一類種群動(dòng)力學(xué)脈沖系統(tǒng)的周期解

侯宗毅，磨峰

(河池學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，廣西 宜州 546300)

0 引言

近年來，生態(tài)數(shù)學(xué)成為人們研究的熱點(diǎn)課題［1－5］。文獻(xiàn)［6］討論了一類種群動(dòng)力學(xué)系統(tǒng):假設(shè)x(t)和y(t)分別表示食餌和種群在時(shí)刻t的數(shù)量，則食餌—種群系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為可由下述方程表示

其中0＜α＜1，λ＞0是常數(shù)。應(yīng)用分析的方法，作者研究了系統(tǒng)(1)周期解的存在性。但是，在實(shí)際問題中，為了保證種群不至于滅絕而保持一定數(shù)量(即系統(tǒng)存在周期解)，食餌的增量不應(yīng)該是常數(shù)，即不應(yīng)當(dāng)置種群減少多少都不顧而一味增加常量的食餌，而應(yīng)該與種群原來的數(shù)量(密度)以及原來食餌的數(shù)量有關(guān)，這有助于避免資源的浪費(fèi)。為此我們研究下述較之系統(tǒng)(2)更切合實(shí)際的脈沖系統(tǒng):

其中β，λ是常數(shù)。在適當(dāng)?shù)募僭O(shè)條件下，我們得到了保證系統(tǒng)(3)存在周期解的一組充分條件，推廣了文獻(xiàn)［6］的結(jié)果。

1 主要結(jié)果

定理1 假設(shè)下述條件成立:

(H1)δ，γ，ε均是正常數(shù)，0＜α＜1而λ，β是常數(shù)。tk是z(t)=(x(t)，y(t))T的第一類間斷點(diǎn)，即z(tk)=z()，Δz(tk)=z)－z()。脈沖效應(yīng)時(shí)刻tk是周期序列，即存在正整數(shù)q使得tk+q=tk+ω，ti＜ti+1(i=0，1，2，…)。

則系統(tǒng)(3)存在唯一周期解。

證明:假設(shè)x=ξ(t)，y=η(t)是(3)的 ω －周期解，記 ξ0=ξ(0+)，η0=η(0+)，ξ1=ξ(ω)，η1=η(ω)，=ξ(ω +)=η(ω +)。由解的 ω 周期性知=ξ0，=η0，并且有

對(duì)t∈0，(]ω，系統(tǒng)(3)的解x=ξ(t)，y=η(t)滿足關(guān)系式

特別當(dāng)t=ω時(shí)，我們有

結(jié)合(4)式得η0應(yīng)滿足方程

從而在(7)式中當(dāng)η0取正值時(shí)可以得到x1的一個(gè)估計(jì)值(即脈沖時(shí)刻)，因?yàn)橹灰獂1的取值滿足(7)式就可以了。

現(xiàn)在對(duì)系統(tǒng)(3)的解x(t)，y(t)根據(jù)文獻(xiàn)［6］的定理8.1，要保證x(t)，y(t)確實(shí)是系統(tǒng)的ω周期解，需要計(jì)算乘子μ的值，使得|μ|≤1。根據(jù)文獻(xiàn)［6］186頁中的公式(8.9)我們有

于是有

本文考慮了在一個(gè)ω周期內(nèi)有一個(gè)脈沖點(diǎn)的情形，對(duì)一個(gè)ω周期內(nèi)有多個(gè)脈沖點(diǎn)的情形將另文給出。由于假設(shè)食餌取值與x，y有關(guān)，從而未必常數(shù)λ一定為正，只要λ滿足定理假設(shè)條件(2)就可以了，因?yàn)榇藭r(shí)即便λ取負(fù)值而β取適當(dāng)正值仍然可以保持食餌增量為正。

［1］陳蘭蓀，宋新宇，陸征一.數(shù)學(xué)生態(tài)模型與研究方法［M］.成都:四川科學(xué)技術(shù)出版社，2003.

［2］馬知恩，周義倉，王穩(wěn)地，等.傳染病動(dòng)力學(xué)的數(shù)學(xué)建模與研究［M］.北京:科學(xué)出版社，2004.

［3］王庚.三種群非線性食餌—捕食反應(yīng)擴(kuò)散系統(tǒng)奇攝動(dòng)Robin問題［J］.純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)，2007，23(2):152－156.

［4］劉瀟.污染環(huán)境中具有脈沖的單種群模型的最優(yōu)捕獲問題［J］.生物數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2007，22(3):265－271.

［5］王政.具非線性飽和功能反應(yīng)的捕食者—食餌系統(tǒng)的定性分析［J］.生物數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2007，22(2):215－218.

［6］Bainov D，Simeonov P.Impulsive differential equations:periodic solutions and applications［M］.New Youk:Pitman Monographs and Surveys in Pure and Applied Mathematics 66，1993.