基于現實“自然”精彩
——兼與張逢臣、王志進兩位老師商榷

☉山東省濱州市北鎮中學初中部 邢成云

基于現實“自然”精彩
——兼與張逢臣、王志進兩位老師商榷

☉山東省濱州市北鎮中學初中部 邢成云

文1通過探索的方式給出了三個問題的三個“自然生成”的解法，通過反復拜讀，感觸莫深，對兩位老師給出的這些自然思路實施了再研究，有了自己的一點認識，有商榷（文1中例1、例2的改進思路），也有共鳴（文1中例3的思路），現成文以求切磋.

誠然，問題解法的自然而然，與解題者的文化背景有關，一個高中生與初中生面對同一問題，他們順乎自然的想法可能就不一樣，除了數學內在的積累差異外，也與思維方式有關，強定勢下的思路容易形成，基本套路用的往往熟練，這些容易“上手”的思路可視為自然思路.從數學思維的角度來看，自然的想法才是最好的方法，因為，自然的想法才是學生能夠想到的方法，自然的想法才能引起師生之間的共鳴，才能在簡單中彰顯大氣，給人啟迪.另外，這些自然的想法還應該是指向核心知識、核心技能的，是基于通性的方法，它不偏鉆、不怪異、不生澀、不極端、不玄妙、不高蹈.因此，解題教學切忌用極其繁難的思路方法把學生弄得頭暈腦脹，用極其不自然的技巧把學生弄得茫然四顧.

筆者認為，自然的解法就是通俗的解法、常規的解法，就是從題目條件出發，每一步跨度不大，容易想到，易于理解，接地氣之法.不過判斷一個解法是否自然，不同人的看法未必一致，可以說都有自己心中的自然之法.因為解法自然與否，和解題者本身的知識素養有很大的相關度，比如四基的掌握程度、成功解題的案例多少、聯想及統攝能力、靈活運用能力等，難以一概而論.但不管怎樣，承載核心知能、順乎一般思維規律、接近學生思維本能的方法就是自然的方法.

本文欲通過例子闡釋上述觀點.

一、兩個基于學生現實的案例

案例1現行人教版八下教材“勾股定理”一章復習題17（P39）加進了一道拓廣探索題（14題），題目如下：

設直角三角形的兩條直角邊長及斜邊上的高分別為a，b及h.求證：

大部分老師認為這道題難度很大，學生無從下手.誠然，作為一道探索性問題，應該是有難度的，不可能信手拈來，但筆者的學生完成這一道題目時卻相對順利，他們立足勾股定理借力面積關系很快得證，其思路為：如圖1，由勾股定理知a2+b2=c2，根據面積關系知將其代入a2+b2=c2，得a2+b2=等式兩邊同除以a2b2，得

圖1

分析：為何學生找到這個思路，其實是前期工作到位形成的，面積關系在三角形一章中已經滲透，而消去“c”的作法在消元法中已經升華為“消除差異”法，到現在就成了自然的思路，至此難題也就不難了.由于課程整合，現在筆者任教的初二學生已經完成了相似性的學習，為了與高中接軌還引入了射影定理，再把上述問題給學生解答，竟然出現了另外一種景觀：

這個證明從等式的兩端分別入手計算，殊途同歸，用到的僅是分式的運算，這無疑是自然的思路、大眾化的思路，但前提是學過射影定理.可見，所謂自然思路一定是基于學生現實的思路，這個現實由相關課程標準的基本要求和執教者的教學定位.兩個思路各有千秋，但均基于“自然生成”.

在△ABF和△AND中，

如圖8，過點A作AN的垂線AF，在該垂線上截取AF= AN，連接BF、FM.（或將△AND繞點A順時針旋轉90°至△ABF的位置，使得AD與AB重合，連接BF、FM，或以AM為對稱軸作△AMN的對稱圖形△AMF，連接BF）

若將原題中的“中點E”改為“直線BC上任意一點（B、C兩點除外）時”，結論AE=EF都能成立．用上述方法同樣可證.

在沒學習相似形前，通過教學發現學生面對此題的第一想法是過點F作FH⊥CG，如圖3，想法證△FHE與△ABE全等，但通過努力不能完成而中途放棄，可見這是個非常自然的思路，但由于知識的缺位而執行不暢，致使思路夭折，然后才探尋其他思路（多種方法構造全等形）；而我們教材上是通過提示（取AB的中點G，連接EG）給定的問題，如此問題的指向性就非常明了了，問題也因此缺少了探索性和挑戰性，其實本題是一個很好的拓廣探索題，學生學完相似形后，再次啟動本題的證明，以銜接、落實學習四邊形時原初的想法，大部分學生能暢行之，同時也為深刻理解全等與相似的關系提供了優質的載體，可見這一資源的價值再次被利用.

圖2

圖3

拓展：將點E為邊BC中點，改為邊BC上任一點，同樣能用上述方法證得.設FH=CH=m，CE=a，BE=b，則AB=a+ b，同上證得△FHE∽△ABE，則變形得am=ab，故m=b，可知△FHE≌△ABE，得證.

如圖2，四邊形ABCD是正方形，點E是邊BC的中點，∠AEF= 90°，且EF交正方形外角的平分線CF于點F.求證：AE=AF.

可見這一方法不單單對于點E為邊BC中點可行，具有一定的通性，所以說這也是很自然的方法，是一般的思路，屬通法之列.但可惜的是在學生沒有學習相似形之前，此路不通，甚為可惜！故建議把此題移置到相似形一章合適位置，其利用價值會更大，因為在四邊形一章出現，構造全等形的思路不好形成，有突兀之感，在提示之下，價值被淡化，起不到應有的作用.

通過以上兩例，筆者有理由認為，自然之法是基于學生現實的方法，是基于學生可持續發展的方法，并非一成不變.

二、對文1三例的個中之見

例1如圖4，在△ABC中，AB=6，AC=3，∠BAC= 120°，∠BAC的平分線交BC于點D，求AD的長.

見解一：例1的原初解法其實是基于對稱的補形思路，把看似不和諧，有殘垣斷壁之感的圖形適當修補，成為相對圓滿的圖形，進而把已知條件有效組合而得解.應該說這個思路也是一條自然的思路，但有煩瑣之嫌，其煩主要體現在輔助線的構建上.

圖4

見解二：文1在原初解法的基礎上通過深度思考探得一法，是著眼于角平分線的性質定理聯想到的方法，應該說這是一個自然的聯想，因為就是構造出角平分線性質定理的模型，然后借力面積法而獲解.相比而言，這一思路似乎前進了一步，更通俗一些，但輔助線的條數并沒減少，筆者認為，以上兩種方法在思維量上是伯仲之間，沒有實質性的進展.

見解三：（筆者思路）基于人教版義務教育八上教材P78例2提煉的思路一：角平分線+平行線=等腰三角形.

解法一：如圖5，過點C作CE∥AD，交BA延長線于點E，由于∠BAC=120°，而AD平分∠BAC，所以∠AED=∠BAD= 60°，∠ECA=∠CAD=60°，推知△AEC為正三角形，即有CE=AE=3，由于CE∥AD，所以△ABD∽△EBC，則，代入數據得故 AD=2.

圖5

點評：本題使用的思路就是等腰三角形學習時的常規思路“角分線+平行線=等腰三角形”的基本模型，兩條輔助線就足夠了，說白了其實就是一條輔助線——平行線，另外一線是被動之下自然生成的線，可見其構圖的基本化和思路的簡潔性，文1中的角平分線性質嫁接面積法確實是順乎其理的方法，但如此解答是不是更基本.實踐證明，面積法縱然好用，但學生用起來并不像我們老師一樣駕輕就熟，對有些同學來說甚至是個“盲點”，當然這可能和平日的教學定位有關.如此說來，所謂的通法、自然解法顯然是立足學生的已有經驗的，因此我們認為，教科書上滲透的方法都可稱之為基本方法，或者說是自然方法；另外，我們在追求自然解法的同時也要注意方法的優化，一個題目思路眾多，需要我們開放思維去直面，開拓我們的思路、開闊我們的視野，對學生思維品質的發展是有諸多好處的.筆者認為，這個解法更簡潔、更通俗，因為平行線這條輔助線是再普通不過的了，它是平移變換的執行者，這應該是輔助線的開端，是平行公理的直接效能，值得我們研究.

如圖9，連接BD，過點M作MH⊥

圖6

圖7

解法三：沿著以上思路思考下去，其實過線段BC內部的點D作平行線也可，如圖7，可證△ADE為正三角形，即AD=DE=AE，設AD=x，則，故x=2.可見此時只需要一條輔助線，當然本解法與前面兩種解法并無二致，都是基于角平分線聯想等腰三角形的基本想法，但其簡捷易行可見一斑.

當然簡單未必是自然，有可能是神來之筆、妙手偶得，可本思路應該不屬此類，也不是自己的方法就是“自然而然”，他人的方法就是“天外來物”的自我辯護.同仁自有明斷，懇請交流.

例2證明：方程x8-x5+x2+x+1=0無實數根.

原文證明過程略.

點評：在此舉這樣的例子，筆者不清楚作者何意？因為這樣的方程顯然不是基于初中生的，否則，遠遠超出了課標的底線，若不是對初中生而言，最起碼是高中生吧，立方差公式應該是高中生熟知的，原變形應該說是很自然的思路，消元、降次應然是面對整式方程問題最原初的想法，故而把方程變形為x5（x3-1）+x2+x+1=0，即x5（x-1）（x2+x+1）+x2+x+1=0，（x6-x5+1）（x2+x+1）=0，對高中生而言不失順暢，剛才的變形可謂舉手之勞，至此，剩下的任務就是識辨x6-x5+1=0是否有解？

而文1中作者的解法與原解法并非有本質區別，一開始通過降次處理，將原方程化歸為兩個因式的積，再行判斷符合問題求解的一般思路，解法是自然的，直至x6-x5+1=0是否有解的判斷，引發了分類討論，剩下的思路基本等同于作者的思路.其實到（x6-x5+1）（x2+x+1）=0時，自然分化為兩個方程x2+x+1=0和x6-x5+1=0，而兩個思路對第一個方程均用配方做出的說明，既然是一元二次方程，用“根的判別式”直接判斷不可以嗎？筆者認為，不管是初高中哪類學生，一元二次方程實根的存在情況，用根的判別式更自然、更一般，更逼近學生的經驗系統.

筆者想，可能因為原證法與作者證法相比多了點思維回路，就認為不是自然解法了，面對x6-x5+1=0時與面對原題時，分類的節點更容易發現，不然為何瞄準了0和 1的節點展開分類，是不是有點突兀？總之，兩個解法半斤八兩，彼此難說自然與否！

（7）孔斜超規的預防及處理措施。經常校核桅桿的垂直度，銑頭中心應與開槽中心吻合；銑削槽孔時，根據地層的情況，選擇合適的銑輪轉數和銑削給進力。

例3 略.

筆者為文1對這個例題的處理叫好.因為作者給出的方法確實是一般的思路——消元，進一步說是消除差異元，而原思路是構造函數，給人玩高空雜技的感覺，讓人望而生畏，這種技法難以飛到平民百姓家，而消除差異法就是平民之路，人人能為、可為，且有效.當然，原題的作者可能以此為例來闡明構造函數的方法，我們的認識或許偏離了作者的初衷，斷章取義.但就這個問題來說也應屬于遠離學生的題目，洋溢著競賽題的味道.若作為教學之外的探研，還是值得稱道的.

三、兩道中考題釋解別樣的“自然”

自古以來，用線造型就是人類觀察自然、表現對象最常用的一種方式。無論是西方藝術還是東方藝術，無論是古典還是當下，“線”的繪畫表現是他們的共同點，在奔放的線條旋律中，展現出美學的“概括”和“個性化”的藝術語言。可以說，在素描造型藝術中線條的表現包含著重要的審美特質和諸多的審美元素，在藝術史的發展進程中，在各個“流派”和各式“主義”的名家的作品中、手稿里，線性素描在繪畫中都顯現出獨特的藝術魅力和無可代替的視覺特點。

（1）若正方形的邊長為a，求BM·DN的值；

圖8

（2）若以BM、DN、MN為三邊圍成三角形，試猜想三角形的形狀并證明你的結論.

解析：（1）BM·DN=AB·AD=a2，過程略.

（2）以BM、DN、MN所組成三角形為直角三角形，證明如下：

⑩ 劉 譯 ：Pleased that he can practice the ancient Way...[4]38

案例2現行人教版八下教材“平行四邊形”一章復習題18（P69）拓廣探索的14題，題目如下：

因為∠1+∠BAN=90°，∠3+∠BAN=90°，所以∠1=∠3.

WV-CNN中文文本語義相似度計算模型由三部分組成：第一部分是對輸入文本進行詞語向量化表示，通過對中文語句進行分詞、編碼、生成向量的過程獲得文本的詞向量，將其作為卷積神經網絡(CNN)的輸入；第二部分是即為卷積神經網絡(CNN)，設置了卷積、Dropout、池化和Flatten4層，通過對參數進行選擇和訓練，得到優化的參數和結果；第三部分是輸出，即文本語義相似度的結果。

因為AB=AD，∠1=∠3，AF=AN，

數學是一種文化，更是一種精神，數學文化通過其內涵極大地影響了人類的道德和社會生活。人類用這種正能量思維拓寬視野，加強科學人文精神學習。在高職數學教學中融入相關數學史，讓學生感受數學理性精神，更好地將數學與人文融合，使數學課不再枯燥，洋溢著濃郁的人文精神。例如在介紹極限概念時，可介紹我國古代《莊子》一書中的“一尺之錘，日取其半，萬世不竭”“孤帆遠影碧空盡，唯見長江天際流”，把極限的動態過程及其歸宿描寫得十分透徹傳神。將數學史內容貫穿于課堂教學，可使數學教學中的德育功能得到更好的發揮。

所以△ABF≌△ADN，所以BF=DN，∠FBA=∠NDA= 135°.

本文以對硝基苯甲腈為原料、甲醇鈉為催化劑進行脒基化反應，合成了對硝基苯甲脒，通過傅里葉紅外光譜儀對產物的結構進行了表征，并通過考察反應時間、物料配比等因素對收率的影響，確定了最佳反應條件。考慮到目前企業的生存與生產過程產生的“三廢”存在直接聯系，研究了母液套用次數對產品質量及收率的影響，為企業生產減少“三廢”提供了數據，有利于企業的平穩生產。

因為∠FAN=90°，∠MAN=45°，

所以∠1+∠2=45°=∠FAM=∠MAN.

在△AFM和△ANM中，

通過上述處理后，小面積的塌方得到了有效解決，總結經驗，最主要的還是要做好塌方的預防措施，避免同樣的事故再次出現，具體如下：

因為AF=AN，∠FAM=∠MAN，AM=AM，

所以△AFM≌△ANM，所以FM=NM.

所以∠FBP=180°-∠FBA=180°-135°=45°，所以∠FBP+∠PBM=45°+45°=90°.

所以△FBM為直角三角形.

因為FB=DN，FM=MN，故以BM、DN、MN為三邊的三角形為直角三角形.

測試的工況油流阻為139 L/min、迎風面風速10 m/s、液氣溫差40℃，環境溫度24.5℃，測試的數據如表2(普通型切口翅片和加強型切口翅片產品換熱性能數據表)。

筆者的思路探尋與解法：（僅限于第（2）小題）

不難發現BM、DN和MN三條線段可以看作是梯形的兩底一腰，只要把BD一連，一個直角梯形就顯現在我們面前，剩下的任務無非就是尋找直角梯形兩底與一腰的關系，這類問題我們有非常樸素的經驗，作梯形的高，這就是基本套路，也就是自然而然的思路.然后通過“勾股定理”把它們鏈接在一起，剩下的任務就是代數變形了.這些想法更接近學生的已有經驗，更貼近我們的數學教材，尤其重要的是這道題目兩小問之間的內在關聯之魅力才能得到更好的展現.

在全國組織工作會議上，習近平總書記發表重要講話，首次提出新時代的組織路線：全面貫徹新時代中國特色社會主義思想，以組織體系建設為重點，著力培養忠誠干凈擔當的高素質干部，著力集聚愛國奉獻的各方面優秀人才，堅持德才兼備、以德為先、任人唯賢，為堅持和加強黨的全面領導、堅持和發展中國特色社會主義提供堅強組織保證。

解法二：既然能過點C作平行線，那過點B應該也能行，一試成功，如圖6，過程略，此時輔助線的條數等同于解法一. A

DN，垂足為H，可證四邊形MNDB為直

例4（2014年菏澤市）已知：如圖8，正方形ABCD，BM、DN分別平分正方形的兩個外角，且滿足∠MAN=45°，連接MN.

楚艷出生在陜西省西安市一個文藝愛好者家庭，古都的歷史遺跡，啟蒙著楚艷對美的感知——從小，碑林、青龍寺就是她的游樂園，十多歲的年紀，沒事就背著畫板，在陜西歷史博物館里描摹唐代仕女圖、宋代陶俑。

圖6給出了模擬電弧故障的過程，當電弧再次發生時，文獻[13]中的初級電弧模型開始生效并產生初級電弧特性。在每個時間步長下，通過求解電弧方程可以得到電弧電導率，而電弧電導率的倒數則通過TACS轉化為時變電弧電導。次級電弧是一種受多種因素的影響高度復雜現象，在斷路器打開后，利用文獻[14]中基于具有重燃電壓特性的反向并聯雙二極管電路的仿真技術對次級電弧進行仿真。通過EMTP線路常數程序計算線路參數，同步電機（SM）和TACS用于核電站的調速器和勵磁系統[15]，在750 kV架空輸電線路系統的雙回路中線路1上產生故障，如圖7所示。

圖9

這個方法，立足圖形現有的元素，用最通俗的作梯形高輔助線（小學生都會的輔助線），然后借助勾股定理構建起相關給定三線段的數量關系，借力問題中獲得的結論變換而得三線段的平方關系，根據勾股定理逆定理敲定問題的答案.相比之下，這個方法脫胎于學生學習“四邊形”一章的基本經驗，通俗自然，更貼近學生.

若從題目本身承載的效能來說，標準答案制定成第二個思路的形式，更能體現題目命制的精妙.因為用第一個思路，第一問就是擺設，兩個子問題不搭界，彼此不相往來；若用第二個思路境界就不同了，第二問有機鏈接了第一問，兩個子問題渾然一體，那命題者構思的良苦用心才會真正體現出它的智能價值來，而不至于出現流于子問題拼湊的嫌疑.正可謂“精彩源于自然”.［2］

例5（2013年濟寧市）在正方形ABCD中，E、F分別是邊AD、DC上的點，且AF⊥BE，如圖10.

（1）求證：AF=BE；

圖10

圖11

（2）如圖11，在正方形ABCD中，M、N、P、Q分別是邊AB、BC、CD、DA上的點，MP⊥NQ，MP與NQ是否相等？并說明理由.

解析：（1）證明略.

（2）MP=NQ.理由如下：

如圖12，過點A作AF∥MP交CD于點F，過點B作BE∥NQ交AD于點E，則四邊形AMPF、BNQE都是平行四邊形，所以MP=AF，NQ=BE，由（1）知AF=BE，即得MP= NQ.

水庫塌岸影響因素主要有地形地貌、巖層結構和巖性、水的作用、波浪作用、沿岸流及凍融作用、水流沖刷及水庫淤積等。

圖13

圖12

評析：從試題制定的答案來看，是想把第一問的結論遷移過來成為第（2）問的接力點，如此充分體現了化歸的思想方法，但從學生的解答來看，很多孩子沒有關注第（1）問的狀況，而是另起鍋灶，把互相垂直的兩條線段分別置于全等的直角三角形中，通過全等去落實證明（圖13）.哪一個是基本思路、自然思路？從邏輯關聯的角度去思考，答案制定的很好，把兩個小問鏈接在一起，形成遞進式關聯，便于學生形成良好的思維序列，從該層意義上說，答案的解法應該說是合乎自然的方法，是基于問題發展區的方法；若從學生的解答來看，另起鍋灶者不在少數，說明這個想法也是學生容易想到的.再往大的范圍擴充，這個方法也是基于平移變換而構建的，不過一個是平移“目標線”，一個是平移“背景圖的線”，從而出現了不同的基本范式：平行四邊形模型和全等三角形模型.可見自然的思路并非非此即彼，它們往往融匯于一體，上溯至道的高度或許就是同“源”之分“流”.

例5若把兩個子問題視為單個的題目，這兩個思路可以說均為自然而然的思路，但若從兩個子問題的關聯來看，哪一個思路更能體現自然而然？顯然是第一個，因為通過構造把第二個一般問題化歸成了第一個特殊狀態的問題，轉化思想體現得淋漓盡致，這種化歸遷移力是學生學力的體現.

因此說，所謂“自然生成”的想法其實是基于背景的，不可絕對化.此時的“通法”可能是彼時的“特技”，自然的變得不自然，但境移物換，不自然的或許升值為自然.

降水量是衡量一個地區降水多少的數據，指從天空降落到地面上的液態或固態（經融化后）水，未經蒸發、滲透、流失而在水平面上積聚的深度［5］。降水觀測是研究流域或地區水文循環系統的動態輸入項目，是水資源最重要的基礎資料之一，對于工農業生產、水利開發、江河防洪和工程管理等具有深遠的意義。

四、自然解法的探尋也應因材施教

對這個給定的題目而言，可用整體意識，兩個方程相加，問題隨即化解，但一般的思路是把m視為已知數解二元一次方程組，再瞄準目標求解，一波三折，要說哪一種方法自然，當然是解方程組，但一些思維活躍、整體意識強的學生選擇法一也是很自然的事情，其實解決的也是“一類”問題，只不過這類問題需要更苛刻的條件，并不是只適用于那“一個”問題之法.

從思維的視角來說，以上兩個思路其實體現的是不同的思維層次，有的同學觀察的入木三分，有的僅浮于表面，表現在具體的操作上就有了別異的思路，何為自然，在這里似乎難以定奪，因人而異，對此人自然對彼人可能高不可攀，因此，自然就是逼近本質，探得真意.對此題而言，一加了事更能凸顯題目的本真，而解方程組不過是循規蹈矩，且有迂回之嫌.

五、寫在后面

可見，所謂的自然思路是基于現實的，這個現實或許是學生的已有經驗與知能儲備，或許是學生的慣性思路或熟練技法，或許是特有的問題背景等.但不論如何，我們也不能因為“自然”而否認孩子的認知，要基于課標的要求兼顧學生的現實，落實好教學，積淀、積累通性通法，破解應然之法，在不懈的探索中使更多的應然變為實然，以壯大學生的“自然思路”之庫.在教學中，盡可能讓學生在數學問題的解決過程中享受和體驗數學的簡潔之美、自然之美、和諧之美，“盡可能少用“技巧”舞弄“玄妙”，多用“通俗”演繹“精彩”.［3］

自然之法就是道法，就是濾掉沉渣而呈現澄澈的本真之法，是順其自然、渾然天成的簡單之法，就是逼近數學核心知識、核心技能、核心思想的內在規律之法，“道法自然”就是這個道理！

1.張逢臣，王志進.探索解題方法自然生成的軌跡［J］.中學數學教學參考（中），2015（4）.

2.邢成云.別解見證關聯常規凸顯不凡［J］.中學數學（下），2015（2）.

3.李文明.“技巧”舞出的是“玄妙”“通俗”演繹的是“精彩”——2014年高考福建卷數學壓軸題另解與思考［J］.中學數學（上），2015（2）.H