一類種群動力學脈沖系統的周期解

侯宗毅，磨峰

(河池學院 數學與統計學院，廣西 宜州 546300)

0 引言

近年來，生態數學成為人們研究的熱點課題［1－5］。文獻［6］討論了一類種群動力學系統:假設x(t)和y(t)分別表示食餌和種群在時刻t的數量，則食餌—種群系統的動力學行為可由下述方程表示

其中0＜α＜1，λ＞0是常數。應用分析的方法，作者研究了系統(1)周期解的存在性。但是，在實際問題中，為了保證種群不至于滅絕而保持一定數量(即系統存在周期解)，食餌的增量不應該是常數，即不應當置種群減少多少都不顧而一味增加常量的食餌，而應該與種群原來的數量(密度)以及原來食餌的數量有關，這有助于避免資源的浪費。為此我們研究下述較之系統(2)更切合實際的脈沖系統:

其中β，λ是常數。在適當的假設條件下，我們得到了保證系統(3)存在周期解的一組充分條件，推廣了文獻［6］的結果。

1 主要結果

定理1 假設下述條件成立:

(H1)δ，γ，ε均是正常數，0＜α＜1而λ，β是常數。tk是z(t)=(x(t)，y(t))T的第一類間斷點，即z(tk)=z()，Δz(tk)=z)－z()。脈沖效應時刻tk是周期序列，即存在正整數q使得tk+q=tk+ω，ti＜ti+1(i=0，1，2，…)。

則系統(3)存在唯一周期解。

證明:假設x=ξ(t)，y=η(t)是(3)的 ω －周期解，記 ξ0=ξ(0+)，η0=η(0+)，ξ1=ξ(ω)，η1=η(ω)，=ξ(ω +)=η(ω +)。由解的 ω 周期性知=ξ0，=η0，并且有

對t∈0，(]ω，系統(3)的解x=ξ(t)，y=η(t)滿足關系式

特別當t=ω時，我們有

結合(4)式得η0應滿足方程

從而在(7)式中當η0取正值時可以得到x1的一個估計值(即脈沖時刻)，因為只要x1的取值滿足(7)式就可以了。

現在對系統(3)的解x(t)，y(t)根據文獻［6］的定理8.1，要保證x(t)，y(t)確實是系統的ω周期解，需要計算乘子μ的值，使得|μ|≤1。根據文獻［6］186頁中的公式(8.9)我們有

于是有

本文考慮了在一個ω周期內有一個脈沖點的情形，對一個ω周期內有多個脈沖點的情形將另文給出。由于假設食餌取值與x，y有關，從而未必常數λ一定為正，只要λ滿足定理假設條件(2)就可以了，因為此時即便λ取負值而β取適當正值仍然可以保持食餌增量為正。

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