高一學生單調函數概念認知水平研究
2015-03-11 08:17:42朱立明馬云鵬韓繼偉王久成
數學教育學報 2015年4期
朱立明，馬云鵬，韓繼偉，王久成
（1.東北師范大學 教育學部，吉林 長春 130024；2.東北師范大學 數學與統計學院，吉林 長春 130024；3.東北師范大學 附屬中學，吉林 長春 130024）
高一學生單調函數概念認知水平研究
朱立明1，馬云鵬1，韓繼偉2，王久成3
（1.東北師范大學 教育學部，吉林 長春 130024；2.東北師范大學 數學與統計學院，吉林 長春 130024；3.東北師范大學 附屬中學，吉林 長春 130024）
摘要：單調函數是高中數學函數部分的一個重要概念，它不僅有助于培養學生的抽象思維、邏輯思維以及創新思維，而且單調函數的圖像還是數形結合思想方法的重要載體.用測試的方法研究高一學生單調函數概念的認知水平，發現大部分學生單調函數概念表征較為單一，對于單調函數概念的理解僅停留在表面，在抽象函數單調性問題上需要改進.
關鍵詞：高中生；單調函數；概念表征；概念認知水平
1 問題提出
無論是基礎教育還是高等教育，函數一直是數學的主線，也是整個數學教學的核心內容，而函數的性質在高中數學中占據重要地位，是歷來各項考試的熱點問題，作為函數重要性質之一的單調性，不僅應用極其廣泛，而且還是數形結合思想方法的重要載體[1].查閱中外期刊文獻，有關函數單調性解題及應用的綜述很多，關于學生對單調函數認知方面研究很少，導致無法真正了解學生對單調函數的理解程度以及給學生學習帶來的影響，基于此，研究主要以單調函數為具體內容，討論高中一年級學生單調函數的認知水平.
2 研究的理論框架
從認知結構的建構觀來看，數學概念理解是指個體在學習新概念的過程中，依據自身已有的數學認知結構對概念重新建構其意義，并使其成為整個數學認知結構的有機組成部分，從而逐步認識概念本質和規律的思維活動[2].根據布盧姆認知領域教育目標分類理論，將數學概念理解分為4個階段：表征水平階段、分析水平階段、領悟水平階段、應用水平階段[3].同時，參考王曉輝的研究，將學生對單調函數的認知水平分為4個層次，（1）單調函數的表征水平；（2）單調函數的分析水平；（3）單調函數的領悟水平；（4）單調函數的應用水平.按照這個理論框架設計研究問題，分析學生單調函數的認知水平.
3 研究方法
3.1研究工具
按照研究的理論框架，以自編的調查問卷作為調查工具，問卷分3部分：第一部分為指導語；第二部分為學生的基本信息；第三部分為測試題；試題分為開放性試題、封閉式試題和半開放試題3種形式，旨在調查學生對單調函數的概念理解.問卷一共4道測試題目，其中第1題是關于單調函數概念表征的，第2題是關于單調函數概念分析的，第3題是關于單調函數概念領悟的，第4題是關于單調函數概念應用的.
3.2抽 樣
研究樣本選取長春市3所學校（重點學校1所和普通學校2所）選6個班級的學生進行調查，學校數量和調查對象人數見表1.
表1 學校數量和學生數
3.3研究過程
旨在了解高中學生對函數單調性的認知狀況和存在的問題，主要采用問卷調查和訪談的方式進行研究.測試工具有：預測卷、正式測試卷和訪談提綱.根據自己的從教經驗以及和一些專家教師與學生的交流，并查閱了大量的國內外關于單調函數的主要內容和各個研究角度的相關資料，進行整理、歸納而編制的.
在初步設計問卷的基礎上，進行了預測，選取長春某校一個班的學生（30人）進行測試，根據學生答題情況對預測試卷中個別題目的難度進行修改，形成正式的調查問卷.又選取部分代表性的學生進行訪談，通過個別訪談了解學生答題時的思維過程，整理不能在問卷中反映出來的認知問題.對問卷進行修改，形成正式問卷.對所選樣本進行實測.
4 結果分析
4.1高一學生單調函數各認知水平分析
4.1.1 表征水平分析
測試的第1題重點考察學生的表征水平，按照萊什（Lesh）在布魯納的研究基礎上對概念表征的分類：書面符號表征、圖形表征、實物表征、操作性模型表征和口頭語言表征[4].根據學生的表現將學生的表征分為口頭語言表征、圖形表征、書面符號表征3類.學生在回答時表現出對單調函數概念的感知，分析學生的回答，從感性認識和理性認識兩個層面上對單調函數加以理解，進而了解學生在表征階段對數學概念理解的程度，見表2.
表2 單調函數表征階段學生回答情況
研究結果顯示：無論是重點中學還是普通中學，學生對單調函數概念的認知大部分以口頭語言表征和圖形表征的形式存在的，書面符號表征形式較少，值得注意的是符號語言表征形式中都能寫出增函數（若x1
上述結果表明，學生對單調函數概念的表征形式是多種多樣的，而不同學生的表征層次與學生的知識水平和學習經驗有很大的關系，例如樣本中重點高中學生書面符號表征所占比例是普通中學的二倍還要多，并且能夠注意到概念中的區間性和任意性，而普通高中的學生多數采用圖形表征形式，但更多學生僅僅畫出增函數（一條遞增的直線或曲線）和減函數（一條遞減的直線或曲線）的圖象，并沒有針對圖形對單調函數加以說明，圖形表征還停留在表層階段[6]；部分學生對概念的口頭語言表征是自己頭腦中的概念意象，根據自己對概念的理解采用與概念相近的表象重新組織，導致概念意象與概念定義相互分離，甚至歪曲概念[7].例如在調查中發現，大部分學生以“y隨x增大而增大，y隨x增大而減小”作為陳述，更有學生錯誤地寫道：“同一個函數中任意一項比前一項的函數值大的為增函數”.
4.1.2 分析水平分析
分析階段包括要素分析、關系分析、組織原理分析3個亞類，通過將概念分解為各個組成部分，了解各個組成部分之間的相互關系和構成方式，從而掌握概念的屬性[8].第2題考察學生對單調函數局部性的理解，函數單調區間與函數定義域之間的區別和聯系.
根據調查結果將學生答案大體分成如下5類：標準類、區間錯誤類、單調錯誤類、特殊值驗證類，見表3.
表3 單調函數分析學生回答情況
由于數學的抽象性，使利用數學符號表征單調函數概念成為必然[9]，而抽象的符號定義給學生的理解帶來阻礙，尤其是單調函數中x1、x2的任意性、單調區間的局域性以及單調區間與函數定義域之間的關系.在訪談中一位學生說：“受到原來的初中的正比例函數的影響，總是以為函數（圖象）都是一直上升的，所以根本沒有考慮到單調區間.”學生在原有認知基礎上，將單調區間與定義域視為同一個概念，從而導致錯誤的出現；除此之外，更多學生將單調區間采用并集的形式表示出來，也是單調函數初學者常見的一種錯誤.
4.1.3 領悟水平分析
領悟階段包括轉化、解釋、推斷3個亞類，是對于所學過的知識的意義的把握.美國心理學家奧蘇泊爾（D. P. AuSubel）提出一種概念同化的學習形式，即新信息與原有認知結構中的有關概念相互發生作用，實現新舊知識的意義的同化，從而使原有的認知結構發生某些變化[10].第3題、第4題主要考查學生對于單調函數概念的形式轉化以及推斷能力，主要體現領悟單調函數所蘊含的數學思想（數形結合思想、分類討論思想、轉化思想），具體情況見表4.
表4 學生對數學思想領悟情況
結果顯示，只有63.46%的學生可以利用單調函數概念實現本題的轉化，不足70%，22.12%的學生直接給出正確答案，而采用特殊值驗證方法的學生占7.69%，采用分類討論方法的接近50%，而采用圖象法的只有17.31%；在圖象法中，只有22.22%的學生提出數形結合思想，有55.55%的學生能夠正確畫出分段函數的圖象；在分類討論方法中，只有18.75%的學生提出分類討論思想，而解集沒有與定義域進行交集運算的高達31.25%.與重點中學相比，普通中學的學生更多采用圖象的方法，數形結合的方法略優于重點中學，而能夠利用單調函數轉化的要比重點中學低很多.
錢珮玲在《數學思想方法與中學數學》中指出了數學思想和數學方法之間的區別和聯系，數學方法是處理問題的手段、途徑，而數學思想是“對數學知識的本質的認識，是從某些具體的數學內容和對數學的認識過程中提煉上升的數學觀點，它在認識活動中被反復運用，帶有普遍的指導意義，是建立數學和用數學解決問題的指導思想”[11].而美國心理學家布魯納（J. S. Bruner）認為：“不論我們選教什么學科，務必使學生理解該學科的基本結構.”調查發現，學生缺乏對數學思想的認識和提升，沒有領悟處理問題過程中所蘊含的數學思想（分類討論思想、數形結合思想），導致學生對問題的理解僅僅處于表面階段，不能深入其本質.正如一名學生說：“我只知道是分情況來做，老師講的就是這樣，至于為什么，我不是很清楚.”解題訓練作為一種教學法，其機制并不只是讓學生接觸，熟悉和記住解題技能和技巧.運算、操作是數學思維發生之處，是完整概念形成的基石，它為學生理解領會提供了必要條件[12].因此，只有以數學思想作為指導思想，才可能在解決問題中不但知其然，還能知其所以然.
4.1.4 應用水平分析
應用階段是學生將所學概念應用到新的情境中去，運用它解決同類問題的階段.概念的應用有知覺水平上的應用和思維水平上的應用兩個層次，知覺水平上的應用是指學生在獲得同類事物概念以后，當遇到這類事物的特例時，能夠將其視為這類事物中的具體例子；思維水平上的應用是指學生學習的新概念被類屬于水平較高的原有概念中，新概念的運用必須對原有概念重新組織和加工，以滿足解決當前問題的需要[13].如果說第2題屬于知覺水平的應用，那么第4題就是考察學生思維水平上的應用，需要學生利用抽象思維，實現對單調函數從一種認識狀態（具體函數）到另一種認識狀態（抽象函數）轉變的意識[14].
比格斯（Biggs）基于皮亞杰認知發展階段論提出的SOLO分類評價法，將學生學習的結果由低到高分為5個不同的層次，即：前結構（prestuctural）、單點結構（unistructural）、多點結構（multistructural）、關聯結構（relational）、拓展抽象結構（extended abstract）[15].借助SOLO分類評價法將學生答題結果分為3類，未解決類（前結構、單點結構、多點結構）、已解決類（關聯結構）、拓展類（拓展抽象結構）[16]，具體情況見表5.
表5 單調函數應用水平學生回答情況
上述結果顯示，從整體看本題的解答，重點中學的學生相對要優于普通中學的學生，但是更多學生只能達到前3個結構層面，不能將問題解決，重點中學占71.42%，均超過60%；而達到關聯結構層面能夠將問題解決的學生僅有17.62%，能夠達到拓展抽象結構層面舉出函數特例的學生還不足10%.抽象函數沒有具體的表達式，只表現出一定的對應法則，滿足一定的性質，因學生此在處理此類問題時由于匱乏對函數性質的理解，加之抽象符號的干擾，
難以將題目中的條件融會貫通，建立“條件網”.正如一名學生說：“初中數學也可以，當上高中后每次做抽象函數題，沒有一點思路，不知道題意，不知道怎么下手.”
4.2學生認知水平的整體
下面從整體水平對兩類學校所選樣本進行分析，具體結果見表6.
表6 4種水平階段分析結果
調查顯示，對單調函數理解達到表征水平階段（至少能夠使用一種表征形式）重點中學學生占88.5%，普通中學學生占86.2%，均超過60%，而且兩類學校差異不大.對單調函數理解達到分析水平階段（能夠正確說出單調區間和函數單調性）重點中學占9.76%，普通中學占5.88%，均不到10%，而重點中學幾乎是普通中學的兩倍.對單調函數理解達到領悟水平階段（能夠明確寫出思想方法）重點中學占26.04%，普通中學占14.12%.對單調函數理解達到應用水平階段（能夠正確寫出答案或進行適當拓展）重點中學占26.78%，普通中學占13.87%，對于后3種水平階段，重點中學達到比例接近是普通中學的兩倍.
從整體看，學生對單調函數的理解更容易達到表征水平階段，而達到分析水平階段的學生，雖然重點中學明顯高于普通中學，但均不到10%，達到領悟水平階段和應用水平階段的學生比例有所升高，但是均不到30%，而且重點中學接近于普通中學的兩倍.可見學生對單調函數概念的分析不夠深刻，可能是導致領悟數學思想和應用受到阻礙的一個原因.
表征水平階段對后面3個水平階段存在制約作用，以表征水平階段對應用水平階段的影響為例進行說明，見表7.
表7 表征水平階段對應用水平階段的制約
結果顯示，能夠使用3種表征形式描述單調函數概念的學生所占比例，與應用水平階段達到拓展層面學生所占比例吻合.此外還發現，使用圖形表征形式的學生，在處理問題時更多使用的是函數圖象的方法，而使用口頭描述表征的學生，在處理問題時更多使用特殊值或驗證的方法.數學概念的理解程度應該取決于5種表征之間關聯的豐富性、穩定性、強度與自洽程度，因此部分表征類型的缺失也可能是妨礙學生對數學概念理解的一個重要原因.
5 討論與結論
5.1討 論
以學生對單調函數概念認知為視角，分別從表征水平、分析水平、領悟水平、應用水平4個階段分析學生對單調函數的理解程度以及單調函數的學習給學生帶來的影響，從而得出一些結論.研究具有一定的局限性，這里僅選用一所重點學校和兩所普通學校中316名學生進行測試，樣本較小，僅分析學生對單調函數的認知，并未考慮教師因素（如教師的專業知識、不同成長階段的教學經驗、教學風格等）對學生認知單調函數所造成的影響，當然，這些因素也超出研究范圍.
調查顯示，學生的理解水平不高，因此應將如何提高學生水平作為教學活動中的重要環節.受傳統的觀念影響，把課程視為學科邏輯系統組織的教學內容，基于數學學科本身具有高度的抽象性、嚴謹的邏輯性、應用的廣泛性、內涵的辯證性等特征，學生接受起來明顯偏難，而數學概念又是核心內容，因此通過提高教師的MPCK，使其能夠在概念理解的處理上發揮最大作用，從而尋求學生原有認知結構和外部知識邏輯體系有機結合的切入點，在組織課程的時候將重點置于學生學習內容與學習經驗之間的有機聯系，培養學生從多種表征形式理解數學概念的整體性，強調抽象函數特例化解決的一般函數方程思想，注重加強學生的數學符號意識.
隨著年級的提升，學生的綜合能力可能會不斷增強，因此提出可以在教學中采用螺旋式課程組織形式，在不同階段重復學習原有的主要概念和觀點的深度和復雜程度，試圖建立學習內容邏輯關系和學生認知心理之間的聯系.
在教學中需要側重數學思想方法的培養，尤其高一年級的學生，領悟數學思想是目前容易忽略的問題，通過提升學生的數學思想，培養學生理解數學問題中條件和問題之間的內在聯系，從而達到觸類旁通，事半功倍的效果.
5.2結 論
（1）學生對單調函數概念的表征形式主要集中在口頭語言表征、圖形表征、書面符號表征3種形式，而不同學生的表征層次與學生的知識水平和學習經驗有很大的關系.書面符號表征，容易忽視區間性和任意性；圖形表征更多還停留在表層階段；而口頭語言表征大部分是學生頭腦中的概念意象.
（2）高一年級的學生缺乏單調函數局域性的認知，對于函數的定義域與函數單調區間容易造成混淆，難于理解函數的單調區間是函數定義域的子集，更多學生直接將兩個概念視為等價關系，極易用并集表示函數的單調區間.
（3）高一年級的學生缺乏對數學思想方法的領悟，在解決問題中更多關注問題處理過程中的方法和手段，很少能夠上升到思想層面，因此在問題解決中缺乏指導思想，亟待改善.
（4）高一年級大部分學生受思維定式的影響，對單調函數的理解僅僅局限于表面，在處理問題時更多停留在前結構層次和單點結構層次，習慣具體、有形的解析式，對單調抽象函數的把握依然是難點，數學中的抽象函數依然是學生的弱點，抽象思維有待提高.
（5）學生對單調函數概念的理解更多停留在表征水平階段，在表征水平階段更多學生使用單一的表征形式，這可能是妨礙學生理解單調函數的一個原因；達到分析水平階段的學生所占比例很小，這可能會阻礙達到領悟水平階段和應用水平階段.由此可見，在單調函數概念的教學中，應加強重視學生表征水平階段和分析水平階段的達到程度.
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[責任編校：周學智]
Study of Cognitive Level of the Concept of Monotonic Function of High School Students
ZHU Li-ming1, MA Yun-peng1, HAN Ji-wei2, WANG Jiu-cheng3
(1. Northeast Normal University Faculty of Education, Jilin Changchun 130024, China; 2. Northeast Normal University School of Mathematics and Statistics, Jilin Changchun 130024, China; 3. High School Attached To Northeast Normal University, Jilin Changchun 130024, China)
Abstract:Monotonic function is an important concept in function of high school mathematics. It not only helps to cultivate the students’ abstract thinking, logic thinking and creative thinking, but the image of monotonic function is also the important carrier of thought of symbolic-graphic combination. Using the method of testing to do research on cognitive level of the concept of monotonic function of high school students, it is found that most of the students’ representation of the concept of monotonic function is relatively single. Their understanding of the concept of monotonic function is shallow and the monotonicity of abstract function needs improvement.
Key words:high school students; monotonic function; representation of concept; cognitive level of concept
作者簡介：朱立明（1986—），男，河北承德人，東北師范大學教育學部在讀博士，主要從事課程與教學論方面研究.
基金項目：教師教育協同創新中心總體設計的合作研究重大項目“高素質教師成長規律與培養方式變革研究”下的重點研究課題——教師教育創新課程開發與教學設計（XTZX20130002）
收稿日期：2015-03-04
中圖分類號：G420
文獻標識碼：A
文章編號：1004-9894（2015）04-0061-04
