幾何直觀，讓數學教學走向深刻

福建省教研室（350003） 羅鳴亮

希爾伯特說：“算術記號是寫下來的圖形，幾何圖形是畫下來的公式。”“幾何直觀”是2011版《義務教育數學課程標準》提出的十個核心理念之一，課程標準對“幾何直觀”這樣解釋：“幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問題。借助幾何直觀可以把復雜的數學問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預測結果。幾何直觀可以幫助學生直觀地理解數學，在整個數學學習過程中都發揮著重要作用。”由此可見，課程標準對“幾何直觀”在教學中的作用十分重視，在內容上、意義上和方法上遠遠超出對幾何圖形本身的研究意義。

一、新——舊，聚焦“幾何直觀”

在實際教學中，對“幾何直觀”的理解，常被認為是舊酒裝新瓶，將之等同于“數形結合”。

細細研讀，從涉及的對象和解決問題的通道可得知兩者有重疊之處，但又不盡相同。數形結合包含“由形到數”和“由數到形”兩方面，幾何直觀借助圖形描述問題的范圍更寬廣，除了”圖形與幾何“領域中的問題，還涉及”數與代數“、“統計與概率”等，基本涵蓋了小學數學四大領域。“幾何直觀”主要借助于見到（或想象出來的）圖形的形象關系，對數學的研究對象（空間形式和數量關系）進行直接感知、整體把握。而這里的“圖形”不僅僅局限于幾何圖形，線段圖、運算符號、字母、文字等直觀符號相結合的圖示語言，想象中的圖示都可以看成是“幾何直觀”理念的體現。正如德國數學家克萊因所說：“數學的直觀是對概念、證明的直接把握。”也就是說，幾何直觀能力的培養對學生來說是至關重要的。

二、形——數，凸顯“幾何直觀”

培養和發展學生的幾何直觀能力，要充分利用幾何直觀來揭示研究對象的性質和關系，依托具體的數學課程教學內容，需要具體落實在課程內容、課堂教學細節之中，使學生認識幾何直觀在數學學習中的意義和作用，同時也學會數學的一種思考方式和學習方式。

從一年級到四年級，學生在認識數的量上和把握數的質上有了飛躍，這些知識的獲得對學生來說并非輕而易舉之事，尤其是如何準確地找到某個數的近似數，學生遇到的困難比較大。下面將以四年級“近似數”一課為例進行簡單呈現。

1．借助幾何直觀，發現和描述研究的問題，深化概念理解

幾何直觀是具體的，它與數學的內容緊密相連。事實上，很多重要的數學內容、概念，如數、度量、函數，以至于高中的解析幾何等，都具有雙重性，既有“數的特征”，也有“形的特征”，只有從兩個方面認識它們，才能很好地理解它們、掌握它們的本質意義。也只有這樣，才能讓這些內容、概念變得形象、生動起來，變得更容易使學生接受并運用它們去思考問題，形成幾何直觀能力。

課始，教師在黑板上反扣五個數字卡片，代表汽車價格的五位數，問：“這輛汽車的價格大約是80000元，它的價格可能是多少元？”讓學生自己猜測一個數，同時讓學生在數軸上找出這個數的位置。學生邊猜教師邊借助數軸讓學生直觀體會到近似數的意義及其內在蘊藏的區間值。之后教師問學生：“結果好猜嗎？為什么不好猜？”引發爭執。此時，一學生回答：“如果給我兩天，我就能猜出來。”教師追問：“為什么有的同學說不好猜，有的同學卻說給他兩天就能猜出來？”學生回答：“因為范圍很廣，所以不好猜，但時間充裕的話一定能猜出來。”

所謂近似數，它其實是歸類后的新數，我們可以理解為一個數段的代表數。在數軸上可以直觀地看到它們之間的距離跨度，近似數就是數軸上的一些“單位”，每個單位包含一定的數，對80000而言，它涵蓋了75000~85000這個區間，雖然很多，但也有一定的范圍。

在數與代數的學習中，用圖形描述數的關系，可以多角度地認識和理解知識，形成對知識、技能的貫通式認識和理解，逐步形成一種對數與形之間的化歸與轉化的意識。

2．注重幾何直觀，尋求解決問題的思路，發展思維能力

幾何直觀與想象、邏輯、推理也是不可分的。它不僅僅是看到了什么？還是通過看到的圖形思考到了什么？想象到了什么？這是數學非常重要而有價值的思維方式。幾何直觀會把看到的與以前學到的結合起來，通過思考、想象、猜想出一些可能的結論和論證思路，這也就是合情推理，它為嚴格證明結論奠定了基礎。

在“近似數”一課中，教師順勢提問：“我們課堂時間有限，所以怎么辦？”學生很自然想到要通過縮小范圍來知道結果，由此就產生了如何取近似數的需求。

本課中，在讓學生猜測汽車的價錢后，問：“汽車價格約8萬，這個數萬位可能是幾？”“為什么可能是7，也可能是8。”之后揭示答案——7，又問：“千位呢？”學生答：“可能是 5、6、7、8、9，不可能是 0、1、2、3、4。”此時教師反問道：“可以是4嗎？為什么不行？”再讓學生在數軸上找到74999，說明74999相對而言不接近80000更接近70000，它的近似數是70000不是80000，直觀揭示“四舍五入”的由來。通過對比，讓學生對近似數的認識更深刻！教師順勢揭示——74580！將學生剛從數軸上獲取的新知又弄混了，師給出解釋：“上課前一緊張把數字的順序弄混了，應該怎么調整呢？調整后的數又分別在數軸上的哪里呢？”之后，學生按照教師的提示語“高了、低了”逐步調整順序，很快找到正確答案：78450。

整個過程通過數字卡片在黑板上的反扣、翻動、移位，結合數軸引導學生感受為何規定“四舍五入”，知識復歸到它形成的過程狀態，這個狀態是鮮活的，培養了學生的興趣和數感。

不要把幾何直觀簡單地等同于能用圖描述問題的技能，幾何直觀更為深遠地表現為能夠借助圖形去思考的能力。教師在培養學生利用幾何直觀描述與分析問題的意識和能力時，要關注學生運用幾何直觀表征問題的過程，以及表征之后的反思與頓悟。沒有反思和頓悟，學生可能獲得了幾何的方法，卻未必獲得幾何直觀的能力，難以形成與之相應的數學思維模式。站在這個角度看，幾何直觀雖然是借助圖形展開思維活動，但明顯超越了圖形，走向了直觀，因此直觀思維才是它的核心和重點。

3．把握幾何直觀，理解和分析得到的結果，洞察數學本質

課程標準提出：把握幾何直觀的價值，不僅僅在于“有助于探索解決問題的思路”，更為重要的是“幫助學生直觀地理解數學的本質。”

課中，在出示汽車價格78450元后，教師又提出：“我女兒說，這輛汽車價格大約是78000元。她說的對嗎？”一波未平，一波又起，在辯論的氛圍中，最終達成共識。此時再次借助數軸讓學生清楚地認識到：78450在78000和79000之間，接近的是78000。正因為參照的標準不同，取值的范圍不同，所以近似數的估計結果也會不同。此時再追問：“把一個數精確到不同的位數，你有什么發現？”讓學生感受：精確到的位數越低，就越精確，在數軸上也可以體現為刻度稀疏和細密的差別。

幾何直觀是揭示現代數學本質的有力工具，利用圖形描述幾何或者其他數學問題、探索解決問題的思路、預測結果。幾何直觀能力可以幫助學生較好地理解數學本質，使學生體驗數學創造性工作的歷程，形成良好的思維品質。教師應具有培養學生幾何直觀的自覺意識，以保護學生先天的幾何直觀的潛質作為起點，以有效提升學生的幾何直觀水平作為重點，讓學生最終形成敏銳的洞察力和深厚的數學素養。