。在數學中有一類較為特殊的運算符號，稱為綁定符，它們不但規定了運算的形式，而且也規定著運算操作的作用范圍，常見的綁定符號有：∑（求和符號）、∏（求積符號）、∫（積分符號）∪（并集符號）和∩（交集符號）等等。含有綁定符的數學表達式結構化的特點則更為突出，例如：在中，以∑為基準，可以分為水平左部上部（k）、下部（i=1）和水平右部（）。其中“∑”規定運算的形式，水平右部規定了運算操作的對象的形式，而上下部規定了操作對象的范圍，水平左部則是在整個操作過后的結果進行一個乘法運算。由于書寫習慣的不同，這類數學表達式的上下部也被書寫成上下標的形式（在基準符號的右上部與右下部），如：。

（二）抽象性

抽象性是自然語言語法的基本特征，也是數學符號語言的語法特點。數學符號語言語法的抽象性主要體現在兩個方面：

1.無限的表達式，有限的規則。如“1+2”“3×4”“11-5”“15÷3”等都是“數字+符號+數字”的形式；“23”“52”“3888”等都是“數字+數字上標”的形式。

2.簡要的表達式，復雜的操作。人類部分最基礎的運算概念是建立在圖與動作（變化）的基礎上的，與動作分離的最初思維方式就是將動作圖示符號化，所以，最初的符號是可以與操作進行一一對應的。表達式的抽象程度越高，則越難與操作進行對應。例如：“”與“1+2+3 +……+99+100”，這兩者表達的意思一樣，但是后者更容易與操作進行對應，所以就語法的抽象程度來說，前者高于后者。

（三）數學符號的分類

由于分類標準的不同，數學符號分類的結果也是不一樣的，如有學者按照數學符號的功能，將數學符號分成了元素符號、運算符號、關系符號、約定符號、性質符號和輔助符號。也有學者參考我國的“六書”（漢字的造字六法）對數學符號進行分類。根據數學符號自身的意義與在數學語句表達中的作用，筆者將數學符號與自然語言中的詞性分類法作了分類。

1.名詞

通常來說，名詞是表示人或事物名稱的詞，如“人、牛、北京、友誼、上面”等等。數學符號中也存在許多名詞性符號，“△”表示三角形，“⊙”表示圓，“⌒”表示弧，“∠”表示角，“max”表示最大值，“min”表示最小值。

2.動詞

動詞是表示人或物的動作、存在、變化的詞，如“跑、看、飛、有、起來、上去”等等。相當于數學符號中的“”（存在，是“exist”首字母大寫的翻轉）“+”“-”“×”“÷”“＞”“＜”“=”“”“”等。可以發現，這些符號的讀法在漢語中本身便是動詞（后5者是黏賓動詞）。

3.數詞

表示數目多少或順序多少的詞叫作數詞，數詞分為序數詞和基數詞。在數學中，常見的基數有“1”“2”“3”“4”等，而序數通常搭配文字“第”，如“第1”“第2”“第3”等。

4.量詞

量詞是表示人、事物或動作的單位的詞，如“米”“摩”“秒”“千克”“開”“安”“坎”“次”等。相當于數學符號中的“m”“mol”“s”“kg”熱力學溫度單位“K”發光強度單位“cd”“times”等。

5.代詞

代詞是代替名詞、動詞、形容詞、數量詞、副詞的詞，包括：人稱代詞；疑問代詞；指示代詞。而在數學中存在許多用字母代替具體數的例子，這類字母常見的有“x”“y”“z”“a”“b”“c”等，有時這些字母還會在右下角編號，如“x1”。

6.形容詞

形容詞是表示人或事物的性質或狀態的詞，如“高、大、白、冷、安靜”等等。在數學中可以發現少數形容詞：“”是任意的，是“arbitrary”首字母大寫的倒置，“Rt△”中的“Rt”是直的，是“right”的縮寫。

7.副詞

副詞是修飾或限制動詞和形容詞，表示范圍、程度等，而不能修飾或限制名稱的詞，如“都、很、也、居然、更”等等。離散數學中的模態詞“□”（必然）、“◇”（可能）都是典型的情態副詞。

8.連詞

連詞是連接詞、詞組或句子的詞，如“和、與、而且，但是、如果、因為、所以”等等。在數學中，“∵”、“∴”、與“∧”、或“∨”、則“→”這些符號起連接的作用。

這種分類僅僅是簡單的類比，數學符號中還有很多符號在數學語句結構中并不充當詞語的作用，如：“”，雖然讀作“非p”，但在句子結構中它的含義是p的否命題；“∪”的含義是“…與…的并集”；“∩”是“…與……的交集”等等，并非所有數學符號都適用于這種分類方法。

［1］崔誠恩.現代漢語情態副詞研究［D］.北京：中國社會科學院研究生院博士學位論文，2002.

［2］于宇.試析蒙太格的普遍語法思想［J］.畢節學院學報（綜合版），2009，（7）.

［3］安妮塔·伍爾福克（AnitaWoolfolk）著.伍爾福克教育心理學（第11版）［M］.伍新春，賴丹鳳，李嬌等譯.北京：中國人民大學出版社，2012.

［4］徐品方，張紅.數學符號史［M］.北京：科學出版社，2006.

［5］李宇明.數學語言初見（連載）數量詞語的語法特點［J］.語言教學與研究，1986，（22）.

（朱伊雯浙江寧波寧波大學教師教育學院315211）