數學估計及中國數學課程標準對其的培養要求

沈 威，曹廣福

（廣州大學 數學與信息科學學院，廣東 廣州 510006）

數學估計及中國數學課程標準對其的培養要求

沈 威，曹廣福

（廣州大學 數學與信息科學學院，廣東 廣州 510006）

摘要：數學估計包括定量數學估計和定性數學估計兩類.定量數學估計分為3個方面：估數，估算和估測.而對定性數學估計的研究尚沒有研究者涉及，經過探究發現，定性數學估計既是認知對象，也是元認知的重要成分.中國數學課程標準對數學估計能力的培養要求是從以定量數學估計為主向以定性數學估計為主方向發展，開發適合于不同學段的教學材料和教學策略是今后數學估計研究的重要任務之一.

關鍵詞：估計；估數；估測；估算；定量數學估計；定性數學估計

估計（Estimation）在美國早已被列入數學課程標準[1~6]，1980年美國數學教師理事會（NCTM）在《行動的綱領》中建議“教師應該經常地有規律地將估計（Estimation）活動結合到數學程序中去，特別地，應鼓勵學生在提出和選擇對象以及研究結果的合理性時進行估計練習.”1990年NCTM頒發了《美國中小學數學課程標準》，把估計作為“數學的合法部分”，將估計能力作為一條重要的標準.中國在2001年由教育部頒布了《義務教育數學課程標準（實驗稿）》，將估算（Computational Estimation）納入小學數學教學內容，與“口算”、“計算”地位并重.自從估算被列入2001年《義務教育數學課程標準（實驗稿）》便受到中國教育研究者的高度關注，既有數學教育內部的研究者[7~13]，也有數學教育外部的研究者[14].從已有研究文獻來看，估計與估算混用常有出現，這樣不但不利于對估算的理論研究和教學實踐，而且容易混淆估計與估算的本質.研究擬對與數學學習有關的數學估計研究及中國數學課程標準對其的培養要求作一探討.

1　數學估計

估計是重要的數學活動之一，也被認為是數感的重要組成部分[15].Beishuizen[16]認為快速而相對準確的估計能力有兩個好處：一是可以讓學生通過其他方式檢查自己答案的合理性；二是可以幫助學生發展較好的位值理解、數學操作和一般數感.

鮑建生[6]對估計做了深入細致的研究，他認為“對估計的研究還不夠廣泛和深入，國外（主要是美國）的討論基本集中在估算這一比較狹窄的范圍內，而國內對此的研究更少.”“估計常被等同于估算，而估算又常常局限于近似計算，這是一種片面的看法，實際上，估計是人類的一種最頻繁的心理活動.”鮑建生認為估計至少包括5種類型的估計：日常生活中的估計；測量中的估計；有效的精確度；價值性估計；利用計算機的估計.他總結了估計的3個特點：一是估計是一種介于推理和猜想之間的心理活動；二是估計是一種開放性的創造活動；三是估計是一種實用性的社會活動.

據此可以歸納出估計的一些本質特征：運用已有經驗；結合實際情境；相對快速；滿足一定條件；是心理活動；估計的結果是產生一個判斷.所以，估計可以界定為：估計是主體結合實際情境運用已有經驗產生一個相對快速且滿足一定條件的判斷的心理加工過程.把估計運用于不同的領域便表現出相應領域的估計特征，把估計運用于數學領域則表現出數學的估計特點.因此，數學估計是主體結合實際情境運用已有的數學經驗產生一個相對快速且滿足一定條件的數學判斷的心理加工過程.從數學估計產生的結果來看，有的數學估計是獲得一個量的判斷，有的數學估計是獲得一個猜想、思路或方法等非量的判斷，稱前者為定量數學估計，后者為定性數學估計.

2　定量數學估計

從現有研究來看，主要涉及3種定量數學估計類型：數量估計（numerical estimation簡稱估數）、測量估計（measurement estimation簡稱估測）和計算估計（computational estimation，簡稱估算）[17].

2.1對估數的研究

估數被認為是一種有關數字判斷的數學問題解決形式，是靈活運用數學知識的一種適應性問題解決方式.估數實際是在沒有足夠時間數出物體的數量，或要數的物體數量過大，或對非靜止的物體根本無法做出計數的情況下做出一種粗略估計，是一種高層次的認知加工過程[18].估數的研究主要涉及估數的精確性、表征方式和策略.研究表明，估數的精確性隨年齡的增長而提高；物體特性、時間向度和空間向度是影響個體數量估計精確性的主要因素，物體的大小、圖形形狀和規則性等物體特性均影響數量估計的精確性.

司繼偉[19]認為不同數學學業水平小學生數量估計準確性存在顯著差異，優生的估計準確性顯著高于差生；圖形排列方式不同對兒童數量估計的準確性會產生顯著影響.均勻排列的圖形會比不均勻排列的圖形高估；規則排列的圖形會比隨機排列的圖形高估.在表征方式研究上，目前主要認為個體對數量估計的表征存在兩種模型：對數規則模型和累積模型.對數規則模型認為人類和其他動物一樣依靠單一的對數規則進行表征；累積模型則認為所有的人都把數量表征為隨數量的增加呈線性增長.盡管這兩種模型為人類及其他如何進行數量表征提供了有力的解釋，但似乎還沒有一種模型能夠完整描述人們進行數量表征時所使用的表征方式.在估數策略上，人們傾向于使用3種策略：相加、相減和估計[18].

2.2對估測的研究

估測是一種非常實用的日常數學技能，主要包括對長度、面積、重量、溫度和價格等日常數學范疇的估計[20].Bright將估測界定為“在不使用一般的測量工具的情況下，以某種方法推測出測量結果的一種心理加工過程”[21].估測研究主要包括估測能力發展及影響因素和估測的策略.已有研究成果已經初步揭示了個體估測能力發展的趨勢，發現個體在估測能力上，從小學到中學，從低年級到高年級，是不斷發展的，成人的估計能力比學生好許多；也有研究顯示估測能力可能與性別有一定關系，即男性在估計距離和高度時要好于女性，但是估計重量和溫度時則沒有發現類似情況[20].莊維展的研究結果卻顯示男女兒童在面積、長度、容量、重量等4種估測任務上的表現并無明顯差別[22].關于估測的策略，一般認為，常見有效估測策略大體可分為3類：單位迭代、參照點（又稱基準點）、在估計前把估計物進行心理轉換.單位迭代是指估計者在估計時，使用某個標準單位（如厘米），反復將標準單位與估計物相對照，記住上次標準單位結束的位置，開始下一次對照，計算單位的數目，從而得出估計結果.這種策略要求估計者在估計時若沒有呈現單位，需要回憶這個單位并對估計物進行分解.在已發現的估測策略中，單位迭代運用得最為普遍[20].

司繼偉對青少年估測能力的發展狀況進行了研究[23]，認為：（1）青少年的總體估測能力普遍較低；（2）青少年的估測能力在初中階段會顯著提高，但之后的發展相對緩慢；（3）青少年的估測成績易受任務類型和題目形式的影響，對長度任務的估測成績好于對面積的估測；對圖形題目的估測成績好于對實際物體的估測；（4）青少年的估測能力不存在明顯性別差異.

2.3對估算的研究

比起估數和估測，關于估算的研究成果相對較多.司繼偉對小學兒童估算能力做了深入的研究，他把估算界定為“個體未經過精確計算而只借助原有知識對問題提出粗略答案的一種估計形式，是心算、數概念和算術計算技巧之間相互作用的過程”[24].司繼偉認為小學兒童的估算能力存在非常明顯的題目類型差異，他們給估算值距離精確值的偏離程度隨問題難度上升而逐漸增加；三年級可能是整數和小數估算能力發展的一個關鍵期，而五年級則是分數估算能力發展的較好時期；在不同問題特點影響下，小學兒童的估算成績隨問題難度上升而明顯下降，數字大小、調整幅度和問題形式等問題特征都對估算速度有明顯影響，實際背景中多余條件的出現會明顯延長兒童的估算時間等.

陳麗蘭研究了9~12歲兒童估算策略選擇的發展特點[25]，她認為兒童在估算時選擇了多種策略，且策略的使用頻率并不相同，取整使用最頻繁，其次是先補償，轉換和分解策略的使用頻次最小；隨著問題特征難度的增加，估算策略選擇的最佳擊中率降低；隨著年齡的增長，估算策略選擇的個數增加，估算策略選擇的最佳擊中率上升，其中四、五年級兒童的最佳擊中率上升尤為顯著；估算策略的選擇不存在性別差異.

張云仙對學業不良生與學優生的估算能力做了比較研究[26]，她認為：（1）數學學業不良兒童的整數和小數的估算成績沒有達到顯著差異，但都與分數估算成績達到顯著差異，分數估算成績最差，等級性估算成績顯著好于參考數估算和開放式估算成績，但參考數估算和開放式估算成績差異不顯著；（2）學優兒童的整數估算成績顯著高于小數成績，而小數估算成績又顯著高于分數成績，等級性估算成績顯著高于參考數估算成績，開放式的估算成績也顯著好于參考數估算成績；（3）學業不良兒童與學優兒童比較，更容易犯盲目猜測錯誤、運算規則執行錯誤、小數點位置錯誤和位值錯誤.

雖然估算的研究文獻相對多些，卻對估算沒有形成統一認識.例如張奠宙認為：小學估算的基礎是精確計算，沒有精確度的估算是“胡算”[13]；而司繼偉則認為：估算是個體未經過精確計算而只借助原有知識對問題提出粗略答案的一種估計形式，是心算、數概念和算術計算技巧之間相互作用的過程[24].事實上，他們對估算的界定都只抓住了估算的某一個方面，并沒有從數學的全貌來研究估算，從而他們的界定都有失偏頗.針對張奠宙的界定，在小學階段有“401接近一個什么樣的數？”的問題，這不需要精確計算，只要比較或觀察就可以得到401接近400的結果，所以這種估算不是在精確計算的基礎上；針對司繼偉的界定，在解決問題過程中，往往不能直接得到結果，要在一定嚴格演繹計算基礎上可以通過估算把握結果，這是是建立在嚴格的邏輯演繹基礎上的估算，例如，函數極限的e-d中的d確定就是在嚴格精確計算基礎上估算的.因此，估算可以進一步界定為：估算是主體結合數學情境運用已有數學計算經驗產生一個相對快速且滿足一定條件的、與計算有關的、判斷的心理加工過程.

2.4對定量數學估計能力的研究

劉效貞[27]等以數學估計由估數、估測和估算3種類型構成為依據，研究了初中生的數學估計能力及其與元認知監控的關系.經過研究發現：（1）中國初中生的估計能力發展相對不充分，在估數、估測、估算等任務上得分均較低.初二學生在不同估計任務中的表現相對較好；在估算任務中，男生的表現顯著優于女生.估計能力從整體上并無穩定的性別差異.（2）元認知的4個維度與估計表現均存在顯著正相關.自我意識維度可以顯著正向預測估計表現，是估計表現的一項良好的預測指標.具體來說，計劃維度可以正向預測估數和估算表現，而自我意識維度可以正向預測估測和估算表現.

2.5對定量數學估計心理模型的研究

Alexander[28]認為數學估計由估算與估測構成，并根據實驗研究建構了數學估計的心理模型（如圖1），他根據研究解構把數學估計心理模型分為相關的兩類：參照估計和解構/重構估計.參照估計是個體知道參照標準于運用被估計項目（To-Be-Estimated item (TBE)）的過程；對于一些估計問題沒有參照標準可用時，主體第一步要把TBE解構為足夠小的樣本以至于運用參照估計，然后再重構這些樣本得到最終的估計.Alexander研究了6種類型的估計問題：整數長度參照估計，分數長度參照估計，正則長度解構/重構估計，正則數字解構/重構估計，非正則長度解構/重構估計，非正則數字解構/重構估計.根據研究結果，他建構出如下的數學估計心理模型.

圖1　估計模型

3　定性數學估計

目前所討論的數學估計都是定量數學估計，與定量數學估計相對應的是定性數學估計，對定性數學估計的研究尚沒有研究者涉及，但是定性數學估計在數學問題解決或數學研究過程中無處不在.定性數學估計不但作為認知的直接對象，還是監控認知過程的元認知的重要成分.

作為認知對象，定性數學估計在數學問題解決或數學研究中的表現之一則是猜想.解題者在問題解決過程中，經過一定的邏輯演繹的計算或推理，對邏輯演繹的非數字結果做出估計，估計演繹結果的結構與特征，這種估計的結果就是猜想.定性數學估計的表現之二則是對解題模式或解題方法的估計.題者在問題解決過程中，經過一定的邏輯演繹的計算或推理，對接下來的計算或推理做出估計，估計下一步或若干步計算或推理需要的方法，估計下一步或若干步計算或推理需要的解題模式.定性數學估計的表現之三則是統計估計，即研究者在獲得一定的統計數據的基礎上，根據數據所反映的某種統計規律或特點對今后一段時間發生該情況做出估計，不同的研究者對同一現象的統計結果是不同的，有些研究者的估計比較準確，而有些研究者的估計卻欠準，這也反映了統計研究者估計能力的不同.

作為元認知成分，估計就是預見的主要成分，在元認知監控過程中，預見是非常重要的，通過預見主體可以把自身置于非常有利的位置上.例如，在數學解題的整個過程，主體隨時估計自己的處境，判斷問題的性質，展望問題的前景.對數學問題的性質、特點和難度以及解題的基本策略和基本思維做出大致的估計、判斷和選擇；猜想問題的可能答案和可能采取的方法，并估計各方法的前景和成功的可能性等，要設法使自己置身于一個最便于行動的位置上，處在一個最易于抓住問題的位置上[29].事實上，定性估計離不開定量估計，定量數學估計也離不開定性數學估計，而定性數學估計是發明創造的基礎，從某種意義上講，定性數學估計要比定量數學估計更加重要.

4　中國數學課程標準對數學估計能力的培養要求

數學估計是一種重要的數學能力，培養學生的數學估計能力顯得非常必要與迫切.表1列出了《義務教育數學課程標準（2011）》[30]和《普通高中數學課程標準（實驗）》[31]對數學估計的課程要求，從中能夠看出中國數學課程標準對數學估計能力培養的重點與規律.

表1　中國數學課程標準對數學估計能力的培養要求

由表1可知，在第一學段，課程標準對數學估計能力的培養放在“數與代數”和“圖形與幾何”上，沒有把數學估計能力的培養放在“統計與概率”上，這是由第一學段學生的認知水平決定的.第一學段學生的年齡小，其認知水平處于對確定性對象的認知，沒有達到認識隨機現象的認知水平.培養重點是定量估計，即與四則運算、度量單位、面積計算等有關的估測和估算.通過這些簡單的定量估計發展學生的數感.第二學段，以定量估計為主，以定性估計為輔.在定量估計中，以估算為主，估測為輔；在定性估計中，主要是能對一些簡單的隨機現象發生的可能性大小做出定性描述.第三學段，定量估計和定性估計并重.定量估計主要表現在估計數的范圍、求近似數等；定性估計表現為猜想、預測結論，用頻率來估計概率等.高中階段，以定量數學估計為輔、定性數學估計為主.定量數學估計表現為對近似數的估計，定性數學估計表現為對解題模式、方法的估計，對統計數據的估計，對合情推理結果的估計等.如果以同心圓環的面積表示各個學段數學估計能力的發展，由內向外擴張，前一學段的數學估計能力是后一學段發展的基礎，隨著學生學段的升高，其知識和認知能力也在不斷提升，學生數學估計能力也發展得更高，整個大圓的面積就是學生數學估計能力發展的總體狀況，圖2可以表征中國數學課程標準對數學估計能力培養要求的模型.

圖2　中國數學課程標準對數學估計能力培養要求的模型

5　展 望

數學估計潛浸在人類的數學思維過程中，表現出數學估計無所不在，但是真正認識到數學估計及其價值比較晚，對數學估計開展相關研究的文獻不多.從已有研究文獻來看，數學估計的研究主要涉及估數、估測和估算3種類型，這3種類型的數學估計都是定量數學估計，即從量的角度研究數學估計；而比定量數學估計更加重要的定性數學估計更加需要深入研究.即便在定量數學估計中，是不是只含有估數、估測和估算3種類型？是否還有其他類型的定量數學估計？估數、估測和估算之間有何區別與聯系？從中國《義務教育數學課程標準（2011）》對數學估計的培養要求看，只提到估算與估測，并沒有把估數納入課標體系.在《中國數學課程標準對估算要求的變化探析》[32]一文中，估算與估測等數學估計的概念之間關系表述不清，沒有明確估計、大約、估測、推測等與估算之間的層級關系.因此，對有關數學估計的研究需要做出進一步探討.

目前有關數學估計的研究比較松散，缺少對數學估計的系統理論研究，而且對一些核心概念還沒有大致的統一認識，因此有必要對數學估計進行理論梳理，建構能被國內數學教育工作者基本認同的數學估計理論框架和分析框架.在相應的框架下析出相應的二級、三級或多級的數學估計層級概念，并保持內在的一致性.研究各層級可檢測的行為指標，通過可檢測的行為指標使得數學估計便于把握和研究，根據各級指標制定相應的各年級或各學段量表，這樣能夠正確測量目前中國學生數學估計能力的水平，為教學提供客觀依據.研究數學估計的目的是促進學生數學估計能力的發展，因此，要根據數學估計的研究成果開發促進學生數學估計能力發展的教學策略.從上述的討論來看，小學生、中學生對數學估計能力發展的需要是不同的，小學生的估計能力發展偏重以定量數學估計為主，隨著年齡的增長，應該逐漸從培養定量數學估計能力為主過渡為培養定性估計數學能力為主，所以對不同年齡或不同學段學生的數學估計能力培養的教學材料和教學策略也是不同的，開發與不同年齡學生相適應教學材料和教學策略也是今后數學估計研究的重要任務之一.

［參 考 文 獻］

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[責任編校：張楠]

Athematical Estimation and It’s Training Requirements in Our Country’s Mathematics Curriculum Standards

SHEN Wei, CAO Guang-fu
(School of Mathematics & Information Science, Guangzhou University, Guangdong Guangzhou 510006, China)

Abstract:Mathematical estimation including quantitative mathematical estimation and qualitative mathematical estimates. Quantitative mathematical estimation including: numerical estimation, measurement estimation, and computational estimation. The study of qualitative mathematical estimation that there is no the researchers involved, we found that Qualitative mathematical estimates is the cognitive object and important component of metacognition. Mathematics curriculum standards’ Training Requirements for mathematical estimation ability is from qualitative mathematical estimation to quantitative mathematical development.

Key words:estimation; numerical estimation; measurement estimation; computational estimation; quantitative mathematical estimation; qualitative mathematical estimation

作者簡介：沈威（1982—），男，安徽靈璧人，博士生，講師，主要從事數學課程與教學論研究.

基金項目：2014年教育部人文社會科學規劃基金項目——我國農村中小學教師的TPACK及其教學表現研究（14YJA880054）；2014年廣東省教育研究院一般項目——最新中美數學教材編寫與數學教學特色研究（GDJY-2014-A-b210）

收稿日期：2015-03-10

中圖分類號：G40-034

文獻標識碼：A

文章編號：1004-9894（2015）04-0033-07