基于數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的三角形的中位線定理的探究
——一節(jié)江蘇省“教學(xué)新時(shí)空”研討課的設(shè)計(jì)與反思

☉江蘇省連云港市新海實(shí)驗(yàn)中學(xué)教育集團(tuán) 姜曉剛

基于數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的三角形的中位線定理的探究
——一節(jié)江蘇省“教學(xué)新時(shí)空”研討課的設(shè)計(jì)與反思

☉江蘇省連云港市新海實(shí)驗(yàn)中學(xué)教育集團(tuán) 姜曉剛

一、題記

著名特級(jí)教師馬明曾說(shuō)過(guò)：不把教學(xué)作為“結(jié)果”進(jìn)行，而作為“思維過(guò)程”來(lái)進(jìn)行，這才是“數(shù)學(xué)教學(xué)”的本質(zhì).

二、緣由

2014年12月23日，新海實(shí)驗(yàn)中學(xué)教育集團(tuán)吳雪英老師受邀在江蘇省“教學(xué)新時(shí)空”的“名師課堂”的初中數(shù)學(xué)專場(chǎng)中開(kāi)設(shè)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)研討課——三角形的中位線，反響熱烈.筆者參與了研討課的設(shè)計(jì)、實(shí)施和研討的過(guò)程，現(xiàn)將教學(xué)設(shè)計(jì)與反思呈現(xiàn)出來(lái)，與廣大同仁交流分享.

三、學(xué)情分析

“三角形的中位線”是“蘇科版”義務(wù)教育教科書(shū)·數(shù)學(xué)·八年級(jí)（下冊(cè)）第九章第5節(jié)的教學(xué)內(nèi)容，是學(xué)生在學(xué)完平行四邊形的性質(zhì)和判定后對(duì)平行四邊形知識(shí)的應(yīng)用和深化.三角形中位線性質(zhì)定理的推證是以平行四邊形的有關(guān)定理為依據(jù)的，是平行四邊形知識(shí)的綜合應(yīng)用，同時(shí)也為以后測(cè)量、實(shí)際運(yùn)用和相似三角形學(xué)習(xí)奠定了基礎(chǔ).本課教學(xué)，對(duì)探究數(shù)學(xué)問(wèn)題能力的培養(yǎng)及創(chuàng)新思維有著十分重要的作用.

根據(jù)教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)目標(biāo)，結(jié)合八年級(jí)學(xué)生的年齡、心理特征和認(rèn)知特點(diǎn)，主要采用“自主、實(shí)驗(yàn)、探究、發(fā)現(xiàn)、應(yīng)用”的導(dǎo)學(xué)方式，圍繞三角形的中位線這一“主題”，以折紙實(shí)驗(yàn)為“路徑”，引導(dǎo)學(xué)生探究三角形的中位線，讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)的抽象、轉(zhuǎn)化過(guò)程，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的本質(zhì)，充分體會(huì)復(fù)雜圖形與基本圖形的密切關(guān)系，感悟化繁為簡(jiǎn)的轉(zhuǎn)化思想，使學(xué)生進(jìn)一步體驗(yàn)到數(shù)學(xué)是一個(gè)充滿著觀察、實(shí)驗(yàn)、歸納、聯(lián)想和猜測(cè)的探索過(guò)程.

四、教學(xué)目標(biāo)

（1）通過(guò)折紙實(shí)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)三角形的中位線，進(jìn)而能折出三角形的中位線.

（2）通過(guò)折三角形的中位線，發(fā)現(xiàn)并證明三角形的中位線定理.

（3）通過(guò)經(jīng)歷豐富的“做”與“想”的過(guò)程，體會(huì)轉(zhuǎn)化的思想方法，培養(yǎng)學(xué)生操作、觀察、歸納、推理、應(yīng)用能力，發(fā)展合情推理及演繹推理.

五、教學(xué)設(shè)計(jì)

1.數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)活動(dòng)一：折直角三角形紙片的中位線

（1）請(qǐng)同學(xué)們將手中的直角三角形紙片ACB進(jìn)行折疊，使得點(diǎn)A與點(diǎn)C重合.展開(kāi)紙片（如圖1所示），觀察折痕，你有怎樣的發(fā)現(xiàn)？

（2）如果嘗試按圖2的方式進(jìn)行再次折疊，你又將有怎樣的發(fā)現(xiàn)？

圖1

圖2

設(shè)計(jì)意圖：新課伊始，直接讓學(xué)生折疊直角三角形紙片，觀察折痕的特征.這樣起點(diǎn)低、入口寬，既直擊主題，又不限制學(xué)生的思維空間，學(xué)生可以從不同的角度觀察并發(fā)現(xiàn)不同的數(shù)學(xué)結(jié)論，既相互印證又相互啟發(fā)，極大地調(diào)動(dòng)全體學(xué)生參與課堂探究和學(xué)習(xí)的興趣.

教學(xué)中，實(shí)施“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)活動(dòng)一（1）”折疊操作后，有的學(xué)生發(fā)現(xiàn)了折痕與直角三角形的一條邊平行，有的學(xué)生發(fā)現(xiàn)折痕垂直平分一條直角邊，有的學(xué)生發(fā)現(xiàn)折痕與一條邊之間的數(shù)量關(guān)系，還有的發(fā)現(xiàn)折痕的兩個(gè)端點(diǎn)分別是兩邊的中點(diǎn)，……

實(shí)施“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)活動(dòng)一（2）”折疊操作后，學(xué)生發(fā)現(xiàn)的結(jié)論就呈現(xiàn)出思維層次的差別，有的學(xué)生僅發(fā)現(xiàn)點(diǎn)F也是BC邊的中點(diǎn)，有的學(xué)生則發(fā)現(xiàn)四邊形CDEF是矩形，少數(shù)學(xué)生發(fā)現(xiàn)并敘述DE、EF與邊BC、AC的數(shù)量和位置關(guān)系.

教師順勢(shì)給出中位線的定義，并簡(jiǎn)敘直角三角形的中位線DE、EF與第三邊的數(shù)量和位置關(guān)系.（此時(shí)學(xué)生欣然接受且無(wú)疑義）

教師拋出疑問(wèn)：同學(xué)們，按照定義，直角三角形有幾條中位線？他們都滿足與第三邊的數(shù)量及位置的關(guān)系嗎？

許多同學(xué)立刻就發(fā)現(xiàn)還有一條中位線DF，嘗試?yán)靡延械闹R(shí)（矩形的性質(zhì)定理、平行線的判定定理）探究結(jié)論的正確性.

設(shè)計(jì)意圖：數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)呈現(xiàn)的是直觀的、顯性的思維素材，需要經(jīng)過(guò)思維判斷和邏輯推理，證實(shí)或證偽方能發(fā)現(xiàn)蘊(yùn)藏的、隱性的數(shù)學(xué)結(jié)論.折疊過(guò)程中直角三角形的中位線DE、EF是明顯的，而根據(jù)中位線的定義，直角三角形還存在第三條隱藏的中位線DF，是不是也滿足與第三邊的數(shù)量和位置關(guān)系呢？這樣就不知不覺(jué)地從數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的操作層面上升到數(shù)學(xué)思維層面.

教師小結(jié)：同學(xué)們經(jīng)過(guò)折疊直角三角形紙片，探究發(fā)現(xiàn)并證明了直角三角形的中位線定理（板書(shū)）.此時(shí)你還有什么疑問(wèn)或想法嗎？

教學(xué)中，短暫的沉默后有學(xué)生提出“三角形都有中位線呀，為什么直角三角形有中位線定理呢？”“我發(fā)覺(jué)等邊三角形的中位線也有這樣的結(jié)論！”“不是直角三角形的三角形有沒(méi)有中位線定理？”“正方形有沒(méi)有中位線定理？”……

設(shè)計(jì)意圖：發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題比解決問(wèn)題更為重要，教學(xué)過(guò)程中教師要留給學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和提出問(wèn)題的時(shí)間和空間，教給學(xué)生正確的和常見(jiàn)的思考問(wèn)題的方式方法.此處按照從特殊到一般的思維方式，可從直角三角形中位線性質(zhì)的探究順理成章地過(guò)渡到一般三角形中位線性質(zhì)的探究.

2.數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)活動(dòng)二：折一般三角形紙片的中位線

請(qǐng)同學(xué)們折疊出三角形紙片ACB（如圖3所示）的中位線，探究中位線與第三邊的關(guān)系.試試看！說(shuō)說(shuō)你的發(fā)現(xiàn)！

圖3

設(shè)計(jì)意圖：經(jīng)歷了第一個(gè)實(shí)驗(yàn)操作和探究發(fā)現(xiàn)，在本環(huán)節(jié)的實(shí)驗(yàn)操作中就放手讓學(xué)生自己動(dòng)手嘗試，試圖讓學(xué)生在既有經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，最終能夠?qū)⒁话闳切蔚闹形痪€問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直角三角形的中位線問(wèn)題，感悟解決問(wèn)題時(shí)化一般為特殊的思路.

在實(shí)際教學(xué)中，有的學(xué)生基于中位線的定義，分別對(duì)折每條邊找出中點(diǎn)，再折出中位線.有的學(xué)生受第一個(gè)實(shí)驗(yàn)操作的啟發(fā)，很快發(fā)現(xiàn)將其轉(zhuǎn)化為兩個(gè)直角三角形解決（如圖3所示）.有的學(xué)生先折出兩邊中點(diǎn)的方法，但是后來(lái)在與同組同學(xué)交流討論的過(guò)程中，很快就吸收了其他同學(xué)采用的方法，并且最后選擇了她認(rèn)為更有價(jià)值的轉(zhuǎn)化為直角三角形的方法介紹給其他同學(xué).

3.證明三角形的中位線定理

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)前兩個(gè)實(shí)驗(yàn)操作，讓學(xué)生以合情推理的方式獲得對(duì)三角形的中位線的認(rèn)識(shí).此時(shí)再讓學(xué)生用演繹推理的方式證明所得到的結(jié)論，完善學(xué)生對(duì)事物的認(rèn)識(shí)過(guò)程，養(yǎng)成學(xué)生“言之有據(jù)”的科學(xué)態(tài)度，形成證明的意識(shí)，學(xué)會(huì)用規(guī)范的數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)論證過(guò)程，這樣有利于學(xué)生清晰而有條理地表達(dá)自己的觀點(diǎn)并理解他人的思想.

教學(xué)中，由于學(xué)生獲取實(shí)驗(yàn)操作的直觀感性的認(rèn)識(shí)，都自覺(jué)選擇了他們用實(shí)驗(yàn)獲得的方法來(lái)說(shuō)明.而學(xué)生發(fā)現(xiàn)折痕就是三角形的高線，就突破了如何添加輔助線的難點(diǎn).但是對(duì)操作中得到的三個(gè)點(diǎn)，學(xué)生很容易忽略它們是否共線的問(wèn)題，授課老師就得及時(shí)提出，引發(fā)學(xué)生的思考，讓學(xué)生的認(rèn)知不留漏洞.

授課老師在學(xué)生折紙操作的基礎(chǔ)上進(jìn)一步折紙，得到一個(gè)矩形，發(fā)散了學(xué)生的思維，讓學(xué)生從多角度感受對(duì)三角形中位線的探索，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)比較三角形的中位線與第三邊的關(guān)系時(shí)“化長(zhǎng)為短”的解決方法（如圖4所示），更讓學(xué)生進(jìn)一步作出“化短為長(zhǎng)”的嘗試探索（如圖5所示）.

圖5

圖4

4.判斷“中點(diǎn)四邊形”的形狀

如圖6所示，四邊形ABCD中，AC=BD，點(diǎn)E、F、G、H分別是各邊的中點(diǎn)，請(qǐng)你判斷中點(diǎn)四邊形EFGH的形狀，并說(shuō)明理由.

設(shè)計(jì)意圖：這一環(huán)節(jié)主要是讓學(xué)生應(yīng)用三角形的中位線定理解決問(wèn)題，進(jìn)一步深化拓展對(duì)三角形中位線的認(rèn)識(shí)與理解，再次強(qiáng)化轉(zhuǎn)化的思想方法，培養(yǎng)學(xué)生對(duì)基本圖形的構(gòu)造與識(shí)別能力，為今后的學(xué)習(xí)打好基礎(chǔ).

單純地呈現(xiàn)中點(diǎn)四邊形并說(shuō)明其形狀，對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)是比較困難的，教師選擇了對(duì)角線相等的四邊形作為載體，既幫助學(xué)生搭建了圖形轉(zhuǎn)化的橋梁，也引發(fā)學(xué)生對(duì)中點(diǎn)四邊形與原四邊形的什么元素有聯(lián)系產(chǎn)生的思考，還為下一環(huán)節(jié)埋下伏筆.

教學(xué)中學(xué)生較為順利地解決了問(wèn)題.

5.由“中點(diǎn)四邊形”反向設(shè)計(jì)原四邊形

請(qǐng)你設(shè)計(jì)一個(gè)四邊形，使折出的“中點(diǎn)四邊形”是菱形.

設(shè)計(jì)意圖：在這個(gè)環(huán)節(jié)中，學(xué)生對(duì)中點(diǎn)四邊形的形狀因素已經(jīng)有了初步的認(rèn)識(shí)，進(jìn)而反其道而行之，讓學(xué)生由中點(diǎn)四邊形的形狀與原四邊形的聯(lián)系猜想其形狀，進(jìn)一步認(rèn)識(shí)到中點(diǎn)四邊形與原四邊形的對(duì)角線之間的關(guān)系，達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維與發(fā)散思維能力，提高學(xué)生研究數(shù)學(xué)的興趣和創(chuàng)新意識(shí).

教學(xué)中，各個(gè)學(xué)習(xí)小組都提出了自己的設(shè)計(jì)，也講述了設(shè)計(jì)的理由，盡管有的設(shè)計(jì)片面，甚至是錯(cuò)誤，但的確激發(fā)了學(xué)生探究的愿望，讓不同的學(xué)生得到不同的收獲和發(fā)展.

六、教學(xué)反思

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中要鼓勵(lì)學(xué)生自主探索與合作交流，有效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程不能單純地依賴模仿與記憶.教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)從事操作實(shí)驗(yàn)、觀察現(xiàn)象、提出猜想、推理論證等數(shù)學(xué)活動(dòng)，有效地啟發(fā)學(xué)生的思考，使學(xué)生在“做”的過(guò)程和“思考”的過(guò)程中，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和實(shí)踐能力.

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是指通過(guò)動(dòng)手動(dòng)腦“做”數(shù)學(xué)的一種數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)，是學(xué)生運(yùn)用有關(guān)工具（如紙張、剪刀、模型、測(cè)量工具、作圖工具及計(jì)算機(jī)等），在數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的參與下進(jìn)行的一種以人人參與的實(shí)際操作為特征的數(shù)學(xué)驗(yàn)證或探究活動(dòng).因此，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)著力于學(xué)生的學(xué)，鼓勵(lì)學(xué)生以類似科學(xué)實(shí)驗(yàn)的方式進(jìn)行主動(dòng)探索，強(qiáng)調(diào)“從做中學(xué)”、“從實(shí)驗(yàn)中學(xué)”，通過(guò)學(xué)生主動(dòng)的“做”或“實(shí)驗(yàn)”等探究過(guò)程，掌握數(shù)學(xué)知識(shí)，積累基本的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，培養(yǎng)創(chuàng)新精神、動(dòng)手能力.

列夫·托爾斯泰曾說(shuō)：“知識(shí)，只有當(dāng)它靠積極的思維得來(lái)，而不是憑記憶得來(lái)的時(shí)候，才是真正的知識(shí).”新理念就要求教師在概念教學(xué)中注重知識(shí)的生成，引導(dǎo)學(xué)生從已有的知識(shí)背景和活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，提供大量操作、思考與交流的機(jī)會(huì)，讓學(xué)生經(jīng)歷觀察、實(shí)驗(yàn)、猜測(cè)、推理、交流與反思等過(guò)程，進(jìn)而在增加感性認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上，幫助學(xué)生形成數(shù)學(xué)概念和認(rèn)識(shí).

蘇科版教材中“三角形的中位線”一課是利用圖形的旋轉(zhuǎn)，研究三角形的中位線，得到三角形中位線定理.為了更突出體現(xiàn)動(dòng)手做數(shù)學(xué)的理念，我們大膽對(duì)教材內(nèi)容進(jìn)行適當(dāng)改造，設(shè)計(jì)以折紙為載體的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，并賦予實(shí)驗(yàn)操作以豐富的思維活動(dòng)，使新課的學(xué)習(xí)可以在“做”中進(jìn)行.

1.選準(zhǔn)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)活動(dòng)的起點(diǎn)是數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)的關(guān)鍵

實(shí)驗(yàn)活動(dòng)起點(diǎn)太低，學(xué)生會(huì)覺(jué)得沒(méi)有探究的必要，不能激發(fā)學(xué)生探究的興趣；起點(diǎn)太高，學(xué)生無(wú)法在已有的知識(shí)方法與所要探究的對(duì)象之間建立有效的聯(lián)系，從而失去探究的欲望.本課從常見(jiàn)的一張直角三角形紙片折疊開(kāi)始，讓絕大多數(shù)的學(xué)生去動(dòng)手操作，去發(fā)現(xiàn)（直角三角形的）中位線，去感受（直角三角形的）中位線的性質(zhì)，去解釋其中的數(shù)學(xué)道理，是在探究中發(fā)現(xiàn)，在發(fā)現(xiàn)中論證，在論證中歸納.在積累基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)和解決問(wèn)題的方式的基礎(chǔ)上，繼續(xù)探索一般的三角形的中位線及其性質(zhì)，拾級(jí)而上，自然而然地避免了曲高和寡的尷尬.

2.數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)活動(dòng)要引導(dǎo)學(xué)生充分發(fā)揮合情推理作用

蘇科版數(shù)學(xué)教材注意強(qiáng)化合情推理和演繹推理的融合，通過(guò)設(shè)置觀察、操作、交流等探索活動(dòng)，并以直觀為基礎(chǔ)進(jìn)行數(shù)學(xué)說(shuō)理，反映“觀察、操作—探索、猜想—推理（有條理的表達(dá)）”的認(rèn)識(shí)過(guò)程.但不少教師將合情推理作為教材中的一個(gè)知識(shí)點(diǎn)在教，在其他更多的教學(xué)時(shí)間中并沒(méi)有將歸納、類比、一般化、特殊化等合情推理的思維方式自覺(jué)應(yīng)用到教學(xué)中去，這在一定程度上造成學(xué)生缺乏通過(guò)合情推理去提出問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力.本課遵循從特殊到一般的認(rèn)識(shí)過(guò)程，先通過(guò)對(duì)直角三角形的中位線及其性質(zhì)的探索和研究，進(jìn)而思考一般的三角形是否也具有類似（或相同）的中位線及其性質(zhì).也許今天這節(jié)課是教師引導(dǎo)著這么做，或許明天自己也能類似地嘗試著去做.

3.數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)活動(dòng)要關(guān)注數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的獲取和積累

數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的獲得要在好的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)活動(dòng)當(dāng)中，教師悉心準(zhǔn)備和策劃數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)活動(dòng)是使學(xué)生獲取數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的核心.教師設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)活動(dòng)應(yīng)以學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知規(guī)律為基礎(chǔ)，應(yīng)該能為學(xué)生提供更多的探索空間，能夠充分發(fā)揮學(xué)生的主體性，使學(xué)生積極主動(dòng)地參與、體驗(yàn).例如，本節(jié)課從一個(gè)直角三角形紙片折起，從中獲取、發(fā)現(xiàn)和論證直角三角形的中位線定理；通過(guò)從特殊到一般的思維方式，又通過(guò)折疊一般三角形的紙片，且在折疊和思考過(guò)程中，嘗試將研究問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解決直角三角形的問(wèn)題（化長(zhǎng)為短），進(jìn)而創(chuàng)造性地用“化短為長(zhǎng)”解決問(wèn)題.整個(gè)活動(dòng)的親歷和問(wèn)題解決的經(jīng)歷，對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的獲取和積累大有裨益.

4.教師善于挖掘和組織數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)素材

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的素材是為設(shè)計(jì)一個(gè)合理、恰當(dāng)、有價(jià)值的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)服務(wù)的材料.因此，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)素材應(yīng)從學(xué)生熟悉的生活、感興趣的事物中尋找挖掘，盡量結(jié)合實(shí)際問(wèn)題，從學(xué)生已有的知識(shí)體驗(yàn)出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)觀察、操作、實(shí)踐、歸納、類比、思考、探索、猜測(cè)、交流、反思等活動(dòng)掌握基本知識(shí)和技能，在認(rèn)識(shí)、使用和學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的過(guò)程中，使學(xué)生初步體驗(yàn)數(shù)學(xué)之間的聯(lián)系，感受數(shù)學(xué)就在自己身邊.例如，本節(jié)課的“三角形的中位線”就是利用折紙的方式讓學(xué)生感受到中位線和發(fā)現(xiàn)中位線的性質(zhì)定理，讓學(xué)生感覺(jué)知識(shí)是可以觸摸的.事實(shí)上折紙這一素材可以應(yīng)用于許多幾何圖形的概念及定理教學(xué)中，而且可以在折紙的基礎(chǔ)上再進(jìn)一步剪紙、拼圖，如“軸對(duì)稱”、“平行四邊形”、“圓”等.又如，“三角形內(nèi)角和”的驗(yàn)證，就可以根據(jù)三角形的內(nèi)角和為180°，挖掘“撕紙—拼圖”或“轉(zhuǎn)動(dòng)鉛筆”實(shí)驗(yàn)，幫助學(xué)生感受認(rèn)識(shí)，從學(xué)習(xí)內(nèi)容中可以側(cè)重于挖掘驗(yàn)證性、觀察理解性的實(shí)驗(yàn)素材.

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)使學(xué)生認(rèn)知方式有所改變，認(rèn)知途徑得到拓展，許多科學(xué)結(jié)論不再以完成、完滿的形式出現(xiàn)在學(xué)生面前，他們需要參與教學(xué)活動(dòng)，親身體驗(yàn)數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生、發(fā)展的過(guò)程，每個(gè)學(xué)生都可以自由地、大膽地猜想和實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，享受數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的喜悅，感知數(shù)學(xué)思想形成的生動(dòng)歷程，實(shí)現(xiàn)了從“學(xué)數(shù)學(xué)”到“做數(shù)學(xué)”再到“玩數(shù)學(xué)”，從被動(dòng)學(xué)習(xí)到主動(dòng)學(xué)習(xí)再到創(chuàng)造性學(xué)習(xí)的飛躍.

1.中華人民共和國(guó)教育部制定.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

2.董林偉.數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)：促進(jìn)初中生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一種有效方法［J］.中國(guó)數(shù)學(xué)教育，2012（5）.

3.喻平，董林偉.數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)：靜態(tài)數(shù)學(xué)觀與動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)觀的融通［J］.數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2015（2）.

4.孫立章.一堂數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課的思考［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2015（6）.H