微積分發(fā)展的歷程探究

□王偉珠

一、古代時期

(一)巴比倫、埃及的數(shù)學(xué)。在公元前三千年左右，巴比倫人和埃及人幾乎是同時和獨(dú)自地發(fā)展著數(shù)學(xué)(正整數(shù)、分?jǐn)?shù)、二次方程的根和簡單幾何圖形的面積和直角三角形關(guān)系等)。在這兩個古代文明社會中，巴比倫人是首先對數(shù)學(xué)主流作出貢獻(xiàn)的。如，巴比倫人能求得一元一次方程和部分一元二次、三次方程的根，甚至能解出含五個未知量的五個方程這類個別問題，幾何方面能計(jì)算一些簡單平面圖形面積和簡單立體體積。埃及文化在公元前2500年左右達(dá)到最高點(diǎn)，當(dāng)時的統(tǒng)治者建立了金字塔。埃及人能應(yīng)用正確的公式來計(jì)算三角形、長方形、梯形的面積，立方體、棱柱、圓柱、棱錐體體積等。

(二)古希臘的數(shù)學(xué)。希臘人在文明史上首屈一指，在數(shù)學(xué)史上至高無上，其文明一直延結(jié)到公元600年左右。這一時期在歷史上被稱為古典數(shù)學(xué)時期，其數(shù)學(xué)成就的精華是Euclid的《原本》和Apollonius的圓錐曲線。古希臘形成了多個數(shù)學(xué)學(xué)派，各個學(xué)派積累了很多數(shù)學(xué)知識，但都沒有形成比較完整的體系，到了亞歷山大時期(公元前400年到公元641)，希臘數(shù)學(xué)家們在柏拉圖幾何思想的啟示下，開始將數(shù)學(xué)知識進(jìn)行系統(tǒng)整理，使之脫離哲學(xué)而成為獨(dú)立學(xué)科。完成此項(xiàng)具有劃時代意義工作的是大數(shù)學(xué)家歐幾里德(Euclid)，他撰寫的名著《幾何原本》開創(chuàng)了數(shù)學(xué)發(fā)展的新時期，使得初等數(shù)學(xué)形成了體系。阿波羅尼奧斯(Apollonius)的《圓錐曲線論》對幾何學(xué)的發(fā)展產(chǎn)生了深遠(yuǎn)的影響，在數(shù)學(xué)界統(tǒng)治了近2000年，直到十七世紀(jì)笛卡爾時代才開始有本質(zhì)上的改變。

(三)中國的數(shù)學(xué)。就數(shù)學(xué)而言，中國或許是世界上數(shù)學(xué)科學(xué)的發(fā)源地之一，在中國古代，代數(shù)和幾何知識的產(chǎn)生可以追溯到公元前3000年前，其中如勾股定理的出現(xiàn)早于西方。在西漢末年(公元前180年左右)出現(xiàn)了數(shù)學(xué)專著《九章算術(shù)》，它標(biāo)志中國初等數(shù)學(xué)理論體系的形成，它包含了方程、勾股、方田等算術(shù)、代數(shù)和幾何問題解法，在東漢初期至五代末，是初等數(shù)學(xué)理論體系穩(wěn)定發(fā)展時期，其代表性人物是趙爽、劉徽和祖沖之等，到宋元時期，中國初等數(shù)學(xué)的發(fā)展達(dá)到了頂峰。但由于各方面的原因，中國古代的數(shù)學(xué)研究總是卷入到非常實(shí)際的問題上去，不知道抽象，不知道系統(tǒng)，明朝中葉以后，就科技落后了。

(四)印度和阿拉伯的數(shù)學(xué)。印度是世界上文化發(fā)達(dá)最早的地區(qū)之一，印度人在算術(shù)和代數(shù)作出了杰出的貢獻(xiàn)，《繩法經(jīng)》是印度最早的數(shù)學(xué)文獻(xiàn)，其中最重要的內(nèi)容是祭壇的建造問題，即利用繩子和竹桿給出固定的測量法則。印度人在算術(shù)運(yùn)算的貢獻(xiàn)如:0的運(yùn)算，負(fù)數(shù)的運(yùn)算;正視無理數(shù)的存在，不定方程的研究及其應(yīng)用等，并推導(dǎo)出運(yùn)算公式:代數(shù)被應(yīng)用在普通商業(yè)問題上，如計(jì)算利息、財(cái)產(chǎn)劃分等，但是在幾何方面一直沒有出色的進(jìn)展。公元200～1200年時期是阿拉伯人的數(shù)學(xué)成就期，阿拉伯人在用圓錐曲線相交來解三次方程上推進(jìn)了一大步。還有值得一提的是以10為底的進(jìn)位制記數(shù)法，對1到9的量的數(shù)字記號，以及把0作為一個數(shù)引入，也都是阿拉伯人所為。

二、中世紀(jì)前后

(一)歐洲中世紀(jì)前的數(shù)學(xué)。從公元400年起到1100年左右為止，歐洲的數(shù)學(xué)基本處于停滯狀態(tài)，當(dāng)代數(shù)學(xué)史家M．克萊茵這樣曾經(jīng)評說:羅馬文明是不可能產(chǎn)生數(shù)學(xué)的，都是太注重實(shí)際的結(jié)果，歐洲的中世紀(jì)文明也不可能產(chǎn)生數(shù)學(xué)成果，正是因?yàn)橄喾吹脑颍魂P(guān)心物理世界，俗世的事務(wù)和問題根本不重要，基督教重視死后的生活并重視為此而進(jìn)行的準(zhǔn)備。此外，十四世紀(jì)下半葉的黑死病奪去了約占?xì)W洲三分之一的人口，使整個歐洲文明倒退回去。

(二)文藝復(fù)興時期的數(shù)學(xué)。文藝復(fù)興時期(1400～1600年)，歐洲被幾件事情深深地震憾了，一是革命的影響十分廣泛;二是希臘著作大量進(jìn)入歐洲，活板印刷的發(fā)明，加速了知識的傳播。數(shù)學(xué)興趣的復(fù)活幾乎是隨著希臘知識和生活準(zhǔn)則的復(fù)活一起而來的結(jié)果，十五世紀(jì)，希臘的著作大量進(jìn)入歐洲，Plato著作眾所周知，數(shù)學(xué)就是唯一能被公認(rèn)為真理的體系。文藝復(fù)興時期數(shù)學(xué)的主要貢獻(xiàn):幾何透視法(廣泛應(yīng)用于建筑、繪畫等方面)，這時期最好的數(shù)學(xué)家是德國人Albrecht Durer(1471～1528)，他幾何方面的著作有《圓規(guī)直尺測量法》等。此外在代數(shù)和三角方面也有重要的發(fā)展。

三、微積分時期

(一)微積分的創(chuàng)立。數(shù)學(xué)的一個基本概念是從對運(yùn)動(天文、航海)等問題的研究引出的，之后的200年里，這個概念占據(jù)了幾乎所有工作的中心位置，這個概念就是函數(shù)或變量間關(guān)系。隨著函數(shù)概念的采用，微積分也產(chǎn)生了，可以說是繼Euclid幾何之后，數(shù)學(xué)中最大的一個創(chuàng)造。圍繞著解決速度、切線、面積和體積以及最值這四個核心的科學(xué)問題，十七世紀(jì)被大大小小的十幾個乃至幾十個數(shù)學(xué)家探索過。在所作工作中，貢獻(xiàn)達(dá)到頂峰的是Newton和Leibniz的成就。如James Gregory說過:“數(shù)學(xué)的真正劃分不是分成幾何和算術(shù)，而是分成普遍的和特殊的”。而這普遍的東西是由兩個包羅萬象的思想家Newton和Leibniz提供的。

(二)微積分成果優(yōu)先權(quán)的爭論。微積分的應(yīng)用和發(fā)展，不再是古希臘幾何的附庸和延展品，之所以能成為一門獨(dú)立的學(xué)科，這些都必須歸功于牛頓和萊布尼茨兩個人。歷史上，關(guān)于微積分的成果歸屬和優(yōu)先權(quán)問題，曾在數(shù)學(xué)界引起了一場長時間的大爭論。但調(diào)查結(jié)果證明:萊布尼茲確實(shí)是微積分主要思想的獨(dú)立發(fā)明人。這場爭吵的重要性不在于誰勝誰負(fù)的問題，而是使數(shù)學(xué)家分成兩派。一派是英國數(shù)學(xué)家，捍衛(wèi)牛頓;另一派是歐洲大陸數(shù)學(xué)家，尤其是Bcrnonlli兄弟，支持萊布尼茨，兩派相互對立甚至敵對。其后果是，英國數(shù)學(xué)家和歐洲大陸的數(shù)學(xué)家不再進(jìn)行思想的交換。這后果可以說非常可怕，它不僅影響了英國的數(shù)學(xué)發(fā)展，更影響了數(shù)學(xué)界的前進(jìn)。

(三)微積分的可靠性。十七世紀(jì)以來，微積分的概念和技巧不斷擴(kuò)展并被廣泛應(yīng)用于解決天文學(xué)、物理學(xué)中的各種實(shí)際問題，取得了巨大的成就。但直到十九世紀(jì)以前，在微積分的發(fā)展過程中，其數(shù)學(xué)分析的嚴(yán)密性問題一直沒有得到解決。十八世紀(jì)中，包括牛頓和萊布尼茲在內(nèi)的許多大數(shù)學(xué)家都覺察到這一問題并對這個問題作了努力，但都沒有成功地解決這個問題。整個十八世紀(jì)，微積分的基礎(chǔ)是混亂和不清楚的，許多英國數(shù)學(xué)家也許是仍然為古希臘的幾何所束縛，因而懷疑微積分的全部工作。這個問題一直到十九世紀(jì)下半葉才由德國數(shù)學(xué)家柯西得到了完整的解釋，柯西極限存在準(zhǔn)則使得微積分注入了嚴(yán)密性，這就是極限理論的創(chuàng)立。極限理論的創(chuàng)立使得微積分從此建立在一個嚴(yán)密的分析基礎(chǔ)之上，它也為20世紀(jì)數(shù)學(xué)的發(fā)展奠定了基礎(chǔ)。

［1］(美)卡爾·B·波耶著;唐生譯．微積分概念發(fā)展史［M］．上海:復(fù)旦大學(xué)出版社，2007

［2］吳贛昌．微積分(下冊)［M］．北京:中國人民大學(xué)出版社，2007