20世紀以來中學數學教材中“負負得正”法則解釋方式的研究

賈隨軍，劉明君，葉蓓蓓，曹春艷

（1.浙江外國語學院 教育科學學院，浙江 杭州 310012；2.西北師范大學 教育學院，甘肅 蘭州 730070）

20世紀以來中學數學教材中“負負得正”法則解釋方式的研究

賈隨軍1，劉明君2，葉蓓蓓2，曹春艷2

（1.浙江外國語學院 教育科學學院，浙江 杭州 310012；2.西北師范大學 教育學院，甘肅 蘭州 730070）

摘要：選取20世紀以來國內外34個版本的中學數學教材，利用內容分析法探究教材中解釋“負負得正”法則的方式、角度及目的.研究發現，各版本教材中的解釋可以分為“運用現實模型”、“運用相反數的性質”、“隱性運用分配律”、“顯性運用分配律”、“運用減法運算”、“運用變換”等6種方式，6種方式分別從現實生活與數學兩個角度展開，6種方式的解釋都是基于教學的而不是基于科學的，保持運算律是從數學角度解釋法則合理性的主要依據.不同版本教材解釋法則的目的各有側重.最后得到的教材編寫及教學建議如下：數學教材及教學要說理，要溝通“負負得正”法則與現實及學生已有認知的聯系，要設置“解釋方式”應用的習題.

關鍵詞：負負得正；解釋方式；中學數學教材

1　引 言

“負負得正”是有理數乘法的一條重要法則，如何解釋這條法則的合理性？如何給“負負得正”這條法則賦予意義？這是任何一位初中數學教師在教學中必然面臨的一個問題.鞏子坤的研究表明，97%的學生會利用“負負得正”進行運算，但僅有不超過12%的學生能夠解釋它的合理性[1].這充分說明理解這條法則的合理性是學生學習該法則的難點所在.研究者在職前數學教師的培養及職后數學教師的培訓中發現，許多職前或職后數學教師對“負負得正”法則的解釋也很不理想.

教材是教師最主要的教學資源，教材會對教師教什么，如何教等產生重要影響.同時教材也是學生最主要的學習資源。那么，教材是否解釋了“負負得正”法則的合理性？如果解釋了，到底是如何解釋的？通過對國內外不同時期各版本教材的考察，梳理各版本教材中解釋“負負得正”法則合理性的角度與方式，分析各版本教材中解釋“負負得正”法則的目的，部分地回答絕大多數學生不能夠解釋其合理性的原因，為中學數學教師“負負得正”法則的教學提供可參考素材，為“負負得正”法則的教材編寫及教學提供參考建議.

2　文獻綜述

目前，國內外有眾多文獻研究“負負得正”法則.這些研究主要從以下4個角度展開：其一，數學課堂教學的角度[2]，主要研究教師在教學中使用哪些方式向學生解釋“負負得正”，其中哪些方式是學生喜歡的和容易接受的；其二，學生理解的角度[3]，主要研究學生如何解釋“負負得正”法則；其三，數學史的角度[4~5]，主要研究歷史上數學家如何解釋“負負得正”法則，數學史上的解釋對教學有什么啟發；其四，教材的角度[6]（該文獻主要以“負負得正”、“三角形的內角和”、“分數的除法”、“圓的面積”、“分配律”、“冪的乘法”、“不規則圖形的面積”等為載體，研究澳大利亞9個版本教材中的推理模式，“負負得正”僅僅是透視推理模式的其中一個素材），主要研究澳大利亞2000年左右9個版本的教材如何引入“負負得正”法則.目前，中國從教材的角度系統梳理“負負得正”法則解釋方式的文獻并不多見，鑒于此，研究者對20世紀以來各版本教材中“負負得正”法則的解釋方式進行了詳細考察.

3　研究方法

運用內容分析法研究各版本教材中對于“負負得正”法則的解釋.內容分析法是一種主要以各種文獻為研究對象的研究方法，該方法一般包括選取研究樣本，提煉分析單位或統計單位，依據分析單位對樣本進行分類，通過分類統計分析單位對樣本進行定量與定性描述.

選取的研究樣本為20世紀以來國內外各個時期的34個版本的中學數學教材.從1900年起，每10年隨機選取兩個版本的國內教材，共選取了24個版本的國內教材.在20世紀初，中國使用的部分中學數學教材是對國外教材的翻譯或編譯[7]，但考慮到這些教材確實應用于中國的中學教育實踐，因此把布利氏新式算數[8]（1933）、查理斯密初等代數學[9]（1919）、初等代數學[10]（1908）、初等代數[11]（1906）等20世紀初翻譯或編譯的教材也納入國內教材的范疇.由于獲取國外教材的途徑有限，所以選取的樣本相對較小，樣本主要由兩部分構成，其一，國外原版教材，如，California Mathematics[12]（2008），Algebra Readiness[13]（2008），Pre-Algebra[14]（2008），新加坡[15]（2007），新加坡[16]（2001）等；其二，在20世紀60年代至80年代，中國翻譯了一些國外教材，如西德（1980）[17]，SMP英國（1975）[18]，法國（1964）[19]，日本（1963）[20]，德意志民主共和國[21]（1963）等，但翻譯這些教材的目的僅僅是為中國中學數學教材的編寫提供借鑒，這些教材沒有直接應用于中國的中學教學實踐，因此把這些教材納入國外教材的范疇.具體選取的作為樣本的中學數學教材版本見表1.

表1　考察“負負得正”解釋方式的教材版本

在運用內容分析法時，常常需要把文本分解成小的統計單位進行編碼與統計.統計單位為各版本教材中對“負負得正”的解釋.其中，浙江（1996）、江蘇（1971）、新中華教本（1929）3個版本的教材沒有對“負負得正”法則的合理性進行解釋，直接給出了法則，然后安排一些練習讓學生熟悉法則.但有個別教材給出了兩個或兩個以上的解釋，因此剩下31個版本的教材中總共有37個解釋.有許多解釋從表面看似乎不同，如，借助“蝸牛的爬行”、“水庫水位的上升與下降”[21]、“倉庫進貨與出貨”[33]等現實情境進行的解釋，但仔細分析發現，這些方法都是運用現實模型解釋“負負得正”的合理性，實質上都屬于同一種解釋方式.鑒于此，研究者在與一些數學教育專家反復研討的基礎上對37個解釋進行了分類，總共分為“運用現實模型”、“運用相反數的性質”、“隱性運用分配律”、“顯性運用分配律”、“運用減法運算”、“運用變換”6種方式.當然在下文會給出每一種解釋方式的界定及具體例子.在統計分析階段，主要統計37個解釋分別屬于哪一類解釋方式，每一方式所對應的解釋數量及所占的百分比.同時，研究者還統計了各版本教材中有無“解釋方式”應用的習題，以便分析各版本教材解釋“負負得正”法則的目的.

4　研究結果

4.1教材中解釋“負負得正”法則方式的界定及例子

“運用現實模型”就是通過生活中的實例或模型，憑借學生的生活經驗直觀地找到“負負相乘”的結果，從而解釋“負負得正”法則的合理性.如，人教（2007）中以“蝸牛爬行”為模型引入“負負得正”，規定“向左為負，向右為正，現在前為負，現在后為正，蝸?，F在恰好在原點O處.”如果蝸牛一直以每分鐘2 cm的速度向左爬行，那么3分鐘前它所在的位置就是(-2)′(-3)=+6cm.

總共有14個解釋是屬于“運用現實模型”類型的.具體涉及到的模型有“蝸牛爬行”、“倉庫進貨出貨”、“溫度上升下降”[20]、“存款與虧空”[34]、“逆水行舟”[37]、“水庫水位上升與下降”、“火車的運行”[35]、“物體的放置與拿走”[13]等.

“運用相反數的性質”就是通過觀察(+a)(+b)=+(ab) （1）及(+a)(-b)=-(ab)（2）發現，當一個因子不變，另一個因子換為原來因子的相反數時，積也變為原來積的相反數.利用發現的結論結合（2）式可知(-a )(-b)=-(-ab)=ab .在各版本教材中，a、b均為具體數字.如，Algebra Readiness （2008）中引入“負負得正”法則的方式就使用了相反數的性質，見圖1.

圖1　Algebra Readiness（2008）引入“負負得正”法則的方式

“隱性運用分配律”就是研究者通過對一個負因子乘以一組正等差數列的結果的考察發現，它們的乘積也為等差數列，把發現的這一結果應用到一個負因子乘以一組含有負數的等差數列的情形，就可得到“負負得正”法則.如，Pre-Algebra(2008)就采用了這種方式，如圖2所示.

圖2　Pre-Algebra（2008）引入“負負得正”法則的方式

通過圖2可以發現，一個因子不變，當另一個因子減少1時，乘積增加4.為什么有這樣的規律呢？事實上，這一規律可表述為(-4)(n-1)=-4n+4，即這一規律的實質為乘法分配律.因此，這種引入方式從表面上看是找規律，而其本質是利用乘法分配律.

“顯性使用分配律”就是在承認或驗證了乘法分配律的前提下，利用乘法分配律引入“負負得正”法則的方式.如，北京（1969）就采用了這種方式，如圖3所示.

圖3　北京（1969）引入“負負得正”法則的方式

“運用減法運算”就是把負負相乘轉化為減法，利用減法運算賦予“負負相乘”意義，從而引入“負負得正”的運算法則.如，小代數學（1913）就采用了這種方式，如圖4所示.

圖4　小代數學（1913）引入“負負得正”法則的方式

“運用變換”就是指借助數軸利用圖示的方法來解釋“負負得正”法則的合理性，(-2)′(-3)相當于先把有向線段(-2)以原點為中心作反射變換得到(+2)的有向線段，然后把有向線段(+2)再伸長3倍得到(+6)的有向線段，這種方法的本質為反射變換與伸縮變換的復合.如，西德（1980）就采用了這種方式，如圖5所示.

圖5　西德（1980）引入“負負得正”法則的方式

4.2各版本教材解釋“負負得正”的方式與角度

各版本教材解釋“負負得正”的方式見表2.

表2　各版本教材解釋“負負得正”的方式

注：人教（1951）教材通過“溫度的升高下降”及“存錢與虧空”兩種模型解釋“負負得正”法則.

布利氏新式算數（1933）教材通過“杠桿的旋轉勢”模型及“運用變換”兩種方式解釋“負負得正”法則.

初中代數（1942）教材中關于“負負得正”有3種解釋方式，其中有兩種分別通過“經商獲利”、“逆水行舟”的模型進行解釋，第三種是通過相反數的性質來解釋的.

Pre-Algebra（2008）教材通過“拿走與放回”模型及“隱性運用分配律”兩種方式解釋“負負得正”法則.

從表2發現，31個版本的教材都試圖利用各種方式解釋“負負得正”法則，為了更好地把握各版本教材對法則的解釋狀況，就有必要統計每一解釋方式所對應的解釋數量并計算百分比.結合表2，具體統計結果見表3.

表3　每一解釋方式所對應的解釋數量及百分比

從表3可以看出，“運用現實模型”、“運用相反數的性質”、“隱性運用分配律”、“運用減法運算”、“運用變換”是各版本教材中解釋“負負得正”法則的主要方式.而以“顯性運用分配律”方式進行解釋的比例比較低.同時結合表2可以發現，“運用減法運算”的方式主要出現在中國20世紀初的教材中.

仔細研究發現，6種解釋方式分別從兩個角度展開，“運用現實模型”就是從現實角度進行的解釋，而“運用相反數的性質”、“隱性運用分配律”、“顯性運用分配律”、“運用減法運算”及“運用變換”都是借助數學本身的相關理論解釋法則的合理性，因此，后5種方式都是從數學角度進行的解釋.解釋的角度具體見表4.

表4　解釋角度及屬于每一角度的解釋所占的百分比

從表4可以看出，從現實角度解釋“負負得正”法則的解釋個數大約占4成，而從數學角度解釋的個數大約占6成.

4.3各版本教材解釋“負負得正”法則的目的

絕大多數的教材都在解釋法則而不僅僅是呈現法則本身.而解釋法則的目的無非就是兩個方面，第一，使學生理解法則并能熟練運用法則；第二，使學生能夠以法則的解釋方式為工具解決問題.那么各版本教材解釋法則的目的更偏重于哪一方面呢？考察學生學習有理數乘法的“學習目標”是解決這一問題的理想途徑.但僅有個別教材呈現了“學習目標”，如，“我將理解與運用有理數乘法法則”[23]，大多數教材均沒有陳述有理數乘法的“學習目標”.教材中的習題是滲透“學習目標”的最重要載體，因此，對習題的考察是探尋各版本教材解釋“負負得正”法則目的的重要方面.這里將主要考察各版本教材中有無“解釋方式”應用的習題，如，“利用代數塊（algebra title）模型發現(-2)′(-2)的結果”[13]，“利用杠桿旋轉勢求(-3)′(-4)的結果”[8]，“數學寫作：確定-2，-3與-4的乘積的符號，解釋你的推理”[12]等就屬于“解釋方式”應用的習題.具體考察的結果見表5.

表5　編排有“解釋方式”應用習題的教材版本數量及百分比

從表5可以看出，僅有9個（占所研究教材的3成）版本的教材編排有“解釋方式”應用的習題，從習題的角度來說，這9個版本的教材注重以法則的解釋方式為工具解決問題.而其它版本的教材解釋法則主要是讓學生理解法則并能熟練運用法則.

5　結 論

5.1注重對“負負得正”法則的解釋是絕大多數教材所秉持的基本理念

在前面研究過的34個版本的教材中，僅有3個版本的教材直接給出了法則而沒有解釋法則的合理性.其它31個版本的教材通過各種方式與角度闡述了“負負得正”法則的合理性，甚至個別教材提供了兩個或3個對法則的解釋，如，人教（1951）、布利氏新式算數（1933）、西德（1980）、Pre-Algebra（2008）等教材都呈現了兩個解釋，初中代數（1942）呈現了3個解釋.呈現多個解釋的目的是為了讓具有不同認知特點的學生更好地理解法則的合理性.這31個版本的教材企圖向學習者表明，數學是建立在推理基礎之上的，它絕不僅僅是一些法則的集合.

5.2從數學本身入手是解釋法則合理性的重要角度

體會數學與生活的聯系是義務教育數學課程的目標之一[42].但在教學實踐中有部分教師對這個目標有誤解，他們認為小學或初中階段的幾乎所有數學概念、法則等的引入都必須從生活情境入手.通過對中學數學各版本教材的考察發現，從數學本身解釋“負負得正”法則的比例大約占了6成.事實上，數學本身是情境問題的重要來源，隨著年級的升高，情境將更多的來源于數學本身[43~46].同時，對于概念或法則的現實解釋并不一定比來源于數學內部的解釋更加容易理解.從數學本身入手是解釋法則合理性的重要角度，這個角度決不能忽視.

5.3對于法則的解釋都是基于教學的而不是基于科學的

Siepinska把數學中的解釋分為基于科學的解釋與基于教學的解釋兩種類型.所謂基于科學的解釋就是指能夠被數學共同體所能接受的解釋；基于教學的解釋就是指借助模型、實例或形象化的比喻等手段，以促進學生理解數學事實為目的的解釋[47].

數學家是不能夠接受憑借數學以外的手段來解釋數學命題的正確性的，因此，“運用現實模型”僅僅是教師或學生在數學課堂中常常使用的解釋方式之一.“隱性運用分配律”、“顯性運用分配律”的方式都是以承認分配律為前提的，而實際上，引入負數后，乘法對加法的分配律是否成立是需要重新審視的[48]，這兩種方式只能是基于教學的解釋.“運用相反數的性質”、“運用減法運算”的方式都是把“正正相乘”、“正負相乘”兩種情形中發現的規律應用到“負負相乘”的情形，這兩種解釋方式是合情推理，它們沒有經過演繹推理的檢驗，也只能算是基于教學的解釋而已.

由于受到學生知識范圍及認知水平的制約，中學數學課程與數學科學有很大的不同，基于教學的解釋確保了中學數學課程對數學嚴密性及推理的強調沒有超出其應有的邊界.

5.4各版本教材解釋法則的目的各有側重

從對習題的研究發現，大約七成的教材中沒有編排“解釋方式”應用的習題，這些教材解釋法則的主要目的在于讓學生理解法則并熟練應用法則；而只有三成的教材編排了“解釋方式”應用的習題，它們對于法則的解釋除了上述目標外，還注重以法則的解釋方式為工具解決問題.

如果教材中沒有編排“解釋方式”應用的習題，學生只要熟練記憶法則本身，就可以順利完成教材中的習題，教學中不涉及法則合理性的解釋，似乎對學生的學習不會產生什么影響.這也能夠部分地解釋為什么97%的學生會利用“負負得正”進行運算，但僅有不超過12%的學生能夠解釋它的合理性這一現象.

5.5保持運算律是從數學角度解釋法則合理性的主要依據

小學階段學習的乘法分配律僅限于非負數范圍內，引入負數后，乘法分配律是否成立需要重新檢驗.對于負數乘法法則的規定，最理想的情況就是要保證在原來范圍內成立的分配律在更大的范圍內仍然成立；同樣，“相反數的性質”、“乘法與減法的轉化”（“運用減法運算”的方式涉及到了“乘法與減法的轉化”）是在負數乘以正數的情形下獲得的，教師也希望這樣的運算律在負數與負數相乘時仍得以保持.這樣，負數乘以負數的運算盡可能地與已有運算律相容，負負得正的結果才顯得更為合理.保持運算律是數學中引入法則、定義等的主要依據之一，例如，零指數冪、有理指數冪的定義就是以盡量保持原有正整數指數冪的運算律為基礎的.

6　建 議

6.1數學教材及教學一定要說理

數學是培養學生理性精神的學科，理性精神要求所陳述的“每個觀點都必須有根據，除了邏輯的要求與實踐的檢驗之外，無論是幾千年的習俗、宗教的權威、皇帝的赦令，流行的風尚傳統都是沒有用的”[49].理性精神說的樸素一點就是要說理，說理應當成為數學教材及數學教學的最基本要求，具體到“負負得正”法則，教材和教學不僅要陳述法則，而且要像一位睿智的長者，把這一法則的合理性或依據娓娓道來，絕不能以權威自居，擺出一幅信不信由你的架勢來.學生理性精神的培養是一點一滴的，需要一個漫長的過程，對“負負得正”法則合理性的解釋是培養學生理性精神的良好載體，教師在教材編寫及教學中應充分利用這一載體.

6.2數學教材及教學要溝通“負負得正”法則與現實及學生已有認知的聯系

數學教材及數學教學都要呈現知識的來龍去脈，就拿“負負得正”法則來說，“來龍”體現在兩個方面：其一，描述或解釋現實的需要，對“倉庫進貨出貨”、“溫度上升下降”、“存款與虧空”、“杠桿的旋轉勢”、“水庫水位的變化”等現象的解釋或描述需要“負負得正”法則；其二，已有數學知識發展的需要或自然推廣，如，“負負得正”法則是自然數范圍內成立的乘法分配律在有理數范圍內仍然成立的必然要求；“負負得正”法則也是正負相乘情況下獲得的一些結論在“負負相乘”情況下的類比或推廣.

教材及教學只有把“負負得正”法則與現實及學生已有認知相聯系，學生才能把“負負得正”法則穩定地鑲嵌在自己的認知結構中，為以后靈活應用該法則奠定基礎，同時呈現“負負得正”法則與現實及學生已有認知的聯系是數學教材與教學顯得自然、親切的有效途徑.

6.3數學教材及教學要設置“解釋方式”應用的習題

設置關于“負負得正”法則“解釋方式”應用的習題是非常重要的.因為數學教學的主要任務在于發展學生的數學思維，數學教學就其本質來講是數學思維活動的教學[50~51].“負負得正”法則是代數內容中培養學生類比、歸納等合情推理能力的“關鍵點”，建議設置一些開放性的題目，如，“請你通過實例解釋為什么負負得正”，“利用現實模型解釋(-2)′(-2)的結果”，“確定-2，-3與-4的乘積的符號，解釋你的推理”，學生可以利用教材或課堂中使用過的“解釋方式”來解決，也可以嘗試用更加新穎的“解釋方式”來解決，學生通過觀察、猜測、推理等活動可以不斷地感悟數學的思維方式.

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[責任編校：周學智]

Research about Modes of Explanation of the Rule of Multiplication of Negative Integers in Mathematical Textbooks in Middle School Since 20thCentury

JIA Sui-jun1, LIU Ming-jun2, YE Bei-bei2, CAO Chun-yan2
(1. Educational Institute, Zhejiang International Studies University, Zhejiang Hangzhou 310012, China; 2. Educational Institute of Northwest Normal University, Gansu Lanzhou 730070, China)

Abstract:In order to explore the modes, angles and purpose of explanation of multiplication of negative integers in different textbooks by method of content analysis, 34 mathematical textbooks in middle school at home and abroad since 20th century were selected. The conclusion as follows: the different explanations in textbooks were grouped “deduction using a real-life model”“deduction using property of opposite number” “deduction using law of distribution implicitly” “deduction using law of distribution explicitly” “deduction using subtraction” “deduction using transform” and so on. We regard all kinds of modes of explanation as didactic in nature rather than scientific, the purpose of explanation of multiplication of negative integers in different textbooks were different, the most important basis of explanation of rules from mathematical angle was the laws of arithmetic. The Suggestions are as follows: deduction should be permeated in textbooks and teaching of mathematics, the relationship between the law of multiplication of negative integers and what students used to know should be emphasized, the exercises of application of modes of deduction should be arranged.

Key words:multiplication of negative integers; modes of explanation; mathematical textbooks in middle school

作者簡介：賈隨軍（1974—），男，甘肅通渭人，副教授，理學博士，碩士生導師，主要從事數學史和數學教育研究.

基金項目：全國教育科學“十二五”規劃2011年度教育部重點課題——高中數學有效教學課例研究（D H A 110240）；西北師范大學青年教師科研提升項目（NWNU-LKQN-12-26）；教師教育國家級精品資源共享課“中學數學課程標準與教材研究”建設階段性成果

收稿日期：2015-03-10

中圖分類號：G423.3

文獻標識碼：A

文章編號：1004-9894（2015）04-0076-06