培養學生解題反思習慣，提升學生思維能力

☉江蘇省江陰市華西實驗學校 孫小林

培養學生解題反思習慣，提升學生思維能力

☉江蘇省江陰市華西實驗學校 孫小林

著名數學教育家喬治·波利亞說過：“數學問題的解決，僅僅是解決了一半，而更重要的是解題之后的回顧與反思.”當代建構主義學說認為：“學生必須在活動中進行建構，必須在自己的學習過程中不斷進行反省、概括和抽象.”在數學學習過程中，學生通過解題后反思，就會有“既見樹木，又見森林”的學習效果.但在解題過程中，學生往往不注重反思，或由于缺少教師的具體指導，不知道反思什么，該怎么反思？在教師要求下所謂的反思也只停留在把解題過程重新理解一遍，達不到知識內化的效果.在解題反思的內容上，教師可以從以下幾個角度入手，給學生指明反思的方向.

一、對思維過程進行反思，培養思維的嚴謹性

思維的嚴謹性是數學學科的基本特點，它要求數學結論的敘述必須精練、準確，而對結論的推理論證和系統安排都要求既嚴格又周密.在教學過程中，教師要不失時機地抓住學生在解題過程中由于思維不精確、對概念理解不深刻、考慮問題不全面而導致的結果，有目的地啟發、引導學生對解題結果的正誤進行反思，從反思中鑒別結果的真偽，尋找產生錯誤的原因，從而得出正確的解答.

例1如圖1，若點M是x軸正半軸上任意一點，過點M作PQ∥y軸，分別交函數0）的圖像于點P和Q，連接OP和OQ.則下列結論正確的是（）.

圖1

此題很多學生選擇了B，筆者就讓選B的同學說出解題過程.

這時有學生說D也對，且說出了理由.接下來筆者就讓學生反思交流，這時選B的同學立刻意識到這時筆者再引導學生進一步反思，能否秒殺說明B錯誤，這時學生紛紛舉手，筆者明白學生通過反思意識到y=的圖像在第四象限，因此k2為負，所以為負，因此B成立.這時筆者再次引導選B的同學反思，有沒有思考D顯然正確？學生回答看到B，覺得對，就選B了，這時筆者再次讓同學反思，做選擇題不要看到前面覺得對，后面選項看都不看就直接選，應該4個選項都要仔細斟酌，這是做選擇題的技巧.

通過這樣對解題過程的反思能讓學生意識到解題的哪個環節出現了問題，為什么會出現這樣的問題，這樣反復地引導學生思考，通過學生的合作、交流，尋求正確的結果，顯然比老師直接給出解答更有價值.長期加以訓練，不僅有利于學生對基本知識的進一步理解和鞏固，對于培養學生思維的嚴謹性也是十分有益的.

二、引導學生對所涉及的數學思想進行反思

在解題時如先思考題目特征，尋求基本思想方法，或在每一次解題后，都對自己的思路作出評價，對解題過程中反映的數學思想與方法進行總結、概括，這樣長此以往，不僅能鞏固知識，避免解題錯誤.還可以把解決問題的數學思想方法及對問題的再認識轉化為一個學習過程，提高學生分析問題、解決問題的能力，優化數學思維，提高數學思維的能力，達到融會貫通的境界.學生就會慢慢地形成自己的數學思想和獨立的思維方式，從而提高數學素質.

例2如圖2，小明在操場上從A點出發，沿直線前進10米后向左轉40°，再沿直線前進10米后，又向左轉40°，…，照這樣走下去，他第一次回到出發地A點時，一共走了_____米.

圖2

此題培養學生的逆向思維能力和感悟化歸思想.學生將未知的內角轉化為已知角（180°-40°=140°），在方程思想的幫助下獲得正確答案：（n-2）×180°=140°×n，解得n=9，小明一共走了90米.有的學生立足于多邊形的外角和是360°，給出答案：360°÷40°=9，這是整體到局部的思想，優化思維建構，解題思想方法由抽象到具體，由簡單到深刻，深化解題認識，培養解疑能力.

若使y=k成立的x值恰好有四個，則k的取值范圍為__________.

圖3

本題想到用數形結合的思想就成功了一半.接下來作出對應函數的圖像（如圖3）即可.縱觀近年來的中考試題，巧妙運用數形結合的思想方法解決一些抽象的數學問題，可起到事半功倍的效果，數形結合的重點是研究“以形助數”使復雜問題簡單化、抽象問題具體化，能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數學問題的本質，它是數學的規律性與靈活性的有機結合，運用數形結合思想，不僅直觀易發現解題途徑，而且能避免復雜的計算與推理，大大簡化了解題過程.這在解選擇題、填空題中更顯其優越，要注意培養這種思想意識，要爭取胸中有圖，見數想圖，以開拓自己的思維視野.

不斷反思，積累發現，探索規律題往往可用歸納猜想的思想；解應用題時，可利用設元、消元思想；解一些最優化類題時，往往可用函數、方程、不等式的思想；在求一些函數解析式時，往往可用數形結合、轉化、待定系數的思想等.因此，數學思想方法是數學的靈魂，是知識的精髓，是知識轉化為能力的橋梁.

三、引導學生對解題活動中有聯系的問題進行反思

例4（1）如圖4，在正方形ABCD中，點E、F分別在邊BC、CD上，AE、BF交于點O，∠AOF=90°.求證：BF=AE.

圖4

圖5

（2）如圖5，正方形ABCD的邊長為12，將正方形沿MN折疊，使點A落在DC邊上的點E處，且DE=5，求折痕MN的長.這是我校月考試卷中的題目.第一問基本都會，第二問很多同學一籌莫展，毫無思路.但是如果從第一問提煉出正方形ABCD中AE⊥BF，則有BF=AE，在圖5中試著尋找有沒有互相垂直的線段，學生立刻發現由折疊可知AE⊥MN，因此茅塞頓開，MN=AE，易求得AE=所以

圖6

（1）直接寫出點A、B的坐標，并求直線AB與CD的交點E的坐標.

（2）動點P從點C出發，沿線段CD以每秒1個單位長度的速度向終點D運動；同時，動點N從點A出發，沿線段AO以每秒1個單位長度的速度向終點O運動，過點P作PH⊥OA，垂足為H，連接NP.設點P的運動時間為t秒.

①若△NPH的面積為1，求t的值；

②點Q是點B關于點A的對稱點，問：BP+PH+HQ是否有最小值？如果有，求出相應的點P的坐標；如果沒有，請說明理由.

此題是我校初二期中考試的壓軸題，第（1）問許多學生做不出來，其實是求BP+PH+HQ有最小值.連接PB，CH，則四邊形PHCB是平行四邊形.所以BP=CH.所以BP+ PH+HQ=CH+HQ+2.當點C、H、Q在同一直線上時，CH+ HQ的值最小.因為點C、Q的坐標分別為（0，2）、（-6，-4），所以直線CQ的解析式為y=x+2.所以點H的坐標為（-2，0）.因此點P坐標為（-2，2）.BP+PH+HQ中PH=CO= 2，故只需求BP+HQ的最小值.注意到PH∥BC，且PH= BC，從而可將BP平移至CH，轉化為求CH+HQ的最小值，利用“兩點之間，線段最短”知，當C、H、Q三點共線時，CH+HQ=CQ最小.

其實本題的原型題為：如圖7，要在一條河上架一座橋MN（河的兩岸互相平行，橋與河岸垂直），在何處建橋，使得E、F兩地的路程最短，作出圖形.

學生只要將所求與此題勾連，就會豁然開朗，順利求解.

這樣的解題反思就可以達到會一個、會一片的目的，真正做到融會貫通、舉一反三.

圖7

四、引導學生對解題的結果進行反思

例6因式分解4a2-64.

往往學生會得出這樣的結果4a2-64=（2a+8）（2a-8），很顯然，2a+8和2a-8中均沒有把公因式2提取出來，正確解法應為4a2-64=4（a+4）（a-4），如果解完題反思一下有沒有公因式，再反思一下因式分解的一般步驟，先提取公因式，再用公式法，結果應是分解到不能再分解為止，這樣解題的正確率就會大大提高，而且可以培養學生思維的嚴謹性.

很多同學得出的結果是a<3，此題學生只要對結果a<3稍微反思一下就知道當a=0時分式的值為0，所以正確的結果應為a<3且a≠0，再反思由為正，所以為負，又a2≥0，所以滿足a≠0且2a-6＜0，從而得出正確答案.

五、引導學生進行一題多解、一題多變，培養學生的發散思維及創新能力

例8蘇科版課標教材九年級上冊“4.3用一元二次方程解決問題”，問題1：如圖8，一塊長方形鐵皮的長是寬的2倍，四角各截去一個正方形，制成高5cm，容積是500cm3的無蓋長方體容器，求這塊鐵皮的長和寬.這是一道一元二次方程應用題，在學生掌握了一定的代數基本知識的背景下，我們可以考慮讓學生的思維發散，或改變一下思維方式.在這樣的理念之下，可以將原題進行如下改編：

圖8

如圖9，一塊長方形鐵皮的長是寬的2倍.

（1）你能通過適當的剪拼折疊，把它制作成一個無蓋的長方體盒子嗎？請畫出示意圖，并作簡要的文字說明.

圖9

（2）若制成高5cm，容積是500cm3的無蓋長方體容器.求這塊鐵皮的長和寬.

這樣的改編，弱化了條件，“逼”著學生把制作的“活動經驗”體現出來，學生有的實踐操作，有的抽象思考.無論通過什么方式，只有在四個角上截去相同的正方形才能解決問題.這樣原問題變得目標指向多元化、價值擴大化，從而提高了課堂的深度和廣度.

如果我們再把長方形改成正方形、正三角形和正五邊形，分別通過剪拼得到直四棱柱模型、直三棱柱模型、直五棱柱模型，經過這樣的改編，學生對解決2013年無錫市中考最后一題，就有點似曾相識了，解決起來就相對順利不少.

附2013年無錫市中考試卷第28題：下面給出的正多邊形的邊長都是20cm.請分別按下列要求設計一種剪拼方法（用虛線表示你的設計方案，把剪拼線段用粗黑實線，在圖中標注出必要的符號和數據，并作簡要說明）.

（1）將圖10中的正方形紙片剪拼成一個底面是正方形的直四棱柱模型，使它的表面積與原正方形的面積相等；

（2）將圖11中的正三角形紙片剪拼成一個底面是正三角形的直三棱柱模型，使它的表面積與原正三角形的面積相等；

（3）將圖12中的正五邊形紙片剪拼成一個底面是正五邊形的直五棱柱模型，使它的表面積與原正五邊形的面積相等.

圖10

圖11

圖12

此題還可以繼續推廣：長為α的正n邊形，折疊成直n棱柱，并使其表面積與原正多邊形的面積相等，折疊后的直n棱柱的底面邊長為，高為

通過對數學問題的一題多變，提供適當的知識鋪墊，向學生展示知識的發生、形成及發展的過程，能讓學生體會到知識是如何從已有知識中逐漸演變或發展而來的，從而理解知識的來龍去脈，形成一個知識網絡.將這種有層次推進的變式用于概念形成、問題解決和構建活動經驗系統，可以幫助學生融會貫通，構建起良好的知識結構，培養靈活解決問題的能力，避免反復的機械性訓練，同時又讓學生領略到數學的和諧、奇異與美妙，使他們自發地投入到學習中去，真正成為學習的主人.

解法一：整體法，①+②得2x+2y=2-3a，所以x+y=.又因為x、y的和是負數，所以

通過解法一和解法二的比較，學生明顯感覺解法二簡單.我們平時鼓勵學生做完一道題多想想還有沒有別的解法，這樣就可以培養學生準確理解和靈活運用數學規律及方法，也可以培養學生的發散思維能力，正所謂“條條大路通羅馬”，要想得到正確的答案，可以有很多途徑，但是方法有好有壞，老師引導學生進行橫向和眾向的比較，進行解題的再反思，可以有效地培養學生的分析問題、解決問題的能力，鍛煉學生的發散思維，那么也就真正意義上實現了授之以魚不如授之以漁.

通過一題多解或一題多變，每一種解法變法可能用到不同章節的知識，這樣一來可以復習相關知識.掌握不同解法技巧，同時每一種解法又能解很多道題，然后比較眾多解法中對這一道題哪一種最簡捷，最合理？把本題的每一種解法和結論進一步推廣，同時既可看到知識的內在聯系、巧妙轉化和靈活運用，又可梳理出推證恒等式的一般方法和思路：從左到右、從右到左、中間會師、轉化條件等，善于總結，掌握規律，探求共性，再由共性指導我們去解決碰到的這類問題，問題便會迎刃而解.

六、反思題目錯解問題，學會錯題歸類，建立錯題檔案，提高解題能力

例10已知⊙O1與⊙O2的半徑分別為R1和R2，且R1和R2是方程x2-4x+3=0的兩根，且圓心距d=6，則兩圓的位置關系為（）.

A.相交B.內含C.外離D.不能確定

錯解：因為R1和R2是方程

x2-4x+3=0的兩根，故由根與系數的關系可得R1+R2=8.因為圓心距d=6<8，所以⊙O1與⊙O2相交，故選A.

錯因：對兩圓的五種位置關系理解不深，錯把d＜R+r作為兩圓相交的條件.

綜上所述，解題反思是習題資源再生的催化劑.如果學生在每次解題以后都能對自己的思路作出自我評價，探討成功的經驗或失敗的教訓，那么學生的思維就會在更高的層次上進行概括，并進入理性認識階段.有助于學生弄清問題的實質，促進知識的有效遷移，提高解題的效率和準確率.持續不斷的解題反思，學生解決問題的能力一定會增強，最后會有更強的超越所給定的信息而發現新信息的能力.解題反思使人的注意從問題本身轉移到自身的加工過程，因而解題反思是優化思維，培養創造性人才的有效途徑.解題后反思是一種習慣和意識，它的形成要靠教師正確、長期的示范和引導，需要教師在教學中注意解題后的“停頓”和“留步”，養成反思習慣，變“學會知識”為“學會學習”，并將這種反思習慣推廣到廣泛的學習與生活中去，形成反思能力.

1.常旭東，楊永新.學生數學解題反思的途徑與方法［J］.上海中學數學，2010（10）.

2.辛金飛.淺談初中數學解題反思能力培養［J］.中國校外教育，2012（4）.

3.姜鴻雁.行走在“厚”“薄”之間［J］.中國數學教育，2013（12）.H