例談數(shù)學概念教學的解困途徑

☉江蘇省泰州市高港實驗學校 孫潔

例談數(shù)學概念教學的解困途徑

☉江蘇省泰州市高港實驗學校 孫潔

然而，數(shù)學概念又不能僅僅靠死記硬背就能解決的，還必須使學生徹底理解，掌握運用的技巧.因為數(shù)學概念本身具有很強的抽象性，所以，這給學生的理解和教師的教學確實帶來了一定的難度.如果我們對數(shù)學概念進行一番研究，就會發(fā)現(xiàn)，數(shù)學概念的教學必然經(jīng)歷概念生成、概念辨識和運用的過程.其中概念生成往往被忽略，造成了“概念辨識和運用”的環(huán)節(jié)出現(xiàn)了一定程度的“斷崖現(xiàn)象”.所以，首先，我們應當在概念生成環(huán)節(jié)上，認真引領(lǐng)學生觸摸數(shù)學概念的本質(zhì)，以求從源頭上破解數(shù)學概念的教學困局.

一、營造具體化情境

“數(shù)學概念的建立多來自現(xiàn)實生活，通過典型例子分析和學生自主探究活動，將抽象的概念賦予具體的實例并在實例中歸納概念，將數(shù)學專業(yè)的表述形態(tài)轉(zhuǎn)化為學生易于接受的教育形態(tài)，幫助學生理解概念.”［1］正是因為如此，初中數(shù)學教材面向基礎(chǔ)階段的孩子們，比較喜歡營造適宜的數(shù)學情境，引出、講解概念.我們不妨充分利用教材這一理念，將概念性數(shù)學情境的教學功能發(fā)揮極致，甚至適當修改、加工，使之更生動、豐富、多維，體現(xiàn)出較強的數(shù)學價值.

圖2

圖3

圖1

圖1是八年級下冊第九章第一節(jié)圖形的旋轉(zhuǎn)導入部分，首先，利用生活化的圖景，給學生一個直觀的印象，暗示學生數(shù)學與生活的密切相連關(guān)系；其次，利用同學們都比較熟悉的三角板作為道具，通過親自體驗，感知旋轉(zhuǎn)所帶來的數(shù)學位置、形狀上的移動或者變化，如圖2、圖3；最后，提升到抽象層面，設(shè)想一個三角形的旋轉(zhuǎn).很顯然，這樣的導入，由感性到理性，循序漸進，螺旋上升.不過，我們不妨利用現(xiàn)代媒體技術(shù)，將這三種情境制作成動畫，清晰地描繪出旋轉(zhuǎn)的軌跡，則更為直觀形象.另外，我們還可以提供給學生更多的生活實例，通過課件的形式呈現(xiàn)出來.有了扎實的感性鋪墊，學生就會很容易理解軸對稱的概念了.

二、破解概念的要素

稍微復雜的概念，理解的難度相對較高，但是，任何復雜的概念都是由簡單的概念構(gòu)成，我們要善于剖析復雜概念，引導學生破解復雜概念或新概念的構(gòu)成要素，從而幫助他們扎實解構(gòu)概念，獲得真知.

1.聚焦關(guān)鍵詞

數(shù)學概念，以及數(shù)學性質(zhì)、定理、公理、公式等總要用適當?shù)恼Z言表達出來，這些語言形式精煉到不能少一個字，也不必多添一個字.其中定然有關(guān)鍵性詞語，抓住這些詞語，就能找到破解概念的鑰匙.

如平行四邊形的定理：“平行四邊形的對邊相等、對角相等、對角線平分.”這個定理表述是文字式的，我們可以看到“對邊”“對角”“對角線”這三個關(guān)鍵詞，對邊、對角而不是鄰邊、鄰角，“對角線平分”的意思是對角線平分對應的角，也平分該平行四邊形的面積，或者可以引出對角線劃出的兩部分是全等的這一性質(zhì).有了這樣的解讀，再加上結(jié)合平行四邊形示意圖進行驗證，學生就會深刻領(lǐng)悟到平行四邊形的定理的具體表現(xiàn)形式有哪些，或者產(chǎn)生哪些變式等.

2.提煉條件

分析數(shù)據(jù)資料均來源于《湖南省統(tǒng)計年鑒(2002-2016)》、《中國環(huán)境統(tǒng)計年鑒(2002-2016)》、《中國城市建設(shè)統(tǒng)計年鑒2002-2016》、《2001-2015年湖南省水資源公報》、《2001-2015年湖南省環(huán)境狀況公報》及湖南省各年統(tǒng)計公報、環(huán)境統(tǒng)計相關(guān)資料。

一個數(shù)學概念之所以能夠成立，是因為它須滿足若干條件，由若干因素共同確立.理解概念，就應該找出構(gòu)成概念的種種條件，一一去感悟、分析，從而深入理解.

比如二次函數(shù)，它的定義為：一般地，把形如y=ax2+ bx+c（其中a，b，c是常數(shù)，a≠0，b、c可以為0）的函數(shù)叫做二次函數(shù).

這個定義相對復雜.簡單記憶往往不需要花費很長時間，但是這必將為二次函數(shù)的應用和計算帶來隱患，出現(xiàn)各種各樣的錯誤.“一般地”這個詞，表明二次函數(shù)還有特殊形式，需要進一步研究它.“a≠0”這個限制必須牢記，缺了它，該函數(shù)式就會出現(xiàn)變數(shù)，也就是說這個規(guī)定是決定該類方程式究竟是不是二次函數(shù)的關(guān)鍵所在.為此，我們不妨設(shè)計若干變式題目，幫助學生理解這一點.如這個式子不能簡單地說就是二次函數(shù).學生通過這樣的變式練習，就會加深對這一條件的認知，會避免解答類似題目可能出現(xiàn)的錯誤.可見，概念課必須引導學生參透其中的關(guān)鍵.

3.逆向推敲

所謂逆向推敲即指從結(jié)論推導條件，運用逆向思維，反向理解數(shù)學概念.這和逆命題頗為相似.通過正反結(jié)合，我們也很容易找到解困數(shù)學概念教學的途徑.

如y=ax2+bx+c，這個式子是不是二次函數(shù)呢？這是結(jié)論.要形成二次函數(shù)，這個式子中的常數(shù)項a就必須滿足a≠0這個條件，假如a=0，那么，這個式子就變成了y=bx+ c，此時就可能變成了一次函數(shù).這樣逆向探究，學生就會明白，二次函數(shù)這個概念表述時，為什么特別強調(diào)二次式前面的常數(shù)項不能等于0的原因.可見，合理的數(shù)學思維的運用同樣能夠解困數(shù)學概念的教學.

三、勾連概念的關(guān)聯(lián)

任何一個數(shù)學概念絕不是孤立存在的，總是與其他概念產(chǎn)生著千絲萬縷的聯(lián)系.找到這些重要關(guān)聯(lián)，我們同樣也能夠幫助學生很好地理解概念.

1.重申關(guān)聯(lián)知識

學習新概念的同時要復習舊概念，相互串聯(lián)起來，從而幫助學生加深對新概念的理解.復習舊概念并不是簡單地重復，而是將舊概念與新概念之間的邏輯聯(lián)系提煉出來研究，找到彼此的影響節(jié)點.

等腰三角形的概念是“等腰三角形是兩邊相等的三角形”.這個概念建立在三角形、兩邊相等的三角形的基礎(chǔ)之上，只有樹立了這兩個概念，我們才能使學生更好地理解.如果再深層次的探究，我們便會發(fā)現(xiàn)，三個邊相等的是等邊三角形，那么，等邊三角形與等腰三角形之間的關(guān)系也會隨之被發(fā)現(xiàn).這種勾連舊知的思維必定引領(lǐng)師生將概念的理解提升至新境界.

2.區(qū)分鄰近概念

所謂鄰近概念指與目標概念相關(guān)聯(lián)、處在同一個概念體系范圍內(nèi)的概念.它們之間既有相似度，又有一定的區(qū)分度.辨清它們的異同點，能夠幫助學生比較全面地理解目標概念，從而提高學生對概念理解的清晰度和準確度.

比如，三角形概念衍生出銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形、等邊三角形、等腰三角形等，這些概念如果靠機械記憶，當然可以暫時辨識它們的區(qū)別，但是，不能從根本上把握這些概念的特征.而在比較中，它們的異同點就會呈現(xiàn)出來，如果能夠引導學生制成比較表格，則理解、識記的效果會更加明顯，乃至終身不忘.

3.納入概念體系

納入概念體系能夠幫助學生從整體上把握概念在整個體系中的位置，培養(yǎng)全局視野，溝通概念之間的聯(lián)系，構(gòu)建縱橫概念體系，便于建立概念樹，使學生明白概念的應用范圍，能夠在概念體系內(nèi)應對數(shù)學問題.尤其是綜合性較強的數(shù)學問題，如果不具備體系意識，很難解決.

二次函數(shù)概念可以在代數(shù)視野內(nèi)與其他概念產(chǎn)生聯(lián)系，如解方程、利用拋物線概念解決物體的弧形運動等，也可以在幾何的視野內(nèi)與圓、圖形移動、軌跡變化等內(nèi)容融合.

概念是構(gòu)成數(shù)學思想的基礎(chǔ)，是理解的難點、重點，是教師的首要任務(wù).“我們應在教學中采用多樣化的教學方法，使學生很好地理解和運用概念知識，從思想上把龐雜的數(shù)學知識條理化、系統(tǒng)化.”［2］破解數(shù)學概念之困的路徑還會出現(xiàn)新的形式.只要我們綜合使用這些路徑，就一定能徹底解決概念理解的難點.

1.鄧華華，黃艷.例談數(shù)學概念教學的策略［J］.數(shù)學教學通訊（中等教育），2015（5）.H