由一道對數不等式所引發的討論——少教多學案例

楊福海

（福建省廈門第六中學）

課堂教學改革一直是教育改革中備受關注的主題。一方面，課堂教學是我國中小學教育活動中最基本構成部分，是中小學生在學校生活的主體部分，是中小學生素質發展的主要渠道，其重要性不言而喻；另一方面，課堂教學改革涉及教育問題的方方面面，它不僅要改變教師根深蒂固的傳統教育觀念，同時還要改變教師習以為常的教學行為、教學方式乃至生活方式，其艱難性不言而喻。

著名的教育學家夸美紐斯在他的《大教學論》中有這樣的表述：“找出一種教育方法，使教師因此可以少教，而學生卻可以多學；使學校因此少些喧囂，厭惡和無益的勞苦，獨具閑暇、快樂及堅實的進步。”這種教育思想一直以來都是教育工作者的追求，特別是新課程實施以來，我們每一位教師都想能夠實現“少教多學”。

我校從2013 年起進行“少教多學”教學模式的探索，強調不拘形式，重在過程。在學習復合函數的單調性這節課中，我課前導學案布置了一道不等式：若logm2＞logn2＞0 時，則m，n 的大小關系是______。本想學生很快就能解決此問題，結果出乎意料地用了近20 分鐘的時間討論這道題，也讓我再次深深體會了學習一定要從學生的角度來研究，而不能主觀地以定式思維出發。

少教多學提倡學生多交流，多展示。因此上課的第一件事就是讓學生把昨晚預習的作業進行展示和交流。在展示預習作業的過程中，雪婷同學認為通過作圖能得到m，n 的大小關系，于是到黑板上畫了圖1 這樣的圖形，然后說“根據對數函數的圖象與性質，當底數大于1 時，底數越大，圖象越接近x 軸，從而得到n＞m。”我們一般在學生展示完后要接受同學的提問和老師的點評，于是就有同學提出疑問：為什么圖象是單調遞增的？雪婷同學回答：Qlogm2＞0 即logm2＞logm1∴y=logmx 單調遞增。在回答的過程中，雪婷同學發現了自己所畫的圖象邊上的不應該寫式子logm2，于是趕緊改為y=logmx 和y=lognx。這告訴我們一個道理，交流使人進步。雪婷同學話音剛落，又有同學提出能否借助直線y=1 與圖象的交點，如圖2 更能直觀地判斷n＞m，理由是logmm=lognn=1。

圖1

圖2

我肯定了這個同學的想法，請各小組交流兩種判斷方法的異同。一小組的同學總結說：兩個同學相同之處都是借助了對數函數的圖象；第二個同學的方法適用于任何一個對數函數的圖象比較底數的大小，更加直觀易理解，第一個同學掌握并運用了對數函數的性質，就是要注意區分底數大于1 還是小于1。到此，很多同學都以為問題已經解決了。可又有一組同學在交流過程中提出了另一個想法：用賦值法不是更簡單嗎？令m=2，n=4，滿足logm2＞logn2＞0，從而說明n＞m。同學們給予了掌聲。這時我提出了疑問，怎么保證沒有別的可能性呢？再交流。過后國薦同學補充賦值的依據，m，n＞1 且m≠n，因此只有n＞m 或n＜m 兩種情況。再令m=4，n=2 不成立，所以n＞m。我順著這位同學的發言再次提出思考，還有什么方法可以比較兩個對數的大小？再交流（我這里特意強調比較兩個對數的大小），很快有小組心領神會，子雋同學回答：化同底，看單調。于是∴m＜n。顯然，這里利用了logm2·log2m=1 的運算性質。但同時也提出了一個問題，能否得到log2m＜log2n，通過交流，欣瑜同學回答，分母大的倒數反而小，另一組有同學提問，如果一個負數一個正數就不符合了。再一組同學補充說把化為log2m＜log2n，兩邊同乘以log2m·log2n，只有同號時方向才不變，因此只要同號，分母大的就反而小。此時學生又收獲了除對數運算性質外的另一個不等式的性質，話音剛落，又有一組同學周臻說，也可以利用換底公式轉化為，更容易看出lgm＜lgn，從而1＜m＜n，（此時又復習了一個運算性質）。我看看花了不少時間了，想要結束此話題了，不想又有一個女生說，她們組還有一種解法，設logm2=x1，logn2=x2，則，即。又∵y=2x單調遞增，。真是出人意料。竟然也可利用對數式與指數式的互換，利用指數函數的單調性解決問題。這與利用對數函數的單調性有異曲同工之效果。

看著同學們對問題討論興趣的高昂，我再次拋出一個新的問題：若將此題改為已知logm2＞logn2，比較m，n 的大小？讓學生課后再做思考。

本節課本來的主題是復合函數的單調性，卻沒想到一道復習引入題引起這么多的討論與解決方法。雖然本節課還留下一些問題沒有解決，但讓我感受到了少教多學的樂趣，感受到了同學們之間交流的重要意義，更感受到了不一樣的思維方式。教師在教學過程中要注意分層教學，對待不同的學生，采取不同的教學方法，使得學生的弱點和缺陷得到強化提高，從而保證了學生的學習質量。

“少教多學”是對傳統教學的顛覆，是一種教學模式的創新。其實，“少教多學”也并非是一種全新的事物，在教學的某些環節上或不同的課型上，例如習題課和例題教學上，一般都采用少教多學的方法。但是，創新是對原有方法或關系的變革與調整，而不是徹底否決，因此創新一定要有所繼承，沒有繼承的創新好比無源之水，其生命力是不會長久的。從理論來看，新舊遷移是構建知識的基本形式；從實際來看，學生的學習水平與知識狀況不是在同一水平線上的，而且知識內化成認知結構需要一個不斷重復強化的過程，事實也正是這樣，因為缺少必要的預備與介入，一部分學生學習上困難重重，造成了學習上的退步。這才要求我們提倡“少教多學”，使學生理解并參與“少教多學”的探索，并落實到實處，在預習與展示和交流過程中發現問題、當堂解決問題，同時鞏固所學知識，樹立自強、自立、自信的理念。