由“無理數(shù)”在教材中的安排引發(fā)的思考

☉江蘇省泰州市教育局教研室 錢德春

由“無理數(shù)”在教材中的安排引發(fā)的思考

☉江蘇省泰州市教育局教研室 錢德春

修訂后的蘇科版教材《義務(wù)教育教科書·數(shù)學》（以下簡稱蘇科修訂版）［1］中，對“無理數(shù)”的學習順序做了調(diào)整，將蘇科實驗版［2］教材的八年級勾股定理、開平方之后提前到七年級“有理數(shù)”之后、數(shù)軸之前學習，這是基于數(shù)學知識的科學性、邏輯性、系統(tǒng)性考慮而安排的.從教學實踐來看，教師有兩點困惑：一是就學生認知而言，以什么方式引入“無理數(shù)”比較恰當？二是如何讓學生理解“無理數(shù)”的概念？有了“無理數(shù)”概念，“實數(shù)”概念呼之欲出，怎么處理？

教師的教學困惑引發(fā)了筆者的思考：“無理數(shù)”教學內(nèi)容在蘇科修訂版教材中的安排依據(jù)是什么？為什么教師會產(chǎn)生教學困惑？如何處理知識的科學性、邏輯性、系統(tǒng)性與教學現(xiàn)實之間的關(guān)系？

一、蘇科版教材順序安排及依據(jù)考證

從某種意義上說，教材這種安排具有一定的科學性、邏輯性，筆者從兩個方面來論證.

1.從無理數(shù)與數(shù)軸的產(chǎn)生背景與時序來論證

據(jù)考證：約公元前500年，古希臘數(shù)學家、哲學家畢達哥拉斯（Pythagoras）的弟子希伯索斯（Hippasus）發(fā)現(xiàn)：正方形的對角線與其一邊的長度是不可公度的，即：若正方形邊長是有理數(shù)，則對角線的長不是有理數(shù)，達芬奇稱之為“無理的數(shù)”，后人證明這是一個實實在在的無限不循環(huán)小數(shù).數(shù)軸則由笛卡兒（1596～1650年）發(fā)明，“無理數(shù)”的發(fā)現(xiàn)遠早于“數(shù)軸”的發(fā)明，發(fā)明“數(shù)軸”時人們所認識的“數(shù)”在數(shù)軸上表示的點已經(jīng)能夠“布滿”數(shù)軸.因此，從無理數(shù)與數(shù)軸的產(chǎn)生背景與時序上說，教材的安排具有合理性.

2.從有理數(shù)、無理數(shù)與數(shù)軸的關(guān)系來論證

我們知道：嚴密性是數(shù)學的顯著特征.數(shù)軸上的點與實數(shù)是一一對應(yīng)的關(guān)系，唯有將所有的“有理數(shù)”與“無理數(shù)”在數(shù)軸上表示，才在數(shù)軸上形成致密的、“不間斷”的點.如果在“有理數(shù)”后接著就研究“數(shù)軸”，由于“有理數(shù)并沒有布滿數(shù)軸上的點，在數(shù)軸上存在著不能用有理數(shù)表示的‘孔隙’.而這種‘孔隙’經(jīng)后人證明簡直多得‘不可勝數(shù)’”.即僅有“有理數(shù)”在數(shù)軸上表示就不完備、不連續(xù)、不嚴密.因此，從這個意義上說，教材這種安排不無道理.

二、教材內(nèi)容簡述與教師教學困惑

為了理清相關(guān)問題，筆者在簡述教材內(nèi)容的基礎(chǔ)上，對教師的教學困惑及其原因給予分析.

1.蘇科修訂版無理數(shù)部分內(nèi)容簡述

圖1

蘇科修訂版教材是在七年級上冊第二章“有理數(shù)”的第一節(jié)“正數(shù)與負數(shù)”之后，緊接著安排了“有理數(shù)與無理數(shù)”一節(jié)，后一節(jié)接著研究“數(shù)軸”.（m、n是整數(shù)，n≠0）的數(shù)叫做有理數(shù)，并舉例說明有限小數(shù)和循環(huán)小數(shù)都是有理數(shù).接著進行操作活動：如圖1，將兩個邊長為1的小正方形，沿圖中虛線剪開，重新拼成一個大的正方形，它的面積為2，進而提出問題：如果設(shè)大正方形的邊長為a，那么a2=2，a是有理數(shù)嗎？接著，

2.教師教學之困惑

“無理數(shù)”產(chǎn)生的來源很多，初中階段主要是開方運算的結(jié)果、圓周率等，三角函數(shù)產(chǎn)生的“無理數(shù)”也有開方運算的原因，其源頭是勾股定理和開平方運算.蘇科修訂版教材通過拼圖方式得到等式a2=2，似乎巧妙地回避了開方運算，但“無理數(shù)”的概念引入存在兩個方面的困惑：第一，由于七年級學生還不具備相關(guān)知識，學生對“a是無理數(shù)”的理解還是有一定的困難的.教材在說明“滿足a2=2的a是無限不循環(huán)小數(shù)”時運用了有限逼近、合情推理的方法，本身也是不嚴密的，這顯然陷入了“用一種不嚴密代替另一種不嚴密”的怪圈.第二，教材將“無理數(shù)”安排在七年級學習時，對“無理數(shù)是什么、怎么產(chǎn)生的”解釋顯得蒼白，教師無法回應(yīng)學生的關(guān)注與疑問，造成了教師教學的困惑.

三、幾種版本教材“無理數(shù)”的教材安排比較

1.幾種版本的初中數(shù)學教材比較

筆者就“無理數(shù)”在教材中的安排，對課程標準（2011年版）下的人教版、［3］北師大版、［4］華師大版、［5］湘教版、［6］浙教版、［7］蘇科實驗版和蘇科修訂版做了比較（見下表）：

版本年級頁碼內(nèi)容在第六章實數(shù)第3節(jié)“實數(shù)”的第2節(jié)課時的“平方根”中，將兩個面積為1的正方形拼成一個大正方形求其邊長得到x2=2，由逼近法得到x是一個無限不循環(huán)的小數(shù)，進而在第3節(jié)“實數(shù)”中引出無理數(shù)概念，再完善“實數(shù)”的定義.北師大版人教版七年級下冊41～44八年級上冊21～25在第二章“勾股定理”之后的第三章“實數(shù)”中，安排了“認識無理數(shù)”一節(jié).華師大版■是無限不循環(huán)的小數(shù)，從而引出無理數(shù)、實數(shù)的概念.湘教版八八年級上冊8～12第十一章“數(shù)的開方”第2節(jié)“實數(shù)”：前面已學過平方根與立方根.教材通過呈現(xiàn)用計算機計算2■的結(jié)果，讓學生直觀感知2八年級上冊108～118第三章“實數(shù)”：在學習了“平方根”后引入了“無理數(shù)”，最后完善了實數(shù)概念及運算法則.蘇科實驗版第二章“勾股定理與平方根”的第5節(jié)“實數(shù)”：在“勾股定理”及逆定理和“平方根”之后引出“無理數(shù)”，進而將數(shù)系擴充至實數(shù)范圍.浙教版八年級上冊57～59七年級上冊71～73第三章“實數(shù)”的第2節(jié)“實數(shù)”：在“平方根”之后引出“無理數(shù)”概念，從而完善實數(shù)概念.平方根之前已經(jīng)學習了乘方及有理數(shù)的概念.蘇科修訂版七年級上冊15～17將“無理數(shù)”內(nèi)容提前到七年級上冊第二章“有理數(shù)”中學習，并將“有理數(shù)與無理數(shù)”單列為一節(jié)，而前一節(jié)的知識是“正數(shù)與負數(shù)”，后面研究“數(shù)軸”.

2.比較后的結(jié)論

從以上七種版本教材看，人教版、華師大版、湘教版和浙教版都是在平方根之后引入無理數(shù)概念，進而完善實數(shù)概念，符合知識邏輯，但都是從數(shù)值計算出發(fā)引入概念，學生仍然缺少體驗與感悟；北師大版、蘇科實驗版則是在勾股定理學習中，已知兩邊求第三邊時出現(xiàn)開平方運算，進而順勢引出無理數(shù)概念，這種由形到數(shù)、從直觀到抽象的概念引入方式自然流暢，符合學生的認知規(guī)律，也符合數(shù)學發(fā)展史；蘇科修訂版從有理數(shù)直接到無理數(shù)，對七年級學生來說，理解有難度也是自然的事.

四、“無理數(shù)”呈現(xiàn)順序及其教育形態(tài)

（一）對教學內(nèi)容呈現(xiàn)順序的思考

1.教材模塊化設(shè)計與知識邏輯關(guān)系

各種版本教材根據(jù)課程目標、課程內(nèi)容有自己的思考與自身的編排體系無可厚非，但這種體系與安排應(yīng)該兼顧數(shù)學知識的邏輯體系，順應(yīng)學生的知識結(jié)構(gòu)和認知心理.由于數(shù)學知識之間具有一定的邏輯關(guān)系，教材安排順序和教學順序不宜隨意變化.現(xiàn)行高中數(shù)學教材采用了模塊化設(shè)計方案，但在高中數(shù)學課程標準修訂調(diào)研中，一些受訪的數(shù)學家很看重中學階段數(shù)學知識的系統(tǒng)性，對高中數(shù)學教材模塊化設(shè)計提出質(zhì)疑，認為模塊化設(shè)計不適合數(shù)學的邏輯體系，有些聯(lián)系緊密的數(shù)學內(nèi)容分散在不同系列或模塊中，造成割裂和遺忘.一般地，如果課程內(nèi)容之間沒有明顯的邏輯關(guān)系，一部分內(nèi)容對另一部分內(nèi)容的學習關(guān)聯(lián)度不大，適宜采用模塊化方案.比如全等三角形與統(tǒng)計、概率沒有必然的關(guān)聯(lián)，教材安排的先后順序就顯得不那么重要；但“全等三角形”是“相似三角形”的基礎(chǔ)，“相似三角形”是“全等三角形”的發(fā)展，因此“相似三角形”教學必須安排在“全等三角形”之后，順序不能隨意改變.

2.“無理數(shù)”到底應(yīng)該安排在哪里學習

從教學實踐看，“有理數(shù)”后宜直接引入“數(shù)軸”，而“無理數(shù)”概念則應(yīng)在學習了勾股定理、開方運算后引入，并與“有理數(shù)”一起建構(gòu)“實數(shù)”概念，逐步建立起“實數(shù)與數(shù)軸上點的一一對應(yīng)關(guān)系”，同時將“有理數(shù)”的運算法則擴充到“實數(shù)”范圍.這種安排，無論知識的生成還是學生的理解都比較順暢、自然.盡管在“有理數(shù)”后直接引入“數(shù)軸”從知識體系上說有不嚴格之處，但教學中可以只研究“有理數(shù)在數(shù)軸上的表示”，而“實數(shù)與數(shù)軸上的點的對應(yīng)關(guān)系”問題，待后繼學習了實數(shù)后再逐步完善.

（二）知識的三種形態(tài)［8］與“無理數(shù)”學習

上述問題讓筆者想到了數(shù)學知識的三種形態(tài)，以及如何看待“無理數(shù)”三種形態(tài)之間的關(guān)系.

1.數(shù)學知識的三種形態(tài)

數(shù)學專家、課程專家和教育工作者，不同角色的關(guān)注可能有所側(cè)重：你可能更多關(guān)注數(shù)學本質(zhì)、知識體系、課程目標，你或是關(guān)注課堂的生成、學生的接受與理解、學生的個性特長、差異與素養(yǎng)；你還可以關(guān)注考試、結(jié)果與評價.這里就涉及數(shù)學知識的三種形態(tài)：學術(shù)形態(tài)、課程形態(tài)、教育形態(tài)（也有學者稱之為歷史程序、邏輯程序、教學程序）.

所謂學術(shù)形態(tài)，是指數(shù)學知識發(fā)明者或數(shù)學結(jié)論發(fā)現(xiàn)者將數(shù)學知識、結(jié)論用簡練、邏輯、系統(tǒng)的語言（包括文字、圖形、符號）以文本形式表述出來，屬于學術(shù)范疇，學術(shù)形態(tài)常常隱去發(fā)生與發(fā)展過程，有時就“像一只狡猾的狐貍，在沙地上一面走，一面用尾巴抹掉走過的足跡”.［9］所謂課程形態(tài)，是“將論文中的數(shù)學經(jīng)過消化加工，編入講義或課本時，已有了很大變化：更加系統(tǒng)，更加可讀”，但教材在考慮操作性和可讀性的同時，又要兼顧邏輯性、系統(tǒng)性和簡潔性，這又“離‘課堂中的數(shù)學’仍有距離，仍有較大區(qū)別.”［8］而教育形態(tài)則是教師課堂上將課程形態(tài)轉(zhuǎn)化為學生能接受的現(xiàn)實情境、語言表達、方式方法.因此數(shù)學知識的學術(shù)形態(tài)、課程形態(tài)與教育形態(tài)之間既有聯(lián)系又有區(qū)別.顯然，為了知識體系的完備與嚴密而在“有理數(shù)”之后直接引出“無理數(shù)”，是一種學術(shù)思維.

2.“無理數(shù)”的教育形態(tài)

鄭毓信教授談數(shù)學要重視“序的思想”.［10］筆者以為，這里的“序”包含知識邏輯的“序”，也應(yīng)該包含學生認知的“序”.教學目標與知識產(chǎn)生順序、學生的認知基礎(chǔ)與心理預(yù)期都應(yīng)該成為教材和教學所關(guān)注，學生已有什么、能達到什么、教學目標是什么，應(yīng)該是教學的起點與終點.因此，必須將數(shù)學知識的其他形態(tài)向教育形態(tài)轉(zhuǎn)化，把對知識邏輯的關(guān)注轉(zhuǎn)變?yōu)閷χR邏輯和認知邏輯的雙關(guān)注.

蘇步青先生有一句名言：“中小學教材可以混而不錯”.［11］“‘不錯’是大前提，關(guān)注大方向、本質(zhì).混是放松嚴格性的要求，現(xiàn)階段講不清楚的問題用寫意的方式說明，但仍不失其真.”［12］教材與教學應(yīng)該在尊重基本事實的前提下采用“混而不錯”的策略，設(shè)計從“不嚴格”到“嚴格”［13］的過程：可以用“白描”的語言描述概念，也可以控制變量方式對問題理想化思考，有時還可以允許暫時的“忽略不計”，在螺旋式上升中逐步實現(xiàn)數(shù)學的完備性和嚴格性，最終達到嚴格.如“負負得正”法則在數(shù)學家眼中是一種規(guī)定，教師可以直接告訴學生“這是規(guī)定”嗎？顯然不能！教學中就要設(shè)計現(xiàn)實情境來解釋這個法則，以利于學生的理解.

學習“有理數(shù)”時，學生當然會關(guān)注：有理數(shù)有大小嗎？如何比較？可以像小學算術(shù)那樣進行運算嗎？教材與教學就要在學習目標的統(tǒng)攝下，順應(yīng)學生的認知與關(guān)注，可以暫時“忽略”無理數(shù)，直接引出“數(shù)軸”概念、算術(shù)運算律與法則在“有理數(shù)”中的推廣.而與“無理數(shù)”相關(guān)的順序鏈為：有理數(shù)→數(shù)軸→勾股定理→開平方→無理數(shù)→實數(shù)→實數(shù)運算，從而建構(gòu)完整的知識體系和方法體系，以逐步達到“嚴格”層次.這種變化就是將學術(shù)形態(tài)、課程形態(tài)轉(zhuǎn)化為教育形態(tài)，而教材設(shè)計則應(yīng)該順應(yīng)這種轉(zhuǎn)化，向教學現(xiàn)實貼近一點，再貼近一點.

1.楊裕前，董林偉.義務(wù)教育教科書·數(shù)學［M］.南京：江蘇科學技術(shù)出版社，2013.

2.楊裕前，董林偉.義務(wù)教育課程標準實驗教科書·數(shù)學［M］.南京：江蘇科學技術(shù)出版社，2010.

3.林群.義務(wù)教育教科書·數(shù)學［M］北京：人民教育出版社，2012.

4.馬復.義務(wù)教育教科書·數(shù)學［M］.北京：北京師范大學出版社，2013.

5.王建磐.義務(wù)教育教科書·數(shù)學［M］：上海：華東師范大學出版社，2013.

6.嚴士健，黃楚芳.義務(wù)教育教科書·數(shù)學［M］.長沙：湖南教育出版社，2013.

7.范良火.義務(wù)教育教科書·數(shù)學［M］.杭州：浙江教育出版社，2013.

8.鄭強，鄭慶全.三種形態(tài)數(shù)學文化研究的回顧及啟示［J］.山東教育學院學報，2008（6）.

9.徐獻卿，楊世明.數(shù)學知識的兩種形態(tài)與數(shù)學教學［J］.數(shù)學教育學報，2002（5）.

10.謝麗.從“優(yōu)先意識”到“序的思想”［J］.中學數(shù)學（下），2014（8）.

11.張奠宙.大眾化和“簡單化”［J］.數(shù)學教學，2012（5）.

12.丁前鵬.對初中數(shù)學教學中“混而不錯”現(xiàn)象的思辨［J］.中學數(shù)學（下），2014（3）.

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