金融保險中最優分紅問題的研究綜述

鄭慶云 宋一杰

（天津大學仁愛學院 天津 301636）

金融保險中最優分紅問題的研究綜述

鄭慶云 宋一杰

（天津大學仁愛學院 天津 301636）

紅利分配問題主要來源于對公司經營盈利進行處置的財務決策問題的研究。分紅指公司根據將部分經營盈余分配給股東或者投資者，分紅在一定程度上反映了公司的經營效益。如果分紅太多，會降低公司的抗風險能力；同時如果股東預測公司未來的經營收益較好，會更希望將盈余留在公司資產中運營，以得到更多的回報。所以，采取怎樣的分紅策略，即何時分紅和分紅量的大小就成了熱點研究問題。最優分紅就是尋找一種分紅策略使得期望累積折現分紅達到最大。本綜述立足于近十幾年來的研究成果，圍繞著當公司破產時融資和不融資兩個方面進行梳理，以期對今后繼續研究提供有益的參考。

一、研究背景

在1957年的第15屆國際金融大會上，De Finetti介紹了一篇關于紅利分配的文章，討論了分紅問題，提出最優分紅策略應該使得破產前的期望折現分紅總額最大，并在文中假設單位時間內的保費收入額為1或-1的情況下，證明最優分紅策略存在并為邊界策略，并且得到了確定最優分紅界限的方法。受到前者的思想啟發，Miyasawa在1962年研究了一般的隨機過程，得到了最優分紅策略為帶狀策略。1969年，Gerber首次研究了連續時間古典風險模型中的最優分紅策略。二十世紀九十年代精算學者開始把隨機控制理論用到保險風險模型中，最優分紅問題的研究才有了進一步發展。

在經營過程中，保險公司會采用一些其他方法來降低風險并提高收益，如融資。Sethi et al［1］（2002）提出了引入融資的可能性，即當公司資產為負時，可以通過注資阻止破產。Dickson［2］（2004），Gerber el at［3］（2006）認為股東應該承擔公司破產時刻的赤字。此時，最優分紅問題就成了尋找最優注策略使得股東凈收益最大化，即金融保險中的隨機最優控制問題。

二、不帶融資的最優分紅問題

在最優分紅的問題研究中，經典模型和擴散模型得到了較多的關注。經典模型中求解很困難，一般很難得到顯示解。而擴散模型中多數情況下可以得到形式較為完美的顯示解，引起學者的很大興趣，人們希望擴散模型的研究結果也能給經典模型的求解帶來啟發。

對于經典模型，1969年，Gerber首先研究了離散時間的最優分紅問題，隨后通過令離散區間趨于零，將離散模型連續化，這樣就得到了連續時間的最優分紅問題，并證明最優分紅策略為帶狀策略.Azcue［4］（2005）將最大分紅累計折現期望值函數作為相應HJB方程的最小粘性解，得到最優分紅策略是帶狀策略。Schmidli［5］（2008）用不同于粘性理論的方法處理最優分紅問題，并證明了最優反饋解的存在性，給出了對應的HJB方程，且通過值函數構造了一種可行的帶狀策略，并證明了這種策略確實是最優分紅策略。Fang&Wu［6］（2007）對常利率的復合泊松模型進行了討論，并指出最優分紅策略是閥值策略，Albrecher［7］（2008）討論了常利率的古典風險模型的最優分紅問題，并得到了相應的HJB方程的粘性解。而Yang［8］（2012）在隨機利率下討論了最優分紅問題，在閥值策略下，得到其精確解.Gerber［9］（2010）研究了離散的復合泊松模型下的分紅問題。Wang&Yin［10］（2011）研究了帶再投資的復合泊松模型，通過刻畫最優分紅值函數和相應HJB方程的粘性解處理分紅問題。Li etal［11］（2011）討論了雙復合泊松風險模型下按比例分紅問題，證明了兩個索賠都是指數分布下的最優策略為閥值策略。Ying［12］（2014）研究了當索賠計數為廣義泊松過程時的擴散模型，在某些特殊情況下的最優分紅策略為邊界策略。通過以上介紹，也可以看到只能在某些特殊情況下才能得到最優分紅策略或值函數的清晰解。

擴散模型的研究出現較晚，但是由于求解方面的優勢引起人們的關注。受到Aamussen，Taksar，Paulsen，Gerber，H？jgaard等科學家的早期研究工作的的啟發，近些年涌現了大量的文章。H？jgaard［13］（2001），Asmussen et al［14］（2000），Choulli et al［15］（2003），Paulsen［16］（2003），Gerber［17］（2004）這些文獻中，都是在擴散模型下運用HJB方程來解決最優問題。2004年Friedrish&Walter在此基礎上引入了效用函數，對值函數解的存在唯一性進行了證明，并對其收斂性進行了分析。2001年Sethi&Taksar進一步考慮了一般化的擴散過程，2003年Gerber and Shiu考慮了幾何布朗運動模型中的隨機分紅和帶邊界的融資問題。同時，也有學者從其他方面對擴散模型進行的研究，如：Yang［18］（2005），He et al［19］（2008），Paulsen［20］（2013），Lin［21］（2010），等。

以上這些文獻都是在不考慮融資的情況下進行的最優分紅問題的討論。而在保險實務中，若只考慮分紅額最大，會大大提高公司的經營風險，若只考慮降低破產概率，就會損害到股東利益，同時人們也考慮到在公司破產時，股東也應有責任來清償赤字，因此產生了公司融資策略的研究。

三、帶融資的最優分紅問題

融資是保險公司降低破產風險和使得分紅最大化的重要手段，對金融實務有現實的指導意義，已經成為研究的前沿問題，得到了普遍關注。2007年Paulsen在分紅和融資都帶有固定和比例交易費用的擴散模型下，研究了使得“分紅減融資”的凈收益最大化的最優策略，并證明最優策略存在。Kulenko et al［22］（2008）首次考慮了古典模型下最優分紅和融資問題，并證明對任意索賠分布，最優分紅策略均為邊界分紅。隨后，Bai&Guo［23］（2010）在連續時間的古典風險模型中考慮了分紅和籌資均需固定交易費用時的最優分紅和融資問題。

Zhang&Liu［24］（2012）研究了復合泊松模型中分紅和融資均需比例和固定交易費用的最優分紅與融資問題。He［25］（2010）研究了復合二項模型下的帶融資的最優分紅策略，證明了最優策略為邊界策略。Wu&Guo［26］（2011）解決了雙離散逼近Cramér-Lundberg風險模型，化簡得到最優分紅策略為邊界分紅。并由貝爾曼遞歸算法得到了最優分紅邊界和最優策略的近似方案。Fang［27］（2013）討論了帶有利息的Cramér-Lundberg風險模型，證明了最優分紅策略是閥值策略，最優融資策略是在資產余額為負值時融資回零。Yao&Guo［28］（2013）考慮了分紅和融資都帶有比例交易費用，且融資還需繳納固定交易費用的擴散模型，得到了依賴于模型參數的顯示解。Paulsen［29］（2013）研究了跳擴散模型下最優分紅問題，假設跳擴散是帶有負跳的復合泊松過程。Yao et al［30］（2014）考慮了對偶模型下帶有融資和固定交易費用的最優分紅問題，在分紅率受限且允許公司破產時，對應的極限結果顯示，當收入符合超指數分布時，分紅策略和值函數得到了清晰解。以上文獻都是在2014年Dickson&Water提出“永不破產”的約束條件下進行的研究。

有一些文章也將是否帶有融資的對分紅情況的影響進行了比較。2007年Avram在光譜負lévy模型下，考慮了沒有融資和資本注入永不破產的兩種情況下的最優分紅問題，并清晰描述了在邊界策略下的最優策略和值函數。Arne L？kka&Mihail Zervos［31］（2008）討論了擴散模型下通過帶有分紅和注資的最優分紅問題，發現根據模型參數不同，最優策略要么是不需要注資的要么是注資永不破產的，這與2010年Avanzi在邊界分紅策略下研究的對偶擴散模型中帶融資和比例交易費用的最優分紅策略有相似的結論。Guo&Wu［32］（2012）在帶有融資和比例成本及動態比例再保險模型下，通過構建無融資和永不破產這兩個次優解解決了最優問題。Yin&Kam［33］（2014）討論了跳擴散模型下帶有融資和比例交易費用的最優分紅問題，并分別研究了不帶有融資和永不破產兩種情況下的最優分紅策略，并在特殊條件下給出了最優分紅策略的顯示解。

四、結束語

由于對金融保險實務有很重要的指導意義，關于紅利分配的優化問題一直是研究熱點，分紅問題涉及到的風險模型很多，但是能有較為完美結論的很少，很多情況下得不到清晰的解和最優策略，而且高維風險模型中的分紅策略的研究也存在很大的空間。另外，融資也會對分紅策略的研究產生很大影響。正如上述所見，文章中的融資多集中在公司盈余為零時融資，很少在盈余非零時融資，隨著保險事業的發展，這些熱點問題仍然還有很大的研究價值。

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