有限時間內需求是時間函數的信用期和現金折扣選擇情況下的變質品庫存模型

雍鑫

（四川大學華西醫院，四川 成都 610041）

有限時間內需求是時間函數的信用期和現金折扣選擇情況下的變質品庫存模型

雍鑫

（四川大學華西醫院，四川 成都 610041）

研究了需求是時間函數、計劃期有限的情況下，供應商給購買商與訂貨量的大小相關的信用期或者現金折扣選擇的變質品庫存策略，建立了相應的庫存模型，并給出了該模型的求解方法和數值算例。

需求；時間；變質品；信用期；現金折扣；庫存模型

1 引言

科學的庫存管理不但能有效的降低庫存成本、加速資金周轉，更能有效避免超儲或缺貨等現象的發生，及時和準確地滿足顧客需求，提高顧客滿意度，提升企業競爭力。在庫存策略的研究中發現：供應商為了吸引購買商往往會給購買商一個延期付款的優惠，即通常說的信用期。購買商能在信用期內利用收益賺取利息，這給購買商帶來了收益，也影響了購買商的訂貨策略。Goyal[1]首次研究了允許延期付款的單一物品的經濟訂貨批量（EOQ）模型，其后眾多學者對該模型進行了補充和發展。Aggarwal和Jaggi[2]提出了延期付款的易變質商品的最優補貨策略；Chang[3]采用貼現現金流的方法分析了與不同訂貨量相關的信用期和現金折扣策略選擇的變質商品庫存模型。

這些庫存模型都是假設庫存系統的時間是無限的，這與實際情況存在差異。同時上述模型都分析的是給購買時信用期或者現金折扣，沒有考慮給購買商信用期的同時給購買商現金折扣選擇，讓購買商可以根據自己的訂貨量進行選擇。本文正是基于這種需求，研究了有限時間內，需求是時間函數的情況下，供應商給購買商與訂貨量大小相關的信用期或者現金折扣選擇的變質品庫存策略。

2 模型記號及假設

本文記號如下：

K：一次訂貨的費用；

c：單位商品購買成本；

s：單位商品銷售價格；

Q(i)：購買商周期i的訂貨量；

D(t)：需求函數；

Ie：單位貨幣的利息收入；

Ip：庫存商品單位貨幣利息支出；

d：價格折扣率，0＜d＜1；

H：計劃期的時間長度；

h：倉庫中單位商品的庫存成本；

X：允許以M2為信用期的最小訂貨量；

Y：允許以d為現金折扣的最小訂貨量；

M1：訂貨量小于X或Y時得到的信用期；

M2：訂貨量大于或等于X時得到的信用期，M1＜M2；

Ii(t)：當Q≤W時，周期i的庫存水平，i=1,2,...,n；

TCi(n)：周期i的總費用，i=1,2,...,n；

TC(n)：計劃期H內的訂貨次數為n時購買商的總費用。

本文的假設如下：

（1）需求為依賴時間的函數D(t)；

（2）不允許缺貨；

（3）訂貨提前期忽略不計；

（5）庫存容量不限；

（6）供應商給購買商兩種與訂貨量相關的選擇：

①信用期選擇：如果訂貨量大于或等于之前設定的數量X，則購買商可有一個M2的信用期延期付款。否則購買商只能以M1（M2＞M1）為信用期延期付款。

②價格折扣選擇：如果訂貨量大于或等于之前設定的數量Y，則購買商享有以d為折扣率的價格折扣，同時以M1為信用期延期付款。否則購買商沒有價格折扣，同時也以M1為信用期延期付款；

為了問題簡化，購買商在[0,H]內各周期都作同一選擇。

（7）在信用期內，購買商可將銷售收入以Ie為利率賺取利息收入，當信用期結束時，購買商將對庫存的商品以Ip為利率支付利息。

3 模型建立

基于以上假設，該庫存模型的運行如下：假設在[0,H]內的訂貨次數為n，對周期i而言，其訂貨的時間為(i-1)T，訂購量為Qi。在需求和變質的影響下，在[(i-1)T,iT]內商品庫存量逐漸減少，最終為零。以下如無特別說明，i=1,2,...,n。

此時周期i的庫存函數滿足如下微分方程：

解上述微分方程組可得：

故周期i的訂貨量為：

綜上所述，購買商在周期i的各項費用為：

（1）訂貨費用：K。

（2）購貨費用：

①購買商做出信用期選擇，此時無價格折扣，購買費用為：Gi=cQi。

②購買商做出價格折扣選擇：

A.若Qi＜Y，此時無價格折扣，故購買費用為：Gi=cQi；

B.若 Qi≥Y，此時有價格折扣，故購買費用為：Gi=c(1-d)Qi。

綜上可得周期i的購買費：

（4）庫存商品支付的貸款利息，周期與信用期存在以下幾種關系：

①當周期i獲得信用期M1且iT≤(I-1)T+M1，此時信用期M1大于補貨周期，故此時不需支付庫存商品的貸款利息：利息支付=0；

②當周期i獲得信用期M1且iT＞(i-1)T+M1時，此時信用期M1小于補貨周期，故此時需支付庫存商品的貸款利息：

③當周期i獲得信用期M2且iT≤(I-1)T+M2時，此時信用期M2大于補貨周期，故不需支付庫存商品的貸款利息，利息支付=0；

④當周期i獲得信用期M2且iT＞(i-1)T+M2時，此時周期i獲得信用期M2，信用期M2小于補貨周期，故此時需支付庫存商品的貸款利息：

所以周期i的庫存商品支付的貸款利息為：

（5）利用銷售收入賺取的利息收入：

①當周期i獲得信用期M1且iT≤(I-1)T+M1，此時的利息收入為：

②當周期i獲得信用期M1且iT＞(i-1)T+M1，此時的利息收入為：

③當周期i獲得信用期M2且iT≤(i-1)T+M2，此時的利息收入為：

④當周期i獲得信用期M2且iT＞(i-1)T+M2，此時的利息收入為：

由此可得周期i的利用銷售收入賺取利息收入為：

綜合上面的各項費用，周期i的總費用為：

所以在[0,H]內，購買商的總費用為：

4 模型求解及數值算例

為了求解TCI(n)和TCⅡ(n)的最優解，有下面定理：

由定理1可得推論1和推論2。

由推論1和推論2可知，TCI(n)和TCⅡ(n)一定存在最優解，通過編程進行一維搜索能找到TCI(n)和TCⅡ(n)的最優解nI*和

下面給出兩個數值算例：

算例1：假設某企業的訂貨條件滿足上述模型，并滿足如下條件:K=20 000，c=60，s=80，u=50，v=400，α=0.15， β=0.2，d=0.2，hO=2，X=900，Y=800，M1=60/365，M2=240/365，Ie=0.1，Ip=0.15，H=4。并設D(t)=ut+v，由編 程 計 算 可 知 ：（1）當 選 擇 信 用 期 時（2）當 選 擇 現 金 折 扣 時此時故當選擇現金折扣時是最優選擇，且n*=2，TC(n*)=174 431。

算例2：假設某企業的訂貨條件滿足上述模型，并滿足如下條件:K=1 000，c=60，s=80，u=50，v=400，α=0.15，β=0.2，d=0.01，hO=2，X=200，Y=800，M1=60/365，M2=240/365，Ie=0.1，Ip=0.15，H=4。并設D(t)=ut+v，由編 程 計 算 可 知 ：（1）當 選 擇 信 用 期 時（2）當 選 擇 現 金 折 扣 時此時故當選擇信用期時是最優選擇，且n*=7，TC(n*)=134 030。

5 結論

本文基于現有的研究成果，研究了需求是時間函數、計劃期有限、供應商據購買商訂貨量的大小給購買商信用期或者現金折扣選擇的兩種變質品庫存策略，建立了相應的庫存模型，并對模型進行分析和求解，證明了最優解的存在，最后給出了模型的數值算例。

通過本文的研究，讓購買商的管理者在類似條件下進行訂貨策略決策時，參考選擇信用期還是選擇現金折扣是最優決策，降低購買費用。

[1]S K Goyal.Economic order quantity under conditions of permissible delay in payments[J].Journal of the Operational Research Society,1985, 36:335-338.

[2]S P Aggarwal,C K Jaggi.Ordering policies of deteriorating items under permissible delay in payments[J].Journal of the Operational Research Society,1995,46,658-662.

[3]Chun-Tao Chang,Liang-Yuh Ouyang,Jinn-Tsair Teng,Mei-Chuan Cheng.Optimal ordering policies for deteriorating items using a discounted cash-flow analysis when a trade credit is linked to order quantity[J].Computers&Industrial Engineering,2010,59:770-777.

[4]C Gary,E Dennis,J Lin.Determining a common production cycle time for an economic lot scheduling problem with deteriorating items[J].European Journal of Operational Research,2006,173:669-682.

[5]Jui-Jung Liao,Kuo-Nan Huang.Deterministic inventory model for deteriorating items with trade credit financing and capacity constraints[J]. Computers&Industrial Engineering,2010,59:611-618.

Study on Deteriorating Product Inventory Model with Credit Period and Cash Discount Options Whose Demand is a Time Function and Planning Time Finite

Yong Xin
(Huaxi Hospital ofSichuan University,Chengdu 610041,China)

In this paper,we studied the deteriorating product inventory strategy of a supplier who offered its buyers credit period or cash discount options in relation to the size of their orders upon the condition that their demand was a time function and the planning period was finite,then built the corresponding inventory model and at the end presented the solution to the model in connection with a numerical example.

demand;time;deteriorating product;credit period;cash discount;inventory model

F715.6；O141.4

A

1005-152X(2015)11-0080-03

10.3969/j.issn.1005-152X.2015.11.023

2015-09-06

雍鑫（1988-），男，四川渠縣人，就職于四川大學華西醫院設備物資部，主要研究方向：供應鏈管理。