長直機翼的顫振及混沌運動分析

肖艷平, 楊翊仁, 魯麗

(1.中國民航飛行學院 飛行技術學院, 四川 廣漢 618307;2.西南交通大學 力學與工程學院, 四川 成都 610031)

長直機翼的顫振及混沌運動分析

肖艷平1,2, 楊翊仁2, 魯麗2

(1.中國民航飛行學院 飛行技術學院, 四川 廣漢 618307;2.西南交通大學 力學與工程學院, 四川 成都 610031)

采用非定常氣動力并考慮幾何非線性的影響,建立了長直機翼的氣動彈性運動方程。運用伽遼金法對方程進行離散,通過數值模擬研究了機翼的顫振特性及混沌運動。結果表明:考慮幾何非線性后,出現極限環振動的初始點與線性預測結果基本一致;不同機翼模型,機翼振動從收斂到混沌的過程不同,可由單個極限環振動經擬周期運動進入混沌,也可以由單個極限環到擬周期運動,再回到單環振動,然后經極限環的周期倍化進入混沌狀態。

顫振; 極限環振動; 混沌;非線性

0 引言

近十幾年來,高空長航時飛機越來越受到世界各國的重視。這類飛機普遍的特點是大展弦比、重量輕、柔性大,故基于小變形線性假設的氣動彈性分析方法已不再適用[1]。由于幾何非線性效應,一般不會像線性機翼顫振那樣發生振幅隨時間以指數形式增長的破壞性振動,而通常呈現出限幅極限環振動的形式;但是,劇烈的顫振會對大展弦比機械結構的疲勞壽命,甚至飛行器的飛行性能以及飛行安全產生十分不利的影響[2-3]。

目前,對大展弦比機翼的氣動彈性分析,其結構動力學模型主要采用非線性梁模型。早在1974年,Hodges等[3]建立了彈性旋翼的Hodges-Dowell方程。此方程是彎-彎-扭相耦合梁的非線性運動方程,該方程經適當簡化后完全可以作為大展弦比固定翼飛機的結構動力學方程。文獻[4-5]采用簡化的Hodges-Dowell方程和準定常氣動力研究了大展弦比機翼非線性氣動彈性響應,并給出了風洞試驗結果。Patil等[6]采用渦格氣動力理論分析了幾何非線性對大展弦比機翼氣動彈性響應的影響。文獻[2,7]采用準模態法研究了非定常氣動力作用下的顫振邊界的求解。冉玉國等[8]利用Nastran軟件分析了非定常氣動力作用下大展弦比機翼的氣動彈性響應,但他們僅研究了顫振邊界,未涉及混沌運動。Patil等[6]對顫振后極限環振動進行了研究,但結構模型中只考慮了二次非線性項的影響。

本文考慮了長直機翼的幾何非線性,采用非定常氣動力,建立了彎扭耦合懸臂梁的非線性氣動彈性運動方程。采用伽遼金法對方程進行離散,利用MATLAB語言數值模擬研究了長直機翼的顫振特性和混沌運動。

1 氣動彈性方程的建立

考慮如圖1所示的長直機翼模型,忽略機翼的弦向變形和翹曲的影響,基于文獻[3]可推導出長直機翼的彎扭耦合運動方程為:

(1)

式中:Fw,Mφ為非定常氣動力和力矩;m為機翼單位長度質量;w為彎曲位移;xa為機翼重心與彈性軸的距離;φ為繞彈性軸的扭轉角;EI1,EI2和GJ分別為機翼的垂向彎曲、弦向彎曲和扭轉剛度;Ia為單位長度機翼的轉動慣量。

圖1 長直機翼模型Fig.1 Model of the long straight wing

非定常氣動力采用時域內基于Wagner函數的氣動力為[9]:

(2)

其中:

φw(τ)=1-A1e-b1τ-A2e-b2τ

式中:V為來流速度;a為彈性中心到弦長中點的無量綱距離;b為半弦長;τ=(V/b)t為無量綱時間;A1=0.165;A2=0.335;b1=0.045 5;b2=0.3。

將式(2)代入式(1)可得機翼的氣動彈性方程為:

(3)

采用伽遼金法對式(3)進行離散,并利用振型的正交性積分,整理后可得:

(4)

(5)

2 數值模擬及結果分析

2.1 顫振臨界速度的確定

線性顫振分析可確定系統的顫振邊界,本文通過計算式(5)的特征值s=c+ωi來確定顫振臨界速度。隨著速度的增加,若特征值實部c由負變正,則該速度即為顫振臨界速度。

本文以兩種機翼模型為例進行研究,模型的具體參數見表1。

表1 機翼模型參數Table 1 Parameters of the wings

計算時,彎曲模態和扭轉模態均取前4階。計算得到case 1機翼模型(HALE飛機)的顫振臨界速度VF=32.65 m/s,顫振頻率f=22.1 rad/s,與文獻[6]結果(VF=32.8 m/s,f=22.4 rad/s)非常接近。Case 2機翼模型VF=23.4 m/s,f=23.5 rad/s。

2.2 混沌運動

由于考慮了長直機翼的幾何非線性的影響,當速度大于線性顫振臨界速度時,機翼響應并不會發散,而是出現極限環振動。為此,本文以流速為分叉參數,研究不同機翼的翼尖扭轉位移極限環振動響應。圖2給出了初始條件為y0(1,1)=0.006 25時,HALE飛機的翼尖扭轉位移分叉圖。

從圖2中可以看出,考慮了幾何非線性影響后,系統極限環振動的初始點與線性分析結果基本一致,且在系統進入混沌狀態前翼尖扭轉角響應幅值都不是很大。另外,當速度大于線性顫振臨界速度時,機翼的響應為極限環振動,而且隨著速度的增加,極限環的幅值一直增大;當速度大于40.5 m/s時,系統由單環振動進入擬周期運動;當速度大于41 m/s時,系統由擬周期進入混沌狀態,扭轉角幅值迅速增大。該系統是一個典型的由擬周期進入混沌的系統,由圖3中的相圖可以更清楚地看到。

圖2 HALE飛機翼尖扭轉角分叉圖Fig.2Bifurcation diagram for the wingtip twist angle of HALE

圖3 HALE飛機翼尖扭轉角相圖Fig.3 Phase diagram for the wingtip twist angle of HALE

圖4給出了case 2機翼模型的扭轉位移分叉圖,初始條件為y0(1,1)=0.005。從圖4中可以看出:當飛行速度大于線性顫振臨界速度時,系統先出現穩定的極限環,且極限環的幅值隨著速度的增加而增加,與HALE飛機類似。當速度在23.85～25.00 m/s時,隨著速度增加,扭轉方向的極限環幅值保持不變,極限環中心略向下偏移。極限環中心位置發生偏移的原因是在速度大于23.85 m/s時,系統出現了除原點以外的平衡點,但由于非定常氣動力的作用,該平衡點很難通過理論分析得出。當速度在25～26 m/s之間時,系統進入擬周期運動狀態,但位移響應幅值變化不大,其相圖如圖5(b)所示,對應的Poincare截面圖如圖6(a)所示。速度在26.0～27.3 m/s之間時,系統又回到穩定的極限環振動,其相圖如圖5(c)所示。速度在27.3～27.4 m/s之間時,系統交替出現了周期1和周期2的極限環振動,其相圖如圖5(d)所示。速度在27.4～28.5 m/s之間時,極限環出現了周期倍化現象,其相圖如圖5(e)所示,對應的Poincare截面圖如圖6(b)所示。當速度大于28.5 m/s時,系統響應由周期倍化運動進入了混沌狀態,其相圖如圖5(f)所示,對應的Poincare截面圖如圖6(c)所示。

圖4 Case 2翼尖扭轉角分叉圖Fig.4 Bifurcation diagram for wingtip twist angle of case 2

圖5 不同速度下翼尖扭轉角相圖Fig.5 Phase diagram for the wingtip twist angle at different speeds

圖6 不同速度下的翼尖扭轉角龐加萊截面圖Fig.6 Poincare section view of the wingtip twist angle at different speeds

以上為case 2機翼在某一特定初值下的翼尖扭轉角響應的研究,演示了系統由收斂到單個極限環振動,到擬周期運動,再到周期1極限環振動,最后經極限環的周期倍化進入混沌運動的復雜過程。

3 結束語

本文研究了長直機翼在非定常氣動力作用下的非線性氣動彈性響應問題。首先進行了線性分析,給出了在時域中計算顫振臨界速度的方法,該方法的計算結果與其他文獻的計算結果非常吻合?？紤]幾何非線性后,通過翼尖扭轉角的分叉圖可知,系統出現極限環振動的初始點與線性預測結果基本一致。通過case 1和case 2混沌運動分析對比可知,不同的機翼模型,系統進入混沌的過程不同。通過全面分析系統的分叉與混沌行為,不僅可以避免系統進入混沌狀態,而且可以防止機翼發生顫振,為機翼的優化設計提供理論依據。

[1] 趙永輝,胡海巖.大展弦比夾芯翼大攻角顫振分析[J].振動工程學報,2004,17(1):25-29.

[2] 謝長川,吳志剛,楊超.大展弦比柔性機翼的氣動彈性分析[J].北京航空航天大學學報,2003,29(12):1087-1090.

[3] Hodges D H,Dowell E H.Nonlinear equations of motion for the elastic bending and torsion of twisted nonuniform rotor blades[R].NASA-TN-D-7818,1974.

[4] Tang D,Dowell E H.Experimental and theoretical study on aeroelastic response of high-aspect-ratio wings[J].AIAA Journal,2001,39(8):1430-1441.

[5] Eskandary K,Dardel M,Pashaei M H,et al.Nonlinear aeroelastic analysis of high-aspect-ratio wings in low subsonic flow[J].Acta Astronautica,2012,70:6-22.

[6] Patil M J,Hodges D H.Limit-cycle oscillations in high-aspect-ratio wings[J].Journal of Fluids and Structures,2001,15(1):107-132.

[7] Shams S,Lahidjani M H S,Haddadpour H.Nonlinear aeroelastic response of slender wings based on Wagner function[J].Thin-Walled Structures,2008,46(11):1192-1203.

[8] 冉玉國,劉會,張金梅,等.大展弦比機翼的非線性氣彈響應分析[J],空氣動力學學報,2009,27(4):394-399.

[9] 趙永輝.氣動彈性力學與控制[M].北京:科學出版社,2006:167-176.

(編輯：李怡)

Analysis of flutter and chaos of long straight wing

XIAO Yan-ping1,2, YANG Yi-ren2, LU Li2

(1.Flight Technology College, Civil Aviation Flight University of China, Guanghan 618307, China;2.School of Mechanics and Engineering, Southwest Jiaotong University, Chengdu 610031, China)

Considering the effects of geometric nonlinearity, the aerodynamic equations of long straight wings were established with unsteady aerodynamic. The Galerkin’s method was used to discretize the equations. The characteristics of flutter and chaos were analyzed in time domains by numerical simulation. The results show that the starting point of limit-cycle oscillation considering geometric nonlinearity is basically the same as the linear results. The wing’s vibration from convergence to chaos is different from each other. It may be from limit-cycle oscillation to quasi-periodical oscillation, and then to chaos. It may be from limit-cycle oscillation to quasi-periodical oscillation, and then return to period 1, then to chaos by period doubling.

flutter; limit-cycle oscillation; chaos; nonlinear

2015-01-23;

2015-05-10;

時間:2015-06-24 15:03

國家自然科學基金資助(11102170)；中國民航飛行學院科研基金資助(J2013-03)

肖艷平(1980-)，女，河北樂亭人，副教授，博士，從事飛行力學及氣動彈性研究。

V211.47

A

1002-0853(2015)06-0510-04