“生動”教學(xué)模式下線性代數(shù)的教學(xué)設(shè)計與實踐
——以線性方程組為中心展開

劉 　 薇

(湖南財政經(jīng)濟學(xué)院 基礎(chǔ)課部，湖南 長沙 410205)

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“生動”教學(xué)模式下線性代數(shù)的教學(xué)設(shè)計與實踐
——以線性方程組為中心展開

劉 薇

(湖南財政經(jīng)濟學(xué)院 基礎(chǔ)課部，湖南 長沙 410205)

摘要：通過對線性代數(shù)課程內(nèi)容的優(yōu)化，以學(xué)生為主體，采用“生動”的教學(xué)方法進行線性代數(shù)教學(xué)，實踐證明，“生動”教學(xué)模式不僅解決了線性代數(shù)課時少、內(nèi)容多的問題，而且營造了生動活躍的線性代數(shù)課堂，激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)線性代數(shù)的積極性，提高了學(xué)生分析問題和解決問題的能力。

關(guān)鍵詞：線性代數(shù)；生動；教學(xué)實踐

線性代數(shù)作為大學(xué)數(shù)學(xué)課程中的一門主干課程，具有較強的邏輯性、抽象性以及廣泛的實用性。自各高等院校開設(shè)線性代數(shù)課程以來，大多數(shù)的教學(xué)以理論講授為主，而學(xué)生大多數(shù)是被動的學(xué)習(xí)，現(xiàn)階段高校教學(xué)改革后，線性代數(shù)課程目標的取向是幫助學(xué)生追求智力的卓越發(fā)展，數(shù)學(xué)能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升[1]。“教師講授，學(xué)生聽記”的教學(xué)模式，達不到理想的教學(xué)效果，也無法適應(yīng)學(xué)生的學(xué)習(xí)要求。針對線性代數(shù)課程課時少，內(nèi)容多的問題，對線性代數(shù)現(xiàn)有的教學(xué)內(nèi)容進行優(yōu)化，突出以學(xué)生為主體，將“生動”的教學(xué)模式實踐于教學(xué)，營造活躍的教學(xué)課堂氛圍，既帶動了學(xué)生學(xué)習(xí)線性代數(shù)的積極性，又提高了教師教授線性代數(shù)的教學(xué)質(zhì)量。

1線性代數(shù)教學(xué)內(nèi)容的優(yōu)化

目前我國線性代數(shù)[2]課程的教學(xué)內(nèi)容主要有行列式、矩陣、線性方程組、向量組的線性相關(guān)性、特征值與特征向量及二次型。初學(xué)者對分散的塊狀結(jié)構(gòu)感到線性代數(shù)知識點較多，內(nèi)容不連貫，學(xué)習(xí)起來毫無頭緒，因此教師在教學(xué)過程中需要把握線性代數(shù)的核心思想，理清課程的脈絡(luò)，使學(xué)生對課程有一個整體的把握。

線性代數(shù)課程有“形散而神不散”的特點，雖然看起來內(nèi)容較為松散，但實際上章節(jié)之間密切相關(guān)。教學(xué)實踐發(fā)現(xiàn)，線性方程組及矩陣的初等行變換是線性代數(shù)的核心思想。以線性方程組作為突破口進行教學(xué)，是一個行之有效的方法[3]。優(yōu)化線性代數(shù)教學(xué)內(nèi)容即先由線性方程組，給出行列式、矩陣、向量和向量組，再由矩陣的初等變換給出矩陣(向量組)的秩、向量的線性相關(guān)性、線性方程組的解等理論和概念。因此以線性方程組為主線構(gòu)建的教學(xué)體系邏輯性強，便于問答式、探究式“生動”教學(xué)法的實施。線性代數(shù)課程內(nèi)容優(yōu)化體系結(jié)構(gòu)如圖1所示。

圖1“線性代數(shù)”內(nèi)容優(yōu)化體系結(jié)構(gòu)圖

2“生動”教學(xué)法在課堂中的實踐

“生動”的教學(xué)模式在線性代數(shù)課堂中的具體實踐過程如下：布置研究課題，學(xué)生自學(xué)、查找資料、初步學(xué)習(xí)分析；解決研究課題，學(xué)生提問，教師引導(dǎo)答疑；歸納總結(jié)，學(xué)生歸納與總結(jié)、教師評價與完善。

“生動”教學(xué)模式的施教過程中要求教師注意以下幾點：

(1)學(xué)生是教學(xué)的主體，教師是引導(dǎo)者。首先教師應(yīng)本著“以學(xué)生為主體，學(xué)生為中心”的教學(xué)觀念進行施教。其次，要構(gòu)建適宜的教學(xué)情景，激發(fā)學(xué)生探究問題的積極性，引導(dǎo)學(xué)生提出問題、分析問題、解決問題。

(2)師生換位提問，鼓勵學(xué)生敢于提出問題，充分挖掘?qū)W生的創(chuàng)新潛能，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識。

(3)課堂小結(jié)和課題總結(jié)，注意問題的補充。

首先，教師將第一個課題進行示范，即行列式，提交課題報告并在課堂上講解課題主要內(nèi)容及典型例題。然后，將班級學(xué)生分為四大組，每一組分配一個課題，要求本組學(xué)生共同完成此部分課題的研究，并提交課題報告，分節(jié)分點講解課題研究的主要內(nèi)容。最后，教師作點評、總結(jié)和考核。

背景題設(shè)：引入線性方程組

(*)

學(xué)生示范課題1矩陣及其運算、逆矩陣的求解、矩陣的初等變換、矩陣的秩，初等變換法求解矩陣方程

(1)矩陣定義及其運算

背景題設(shè)中線性方程組的系數(shù)矩陣記為：

(2)求解矩陣A的逆矩陣

法一：伴隨矩陣法，即

因為|A|=-5≠0，則A可逆，且

法二：用矩陣的初等變換求逆矩陣，即

(3)矩陣的初等變換

B為A的行階梯形矩陣。

C為A的行最簡性矩陣，也為A的標準形。

(4)求矩陣的秩

解因為A→B，有r(A)=r(B)，所以由(3)可知A的秩為3。

(5)用初等變換法求解矩陣方程

令X=(x1,x2,x3)T，B=(-2,1,0)T，則此線性方程組可表示為矩陣形式：AX=B，解AX=B，則X=A-1B。

用初等變換法求解矩陣方程AX=B，即

(6)內(nèi)容補充及拓展

教師圍繞學(xué)生所提出的問題對該課題進行補充、小結(jié)，帶動學(xué)生思考以下問題：矩陣的運算中，乘法不滿足交換律和消去律；方陣才有冪，行列式和其對稱矩陣；矩陣A可逆的充要條件是|A|≠0；初等變換法可以求矩陣的秩；求逆矩陣；解矩陣方程，即矩陣的初等變換不改變行(列)之間的線性關(guān)系。

學(xué)生示范課題2向量、向量組的線性相關(guān)性、向量組的秩、向量空間、線性方程組解的結(jié)構(gòu)。

背景題設(shè)中線性方程組的矩陣形式記為：AX=B，其導(dǎo)出的齊次線性方程組記為AX=0。

線性方程組向量的表現(xiàn)形式：

(1)向量組的線性相關(guān)性

討論α1,α2,α3,β的線性相關(guān)性，即對由α1,α2,α3,β生成的列向量組做初等行變換，化其為行階梯型矩陣(或行最簡形矩陣)，則求得其線性相關(guān)性，一個極大線性無關(guān)組和向量組的秩。

解(α1,α2,α3,β)=

(2)向量組的秩

rank(α1,α2,α3,β)=3，即為α1,α2,α3,β的極大無關(guān)組所含向量的個數(shù)。

(3)線性方程組解的結(jié)構(gòu)

求線性方程組

(**)

及其導(dǎo)出的齊次線性方程組的通解。

ξ1=(-1/2 -1/2 1 0 0)T，ξ2=(0 -1 0 1 0)T，ξ3=(2 -3 0 0 1)T

故齊次方程組的通解為

x=c1ξ1+c2ξ2+c3ξ3,(c1,c2,c3∈)

求原方程的特解：令x3=x4=x5=0，得

η*=(-9/2 23/2 0 0 0)T，故原方程的通解為

x=c1ξ1+c2ξ2+c3ξ3+η,(c1,c2,c3∈)。

由上題易知，若ξ1,…,ξn-r是Ax=0的基礎(chǔ)解系，η*是Ax=b的一個解，則非齊次線性方程組Ax=b的通解可表示為x=c1ξ1+c2ξ2+…+cn-rξn-r+η*，c1,c2,…,cn-r∈。

(4)內(nèi)容補充及拓展

學(xué)生示范課題2中，學(xué)生圍繞教師布置的背景題設(shè)方程組(**)，講解線性方程組的向量表示形式、向量的線性相關(guān)性、向量組的秩、矩陣與向量組秩的關(guān)系和向量空間及其基與維數(shù)。對線性方程組用消元法和矩陣的初等變換進行求解。課堂上學(xué)生提出問題：a.齊次線性方程組和非齊次線性方程組的解與其系數(shù)矩陣或增廣矩陣之間的關(guān)系；b.向量組線性相關(guān)性的理解；c.極大無關(guān)組與基的聯(lián)系與區(qū)別；d.如何求矩陣或向量組中的一個極大無關(guān)組，如何求向量空間中的一個基。

教師圍繞學(xué)生所提出的問題對該課題進行補充、小結(jié)，帶動學(xué)生思考：a.討論向量組的線性相關(guān)性即討論其齊次線性方程組有無非零解；b.由于矩陣或向量組的初等變換保持了向量間的線性無關(guān)性和線性相關(guān)性，即可用其求解線性方程組的解、向量組的線性相關(guān)性、向量組的秩和一個極大無關(guān)組；c.若把向量空間V看作向量組，則V的基就是向量組的極大無關(guān)組，V的維數(shù)就是向量組的秩；d.通過矩陣的運算給出兩個基的變換公式和向量在兩個基下的坐標變換公式；e.齊次線性方程組與非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)。

3考核測評方法

“生動”的教學(xué)模式要求教師對學(xué)生進行考核時，不單憑一張期末試卷來決定學(xué)生對該課程學(xué)習(xí)程度。我們采取的考核測評分為四個部分來進行加權(quán)求和，即課題研究報告20%，課堂表現(xiàn)10%，能力測試20%，期末試卷分數(shù)50%。其中課堂表現(xiàn)包括兩方面的內(nèi)容：一是課堂中對該課題的講解及討論；二是對線性代數(shù)的知識點總結(jié)。能力測試包括兩方面內(nèi)容：一是課后作業(yè)情況；二是教師布置幾道具代表性的習(xí)題進行隨堂測試情況，這種考核方式可以督促學(xué)生有意識地培養(yǎng)自己解決實際問題的能力，提高自己的創(chuàng)新意識和能力。

4結(jié)束語

運用文章中的“生動”教學(xué)模式對本院《線性代數(shù)》課程進行施教，實踐發(fā)現(xiàn)，“生動”教學(xué)模式不僅解決了《線性代數(shù)》課程課時少、內(nèi)容多的問題，而且為師生營造了生動活躍的線性代數(shù)課堂，激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)線性代數(shù)的積極性，提高了學(xué)生分析問題和解決問題的能力。通過對所教的6個班級進行比較分析，其中3個班級采取“生動”教學(xué)模式，另外3個班采取“傳統(tǒng)授教”模式。期中期末進行該課程考核，將成績進行比較發(fā)現(xiàn)，“生動”教學(xué)模式授課班級學(xué)生成績平均分超過“傳統(tǒng)授教”模式班級10分以上，且不及格率幾乎為零。同時在全校學(xué)生的評教活動中，該教學(xué)模式受到學(xué)生的歡迎。“生動”教學(xué)模式激發(fā)了學(xué)生探索問題的能力，使之運用此方法進行其它課程的學(xué)習(xí)，大大提高了學(xué)生的學(xué)習(xí)能力。因此，“生動”教學(xué)模式不僅培養(yǎng)了學(xué)生的思維，而且促進了大學(xué)生創(chuàng)新素質(zhì)的發(fā)展，并全面提高高校教學(xué)質(zhì)量。

參考文獻:

[1]COMAP.數(shù)學(xué)的原理與實踐[M].申大維，方麗萍，葉其孝，譯.北京：高等教育出版社, 1998.

[2] 吳贛昌. 線性代數(shù)[M].4版.北京: 中國人民大學(xué)出版社, 2011.

[3] 何立國, 施武杰. 以線性方程組為中心展開線性代數(shù)課程的教學(xué)[J]. 大學(xué)數(shù)學(xué), 2009, 25(6): 203-206.

Teaching Design and Practice of Linear Algebra Based Vivid Teaching Mode——To Linear Equation Group as the Center to Carry Out

LIU Wei

(Department of Basic courses, Hunan University of Finance and Economics, Changsha 410205, China)

Abstract:Through the optimization of the linear algebra curriculum content, we take the student as the main body. Using the teaching method of "vivid" linear algebra teaching, practice proved that the "vivid" teaching model can not only solve the linear algebra class is small, the contents of many problems, but also create a linear algebra class lively and active, and stimulate students to learn actively linear algebra, and improve students' ability to analyze and solve problems.

Key words:linear algebra, vivid, teaching practice

文章編號：1007-4260(2015)03-0110-04

中圖分類號：O13

文獻標識碼：A

DOI：10.13757/j.cnki.cn34-1150/n.2015.03.029

作者簡介：劉薇，女，湖南岳陽人，碩士，湖南財政經(jīng)濟學(xué)院基礎(chǔ)課部講師，研究方向為統(tǒng)計、代數(shù)分析。

基金項目：湖南省高等學(xué)校科研基金項目(12C0565)和湖南財政經(jīng)濟學(xué)院青年教師科研基金項目(Q201401)。

收稿日期：2014-12-14

網(wǎng)絡(luò)出版時間：2015-8-25 15:40網(wǎng)絡(luò)出版地址：http://www.cnki.net/kcms/detail/34.1150.N.20150825.1540.029.html