多個不可分辨目標群的聯合檢測與估計誤差界

連峰,王婷婷,韓崇昭

(西安交通大學電子與信息工程學院,710049,西安)

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多個不可分辨目標群的聯合檢測與估計誤差界

連峰,王婷婷,韓崇昭

(西安交通大學電子與信息工程學院,710049,西安)

針對雜波和漏檢同時存在時多個不可分辨目標群聯合檢測與估計的性能評價問題,在隨機有限集框架下,利用信息不等式和最優子模式分配距離提出了該問題的誤差(下)界。首先將多個不可分辨目標群的狀態建模為多Bernoulli隨機有限集,并利用Mahler提出的連續個體目標數假設建模群目標測量似然函數;然后,結合最大后驗概率檢測和無偏估計準則獲得了建議的誤差界。仿真實驗展示了該誤差界隨雜波密度和傳感器檢測概率的變化趨勢,并利用不可分辨目標群勢概率假設密度濾波器和不可分辨目標群勢平衡多目標多Bernoulli濾波器對該誤差界的有效性進行了驗證。實驗表明,利用該誤差界可以對現有的不可分辨目標群聯合檢測與估計算法的性能進行有效衡量,使其在不同雜波密度和檢測概率下的平均相對誤差不超過7%。

誤差界;不可分辨目標群;聯合檢測與估計;隨機有限集

由于傳感器分辨率的限制,導致多個相距較近的點或個體目標不能夠被完全區分。將這一簇無法區分的點或個體目標視為一個整體,即為一個不可分辨的目標群[1]。目標群聯合檢測與估計(JDE)問題是指根據傳感器測量同時估計群個數和存活群的狀態,它是近年來一個新的研究熱點。目前,國內外已有一些學者提出了該問題的研究方法[2-4]。

誤差(下)界是指一個跟蹤算法理論上所能達到的最小誤差。傳統的克拉美羅下界[5](CRLB)僅考慮了估計誤差而非檢測誤差,故其不適用于JDE問題。隨后,Rezaeian等在隨機有限集(RFS)框架下提出了當雜波和漏檢同時存在時單個點目標的JDE誤差界[6];Tong等給出了該誤差界在有漏檢無雜波時的遞推形式并將其擴展到無雜波無漏檢時的多個點目標跟蹤場景[7];連峰等給出了單個擴展目標的JDE誤差界[8]。然而,至今為止還尚未有關于多個目標群JDE誤差界的相關結論。

為解決此問題,通過將多個不可分辨目標群的狀態建模為多Bernoulli RFS,并利用Mahler提出的連續個體目標數假設建模群測量似然函數,本文得到了雜波和漏檢同時存在時基于最優子模式分配(OSPA)距離[9]的不可分辨目標群JDE誤差界。仿真實驗展示了該誤差界隨雜波密度和傳感器檢測概率的變化趨勢,并利用不可分辨目標群勢概率假設密度(U-CPHD)濾波器[3]和不可分辨目標群勢平衡多目標多伯努利(U-CBMeMBer)濾波器[4]對該誤差界的有效性進行了驗證。實驗結果表明,利用該誤差界可以對現有的不可分辨目標群JDE算法的性能進行有效衡量,在不同雜波密度和檢測概率下的平均相對誤差不超過7%。

本文研究對于地面或海面集群目標監控、遠距多目標編隊運動、目標群的算法性能評估和傳感器管理等領域[10]均有潛在的應用價值。本文目前僅關注于目標群靜態JDE問題的誤差界。

1 問題描述

單個不可分辨目標群的狀態可建模為擴展矢量

(1)

式(1)中,x′用于建模位于同一狀態x處的由一簇(a個)個體目標構成的不可分辨目標群的狀態,其中L維列向量x=[x1,…,xL]T∈X?RL表示傳統的單目標狀態,a表示該不可分辨目標群所包含的個體目標數。根據Mahler提出的連續個體目標數概念,a∈A?R+為一個正實數,X′表示單個不可分辨目標群的狀態空間,X′=A×X?R+×RL。

令多個不可分辨目標群的狀態集合為X′,可建模為由N個獨立的單Bernoulli RFSsX′(t)并構成的多Bernoulli RFS,即

(2)

式中:N表示目標群的最大個數;X′(t)表示單個不可分辨目標群的狀態集合,密度為

(3)

(5)

式中:|X′|表示集合X′的勢。

記單個傳感器觀測矢量z∈Z,其中Z表示觀測空間。傳感器觀測集合由目標測量和雜波測量構成,可表示為

(6)

令?m(a,q)表示整數m≥0的廣義二項式分布,由概率產生函數Ga,q(l)定義,利用?m(a,q),單個不可分辨目標群的似然函數可建模為[11]

(7)

式中:pD(xt)表示至少有一個源于第t個不可分辨目標群的觀測被傳感器收到的概率;φ(z|xt)表示傳統的單目標單測量似然函數。

2 不可分辨目標群JDE誤差界

RFS框架下不可分辨目標群JDE問題的均方誤差可定義為

(8)

(9)

(10)

式中:c>0表示截斷誤差;Πn表示集合{1,2,…,n}的全排列;max(·)和min(·)分別表示取最大值和最小值運算;‖·‖2表示取2范數。

根據文獻[1]中的基本卷積公式,可得總的傳感器測量似然函數為

(11)

式中:W0⊕W1⊕…⊕W|X′|=Z表示若i≠j則Wi∩Wj=?,且W0∪W1∪…∪W|X′|=Z,即W0,W1,…,W|X′|是Z的一個個數為|X′|+1的劃分。

本文采用最大后驗概率(MAP)檢測準則估計不可分辨目標群的個數,給定測量集Z,目標群狀態估計集合的勢通過最大化后驗概率得到,即

(12)

為了獲得不可分辨目標群JDE誤差界,需要利用信息不等式[11]:若X×Z上的聯合概率密度f(x,z)滿足正則條件,則

(13)

i,j=1,2,…,L

(14)

當且僅當條件概率密度f(x|z)滿足高斯分布時,式(13)取“=”號。

定理1 若多個不可分辨目標群的狀態集合和測量集合分別滿足如式(2)所示的多Bernoulli模型和如式(6)所示的觀測模型,那么其聯合MAP檢測與無偏估計的誤差界為

(15)

其中

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

dz1…dzm

(21)

(22)

(23)

證明 給定觀測集合Zm,可得

(24)

其中

(25)

(26)

(27)

(28)

將式(27)、(28)代入式(24),可得

(29)

對于MAP檢測器,若滿足

(30)

利用式(9)的集合積分定義,可將式(8)寫為

(31)

再根據式(30)所示的MAP檢測準則,將式(31)中的積分區域Zm劃分為Z0,m,Z1,m,…,ZN,m,則

(32)

(33)

(34)

式中:Ωn,m為歸一化因子。

將式(4)、(11)分別代入式(33)、(34),并對式(34)中的z1,…,zm積分后可得

(35)

根據式(33)和OSPA定義,式(32)可表示為

(36)

(37)

(38)

那么,根據式(37)、(38),式(36)可寫為

(39)

(40)

根據式(40),可將式(39)中的積分項寫為

(41)

(42)

(43)

(44)

將式(42)代入式(41)、(39),即可得式(15)。

3 仿真實驗與分析

(45)

式中:U(·;εt)為在區間εt=[τ1,t,τ2,t]內均勻分布的概率密度函數(τ2,t>τ1,t>0),U(·;εt)=1/(τ2,t-τ1,t);N(·;x0,t,Qt)為高斯分布的概率密度函數,x0,t、Qt分別為均值和協方差矩陣。

不可分辨目標群的似然函數如式(7)所示,其中單目標單測量似然為

(46)

式中:h(xt)表示關于狀態xt的觀測函數;R表示測量噪聲協方差矩陣。

假設傳感器檢測概率為pD(xt)=pD,t=1,…,N。假設雜波集合Κ為一個Poisson RFS,密度可表示為

(47)

式中:υ(z)=λφ(z)為雜波強度;λ為平均雜波數;φ(z)為單個雜波分布的概率密度。令φ(z)=U(z;S),其中U(·;S)為監控區域內均勻分布的概率密度函數,U(·;S)=1/S2。

在本例中,假定監控范圍參數S=100,可能存在的不可分辨目標群的最大個數N=8,多個不可分辨目標群狀態集合參數分別為:r1=r2=0.8,r3=r4=0.6,r5=r6=0.4,r7=r8=0.2,ε1=ε2=[2,4],ε3=ε4=[4,6],ε5=ε6=[6,8],ε7=ε8=[8,10],x0,1=[10,10]T,x0,2=[10,-10]T,x0,3=[-10,10]T,x0,4=[-10,-10]T,x0,5=[30,30]T,x0,6=[30,-30]T,x0,7=[-30,30]T,x0,8=[-30,-30]T,且

(48)

傳感器觀測函數和觀測噪聲協方差矩陣分別為

(49)

對不可分辨目標群的個體目標數和位置差的下界分別進行展示。令OSPA距離中的個體目標數截斷誤差為60,位置截斷誤差為500。

圖1展示了在不同pD下建議的不可分辨目標群JDE誤差界隨λ的變化曲線,反映了給定不同的pD,建議的誤差界并不總是隨λ單調增,給定不同的λ,建議的誤差界并不總是隨pD單調減。這是因為當pD<1或λ>0時,λ或pD的增大均能同時產生降低群丟失的可能性和增加虛假群估計兩個相反的作用,若前者占據主導作用,該界隨λ或pD的增大而減小,否則該界隨λ或pD的增大而增大。

本例利用U-CPHD濾波器和U-CBMeMBer濾波器兩種算法對建議的界進行驗證。由于目前該誤差界僅關注于靜態問題,因此在上述兩種算法中,令每個目標群狀態的時間演化模型為

(50)

圖2給出了建議的界與上述2種算法的穩態誤差的比較結果。從圖2可以得出以下結論。

(1)對于不同的雜波密度和檢測概率,盡管U-CPHD和U-CBMeMBer的平均OSPA距離曲線沒有完全達到本文所建議的誤差界,但兩者均接近于該誤差界,且后者的性能優于前者。這是因為U-CPHD和U-CBMeMBer算法本身均有不同程度的近似,

并且在它們的粒子濾波實現中,U-CPHD

(a)群內個體目標數JDE誤差界

(b)群位置JDE誤差界圖1 不同pD下建議的不可分辨目標群JDE誤差界隨λ的變化曲線

(a)pD=1時群內個體目標數的JDE誤差

(b)pD=1時群位置的JDE誤差

(c)pD=0.6時群內個體目標數的JDE誤差

(d)pD=0.6時群位置的JDE誤差

(e)pD=0.2時群內個體目標數的JDE誤差

(f)pD=0.2時群位置的JDE誤差圖2 U-CPHD和U-CBMeMBer算法的JDE誤差與建議的界隨λ的變化曲線

在狀態提取步由于聚類還會引入額外誤差,而U-CBMeMBer無需聚類便可直接提取狀態。

(2)給定檢測概率、雜波密度越大時,或者給定雜波密度、檢測概率越低時,U-CPHD和U-CBMeMBer在執行過程中由于各自算法本身的近似或聚類等因素而增加的誤差會越顯著,導致它們的平均OSPA距離誤差超過建議的誤差界越多。兩者中的最優值與該界相比:相對誤差最大不超過12%;不同pD和λ下的平均相對誤差約為7%。這說明本文建議的誤差界能夠正確反映這兩個不可分辨目標群JDE算法可能達到的最優性能,可用作衡量該類算法性能的一個有效指標。

4 總 結

本文在RFS框架下,根據信息不等式提出了雜波和漏檢同時存在時針對多個不可分辨目標群的JDE誤差界。為了推導該誤差界,首先采用多Bernoulli RFS和連續個體目標數假設建模目標群的狀態和觀測模型,并利用OSPA距離而非傳統的歐式距離定義目標群估計狀態集和真實狀態集間的誤差,最后結合MAP檢測和無偏估計準則獲得本文結論。仿真實驗表明:利用該誤差界可以對現有的不可分辨目標群JDE算法的性能進行有效衡量。

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(編輯 趙煒)

Error Bounds of Joint Detection and Estimation for Multiple Unresolved Target-Groups

LIAN Feng,WANG Tingting,HAN Chongzhao

(School of Electronics and Information Engineering, Xi’an Jiaotong University, Xi’an 710049, China)

Aiming at the performance evaluation of joint detection and estimation (JDE) for multiple unresolved target-groups in the presence of clutters and missed detections, an error (lower) bound is proposed using information inequality and optimal sub-pattern assignment distance within the random finite set (RFS) framework. Firstly, the states of multiple unresolved target-groups are modeled as a multi-Bernoulli RFS, and the group observation likelihood is modeled based on the assumption of the continuous individual target number proposed by Mahler. Then, the maximum posterior probability detection criteria and unbiased estimation criteria are used in deriving the proposed bound. Experimental results show that the proposed bound can effectively indicate the performance limits of JDE algorithms for the existing unresolved target-groups, and the average relative error is less than 7% for various clutter density and detection probability.

error bound; unresolved target-group; joint detection and estimation; random finite set

2015-02-01。

連峰(1981—),男,副教授。

國家自然科學基金資助項目(61473217);陜西省自然科學基金資助項目(2014JQ8333)。

10.7652/xjtuxb201511015

TP274

A

0253-987X(2015)11-0089-07