光子晶體的基本研究方法對比與實例分析

唐秀福

(河池學院 物理與機電工程學院，廣西 宜州 546300)

0 引言

光子晶體［1－2］作為一種新型的光學材料，在激光、通訊、醫學等各領域都具有廣泛的應用，對光子晶體的理論研究已成為近代光學研究的熱門話題［3－17］。光子晶體是一種根據實際應用需要生產配制的人造光學材料，通過具有不同的介電常數的材料薄膜介質周期性排列起來，構成能夠對光波進行調制的特殊功能，根據薄膜介質材料周期排列的維數不同，目前的光子晶體主要分為1維光子晶體、2維光子晶體和3維光子晶體。自1987年John S和Yablonovitch E分別獨立提出光子晶體的概念之后，由于光子相比電子的諸多優越性，在光電領域激發了人們極大的研究熱情，在接下來的幾十年里對光子晶體的理論研究發展過程中，研究者不僅構建了大量的光子晶體模型，而且創造和使用了很多種有效的研究方法，并取得了大量研究成果［3－17］。目前常見的光子晶體理論研究方法主要有:平面波展開法、傳輸矩陣法、時域有限差分法、多重散射法、N階法、轉移矩陣法等，這些方法在對光子晶體特性的研究上都具有各自的優點和特點，同時針對不同的研究目標和對象，他們的適用范圍也不一樣［13－17］。因此，面對眾多的研究方法，光子晶體的研究者特別是初學者難免無從選擇最有效的方法去解決問題。基于這種思路，本文主要就光子晶體的主要研究方法的特點進行對比分析，得出各自的優缺點，確定各種研究辦法的適用范圍，并就其中最普遍使用的傳輸矩陣法進行實例計算模擬和分析，此舉可為光子晶體的研究者和學習者提供參考。

1 光子晶體的基本研究方法及對比

1.1 光子晶體理論研究的基本方法

平面波展開法是利用Maxwell方程在傅利葉展開的平面波函數中將能帶計算化為代數本征值問題求解，該方法是光子晶體理論研究中應用的最早也是最廣的方法之一。平面波法是光子晶體早期研究中總結出來的一套最基本的理論計算方法，它對各種理想結構的晶體能帶結構計算能夠得出很好的結果。矩陣法是在光學薄膜計算中常用的一種計算方法，它也是利用Maxwell方程將光子晶體帶隙問題轉化為本征值的求解。傳輸矩陣法是在矩陣法的基礎上發展得來的，它可以利用傳輸矩陣來描述晶體的周期性結構，是目前使用較為普遍的一種光子晶體理論計算方法。時域有限差分法是由Yee K S在1966年創建的，該方法的主要思想是對微分形式的Maxwell方程進行差分求解，將Maxwell方程組在坐標系中展開成標量場分量的方程組，然后在劃分好的Yee氏網格空間中迭代計算出光子晶體中在任意時刻場的分布情況。多重散射法主要應用于二維有限光子晶體的問題求解中，該方法將光子晶體作為散射體放置于開放系統中，通過電磁波與散射體的相互作用，研究目標的散射、吸收和透入等相關特性。

此外，晶體研究的理論方法還有N階法、轉移矩陣法、格林函數法等。每種研究方法都各具特點，鑒于文章的篇幅及研究方法使用的普通性等，下面重點對平面波展開法、傳輸矩陣法、時域有限差分法和多重散射法進行對比分析。

1.2 常用光子晶體理論研究方法的對比

平面波展開法與其他研究方法相比，計算量較大是該方法的最大約束。由于該種計算方法的計算量與所用平面波的波數的立方幾乎成正比關系，因此，對于一些復雜結構的晶體，特別是帶缺陷的非理想晶體結構，計算量將非常大，甚至是無法計算。此外，對于介電常數不是恒定的晶體時，是無法得出確定的本征值方程，進而無法求解問題。故平面波展開法僅適用于計算結構簡單的理想晶體能帶。

傳輸矩陣法與其他計算方法相比，其優勢在于計算量比較小。因為該方法中的傳輸矩陣僅與晶體層面上的格點數的平方成正比，且矩陣比較小、陣元少，因此計算量大為降低。此外，就計算過程而言，應用矩陣法運算得到的結果精確度要比矢量法高。利用傳輸矩陣法可有效計算1維、2維、3維介質或金屬光子晶體的能帶結構、透射系數、反射系數和內部電場分布等，對平面波法無法解決的電常數隨頻率變化的金屬系統也特別適用，即便是對存在色散或者缺陷的晶體結構，該方法仍然可以有效計算。

時域有限差分法和傳輸矩陣法一樣，不但可以有效計算光子晶體介質結構的能帶機構，也可以計算金屬結構的光子晶體能帶關系。同時，該方法是處理光子晶體Anderson局域態、光子晶體波導本征模、光子晶體表面模特性的系列問題的有效方法。雖然時域有限差分法在計算晶體能帶結構和傳輸特性上具有較大的優勢，但由于該方法計算誤差較大，不適用于對精確度要求高的問題，無法有效解決諸如特殊形狀的原胞或復雜結構的光子晶體結構問題。

多重散射法對研究由規則散射體構成的晶體非常適用，對球體或者柱體散射體構成的晶體，利用該方法計算尤為優越，主要體現在收斂速度快，計算精確度高。此外，多重散射法在解決一些特殊問題上效果非常好，如在計算不同相的各種物質組成的晶體，尤其對高和低填充率兩種極端情況時具有很好的收斂速度，缺點是計算復雜，使用比較困難。

在眾多光子晶體理論研究基本方法中，傳輸矩陣法具有理論簡單、計算量小、使用范圍廣、易于編程實現等諸多優點，因此在光子晶體理論研究中被廣泛采用，特別是對光子晶體初學者而言，傳輸矩陣法是較為理想的研究方法之一。因此，下面將以傳輸矩陣法為例詳細介紹其計算研究的基本原理，并構建一維光子晶體模型進行計算和分析，以加深讀者的理解和掌握。

2 傳輸矩陣法原理及實例分析

2.1 傳輸矩陣法原理

由不同介電常數的兩種薄膜介質A、B周期性排列形成光子晶體結構ABABABAB…，也可以表示成(AB)m，m就是基元介質(AB)單元的重復排列周期數。當光從左側入射到光子晶體中時，在每一層介質中的行為均可用一個分矩陣來描述，這個分矩陣的推導如下［13－14，17］。

圖1 光在任一單層薄膜介質中的傳播行為

如圖1所示，假設介質內不存在自由電荷和傳導電流時，則在每層介質邊界處，電磁場的分量都是連續的。界面Ⅰ處的入射、反射和透射電場和磁場分別記為Ei、Er、Et和 Hi、Hr、Ht，光以 θi1角入射到界面Ⅰ，θi2為界面Ⅱ的入射角。則利用界面Ⅰ和界面Ⅱ電場、磁場之間的關系，以及界面Ⅰ和界面Ⅱ上的透射場 Et1(x，y，z=0)、Ei2(x，y，z=b)，可得:

MB就是光在B層介質中傳播行為的傳輸矩陣，在其他層介質(包括缺陷層介質)中同樣適用。于是對于光在光子晶體結構中傳播時，光的總行為為各分矩陣之積，表示為:

利用矩陣元A、B、C和D就可以計算光入射到光子晶體后的如下參量:

2.2 傳輸矩陣法計算模擬實例

研究的對象為A、B兩種介質的色散曲線及其周期排列形成準周期光子晶體模型結構(AB)m，以及鏡像對稱模型結構(AB)m(BA)m。A、B介質計算的參數(折射率和厚度)分別為:nA=1.38，dA=281 nm，nB=2.35，dB=165 nm，m是基元介質單元(AB)的排列周期數，在計算中一般取正整數。

首先根據式(7)和(8)，由科學計算軟件MATLAB編程，繪制出由A、B組成的晶體的色散曲線和由10個(AB)單元周期性排列形成的準周期結構光子晶體(AB)10的能帶結構，如圖2所示。圖中坐標用歸一化頻率單位ω/ω0。

圖2 色散關系和能帶結構圖

從圖2可見，A、B介質組成的晶體的色散曲線存在著明顯的帶隙結構，其中在奇數倍頻率處周圍出現禁帶，在偶數倍頻率處周圍則出現導帶，如圖3(a)。光子晶體(AB)10的能帶結構與A、B晶體的色散曲線相對應，也是在奇數倍頻率處周圍出現禁帶，而在偶數倍頻率處周圍則出現通帶，如圖3(b)所示。即光子晶體對入射到其中的光具有很明顯的選擇性通過功能［13－14］。模擬結果可見，用傳輸矩陣法很容易把入射到光子晶體中的光的行為描述出來，而且描述結果形象直觀。

上述模擬的是光子晶體無缺陷的情形，當合理地在光子晶體的介質之間插入缺陷時，可以增強光子晶體特別是缺陷位置處的自發輻射，增強的自發輻射將使光很容易通過光子晶體，并在禁帶中形成精細的缺陷模(透射峰)。對于含缺陷光子晶體的缺陷模，用傳輸矩陣計算模擬同樣也很方便。介質A、B的參數不變，以A、B排列成鏡像對稱結構光子晶體(AB)8(BA)8模型，利用傳輸矩陣法計算模擬出其透射能帶譜，如圖3所示。從光子晶體結構(AB)7ABBA(BA)7模型可知，光子晶體鏡像對稱結構中心由于缺少一層 A 介質而形成空位缺陷［3，10，12］，即模型中帶邊框的，當光入射到光子晶體中時，此處的自發輻射會增強，于是在禁帶中會出現透射峰即缺陷模。鑒于透射能帶譜是周期性重復結構及文章的篇幅，圖3僅繪制出0.5～1.5ω/ω0頻率范圍的能帶譜。從圖3可見，禁帶中心出現了一條透射率為100%的缺陷模。所以傳輸矩陣法很方便且準確地描述了光在光子晶體缺陷中的傳播行為，這對研究者和學習者均有積極的意義。

圖3 光子晶體(AB)8(BA)8的透射能帶譜

3 結論

通過對光子晶體常見研究方法的計算原理、運算工作量及運算精度等各方面的對比分析，得出如下結論:平面波展開法在計算理想光子晶體能帶結構方面具有較大優勢;傳輸矩陣法計算量小，能有效地用于晶體的能帶結構、透射系數、反射系數和內部電場的計算，同時還可應用于金屬晶體的計算與特性分析;有限時域差分法是計算光子晶體能帶、帶隙結構和傳輸特性的有效方法，同時也適用于解決Anderson局域態、波導本征模的特性等問題;多重散射法能很好的解決某些特殊問題，尤其對高和低填充率兩種極端情況，更是具有很好的收斂速度。不同的研究方法具有各自的優越性的同時，也存在自己的局限性，在學習和研究光子晶體的實際計算問題時，應該根據不同的具體問題選用恰當的方法，才能有效地解決問題。

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